高考全国卷Ⅲ理数试题解析 .docx

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1、精品名师归纳总结绝密启用前留意事项：2021 年一般高等学校招生全国统一考试理科数学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2. 回答选择题时，选出每道题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3. 考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：此题共12 小题，每道题5 分，共 60 分 在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的 1. 已知集合，就A.B.C.D.【答案】 C【解读】分析：由题意先解出集合A

2、, 进而得到结果。详解：由集合 A 得,所以故答案选 C.点睛：此题主要考查交集的运算，属于基础题。2.A.B.C.D.【答案】 D【解读】分析：由复数的乘法运算开放即可。详解：应选 D.点睛：此题主要考查复数的四就运算，属于基础题。3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头如如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，就咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.AB.BC.CD.D【答案】 A【解读】分析：观看图形可得。详解：观擦图形图可知，俯视图为故答案为 A.点睛：此题主

3、要考擦空间几何体的三视图，考查同学的空间想象才能，属于基础题。4. 如，就A.B.C.D.【答案】 B【解读】分析：由公式可得。详解：故答案为 B.点睛：此题主要考查二倍角公式，属于基础题。5. 的开放式中的系数为A.10B.20C.40D.80【答案】 C【解读】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得令,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以应选 C.点睛：此题主要考查二项式定理，属于基础题。6. 直线分别与 轴， 轴交于， 两点，点 在圆上，就面积的取值范畴是A.B.C.D.【答案】 A【解读】分析：先求出A ， B 两点坐标得到再运算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范

4、畴，由面积公式运算即可详解：直线分别与 轴， 轴交于 ， 两点,就点 P 在圆上圆心为（ 2， 0），就圆心到直线距离故点 P 到直线的距离的范畴为就故答案选 A.点睛：此题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。7. 函数的图像大致为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.AB.BC.CD.D【答案】 D【解读】分析：由特殊值排除即可 详解：当时，排除 A,B.,当时，,排除 C故正确答案选 D.点睛：此题考查函数的图像，考查了特殊值排除法，导数与函数图像的关系，属于中档题。8. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立

5、，设为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，就A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3【答案】 B【解读】分析：判定出为二项分布，利用公式进行运算即可。或，,可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故答案选 B.点睛：此题主要考查二项分布相关学问，属于中档题。9. 的内角的对边分别为 ， ， ，如的面积为，就A.B.C.D.【答案】 C【解读】分析：利用面积公式和余弦定理进行运算可得。详解：由题可知所以由余弦定理所以应选 C.点睛：此题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。10. 设是同一个半径为 4 的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，就三棱锥体积的最大

6、值为A.B.C.D.【答案】 B【解读】分析：作图，D 为 MO 与球的交点，点 M 为三角形 ABC 的重心，判定出当平面时， 三棱锥体积最大，然后进行运算可得。详解：如以下图，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 M 为三角形 ABC 的重心， E 为 AC 中点， 当平面时，三棱锥体积最大此时，,点 M 为三角形 ABC 的重心中，有应选 B.点睛：此题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判定出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M 为三角形 ABC 的重心，运算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型。11. 设是双曲线

7、（）的左、右焦点，是坐标原点过作 的一条渐近线的垂线，垂足为如，就 的离心率为A.B.2C.D.【答案】 C【解读】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得。详解：由题可知在中，在中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应选 C.点睛：此题主要考查双曲线的相关学问，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题。12. 设，就A.C.B.D.【答案】B学|科|网.学|科|网.学|科|网.学|科|网 .学|科|网.学|科|网.学|科|网.详解： .,即又即应选 B.点睛：此题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。 二、填空题：此题共4 小题，每道题 5 分，共 20

8、分13. 已知向量，如，就 【答案】【解读】分析：由两向量共线的坐标关系运算即可。详解：由题可得,即故答案为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点睛：此题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题。14. 曲线在点处的切线的斜率为，就 【答案】【解读】分析：求导，利用导数的几何意义运算即可。详解：就所以故答案为 -3.点睛：此题主要考查导数的运算和导数的几何意义，属于基础题。15. 函数在的零点个数为【答案】【解读】分析：求出的范畴，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数。详解：由题可知，或解得,或故有 3 个零点。点睛：此题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属

9、于基础题。16. 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与 交于 ， 两点，就 【答案】 2【解读】分析：利用点差法进行运算即可。详解：设就所以如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以取 AB 中点,分别过点 A,B 作准线的垂线，垂足分别为由于,由于 M为 AB 中点， 所以 MM 平行于 x 轴由于 M-1,1所以，就即故答案为 2.点睛：此题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取 AB 中点, 分别过点 A,B 作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率。三、解答题：共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第

10、 1721 题为必考题，每个试卷考生都必需作答 第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共60 分17. 等比数列中，（ 1）求的通项公式。（ 2）记为的前 项和如，求 【答案】（ 1）或（ 2）【解读】分析：（ 1）列出方程，解出q 可得。（ 2）求出前 n 项和，解方程可得m。详解：（ 1）设的公比为 ，由题设得由已知得，解得（舍去），或 故或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如，就由得，此方程没有正整数解 如，就由得，解得综上，点睛：此题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题。18. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完

11、成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人，第一组工人用第一种生产方式，其次组工人用其次种生产方式依据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（ 1）依据茎叶图判定哪种生产方式的效率更高？并说明理由。（ 2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式其次种生产方式（ 3）依据（ 2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：，【答案】（ 1）其次种生产方式的效率更高. 理由见解读（ 2） 80（

12、3）能【解读】分析：（ 1）运算两种生产方式的平均时间即可。（ 2）运算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）由公式运算出，再与 6.635 比较可得结果。详解：（ 1）其次种生产方式的效率更高.理由如下：（ i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 分钟，用其次种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 分钟 .因此其次种生产方式的效率更高 .（ ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5 分钟，用其次种生产方式的工人完成生产任务所

13、需时间的中位数为73.5 分钟 .因此其次种生产方式的效率更高.（ iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 分钟。用其次种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 分钟，因此其次种生产方式的效率更高.（ iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布。用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用其次种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需

14、的时间更少，因此其次种生产方式的效率更高 .学科* 网以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 .（ 2）由茎叶图知.列联表如下：超过不超过第一种生产方式155其次种生产方式515（ 3）由于，所以有 99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异.点睛：此题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察同学的运算才能和分析问题的才能，贴近生活。19. 如图，边长为2 的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于 ， 的点（ 1）证明：平面平面。（ 2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】（ 1）见解读（ 2）【解

15、读】分析：（ 1）先证平面 CMD, 得,再证，进而完成证明。（ 2）先建立空间直角坐标系，然后判定出的位置，求出平面和平面的法向量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值。详解：（ 1）由题设知 ,平面 CMD 平面 ABCD ,交线为 CD .由于 BC CD ,BC平面 ABCD ,所以 BC平面CMD ,故 BC DM .由于 M 为上异于 C， D 的点 ,且 DC 为直径，所以 DM CM .又 BCCM =C,所以 DM 平面 BMC .而 DM平面 AMD ,故平面 AMD 平面 BMC .（ 2）以 D 为坐标原点 ,的方向为 x 轴正方向 ,建立如以下图的空间直角坐标系D-

16、xyz.当三棱锥 M- ABC 体积最大时， M 为的中点 .由题设得，设是平面 MAB 的法向量 ,就即可取.是平面 MCD 的法向量 ,因此，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是.点睛：此题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，其次问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查同学的运算才能和空间想象才能，属于中档题。20. 已知斜率为 的直线 与椭圆交于 ， 两点，线段 的中点为（ 1）证明：。（ 2）设 为 的右焦点，为 上一点

17、 ,且证明：，成等差数列，并求该数列的公差【答案】（ 1）（ 2）或【解读】分析：（ 1）设而不求，利用点差法进行证明。（ 2）解出 m,进而求出点 P 的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，得到直 的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解。详解：（ 1）设，就.两式相减，并由得.由题设知，于是.由题设得，故.（ 2）由题意得，设，就.由（ 1）及题设得.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又点 P 在 C 上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列 .设该数列的公差为d，就.将代入得.所以 l 的方程为，代入 C 的方程，并整理得.故，代入解得.所以该数列的公差为

18、或.21. 已知函数（ 1）如，证明：当时，。当时，。（ 2）如是的极大值点，求【答案】（ 1）见解读（ 2）【解读】分析：（ 1）求导，利用函数单调性证明即可。（ 2）分类争辩和,构造函数,争辩的性质即可得到 a 的范畴。详解：（ 1）当时，.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设函数，就.当时，。当时，.故当时，且仅当时，从而，且仅当时，.所以又在，故当单调递增 .时，。当时，.（ 2）（冲突 .i）如，由（ 1）知，当时，这与是的极大值点（ ii ）如，设函数.由于当时，故与符号相同 .又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点 .假如，就当，且时，故不是的极大值点 .假如，就存

19、在根，故当，且时，所以不是的极大值点 .假如，就.就当时，。当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，.点睛：此题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，其次问分类争辩和,当时构造函数时关键，争辩函数的性质，此题难度较大。（二）选考题：共10 分， 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，假如多做，就按所做的第一题计分22. 选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，的参数方程为（ 为参数），过点且倾斜角为 的直线与交于两点（ 1）求 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求中点 的轨迹的参数方程【答案】（ 1）（ 2）为参数

20、，【解读】分析：（ 1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得。（ 2）联立方程，由根与系数的关系求解详解：（ 1）的直角坐标方程为 当时， 与交于两点当时，记，就 的方程为 与交于两点当且仅当，解得或，即或综上，的取值范畴是（ 2） 的参数方程为为参数，设， ， 对应的参数分别为， ，就，且 ， 中意 于是，又点的坐标中意所以点 的轨迹的参数方程是为参数，点睛：此题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题。23. 选修 45：不等式选讲 设函数（ 1）画出的图像。（ 2）当，求的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【答案】（ 1）见解读（ 2）【解读】分析：（ 1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可。（ 2）结合（ 1）问可得 a，b 范畴，进而得到 a+b 的最小值详解：（ 1）的图像如以下图（ 2）由（ 1）知，的图像与 轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为点睛：此题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范畴，属于中档题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载