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2、个平面几何，转化成基本图形去求解，化腐朽为神奇，这才是立体几何的奥妙。就本题而言，就有十分巧妙的解法，能够让基础一般的学生都会做，做对。原题为：如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED/AF且DAF=90。 （1）求BD和面BEF所成的角的余弦； （2）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。1,3,5分析：1.先假设存在，再去推理，下结论： 2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。答案：（1）因为AC、AD、AB两两垂直，建立
3、如图坐标系，则B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F（2，2，0），则设平面BEF的法向量，则可取，向量所成角的余弦为即BD和面BEF所成的角的余弦。 （2）假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设EP与PF的比值为m，则P点坐标为则向量，向量所以。 点评：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。以上是作者malimalihon4z的做法，而我认为，该题做法虽看似新颖，实则愚笨，不懂立体几何的奥妙，也没有理解出出题的意图，也没有和实际情况相联系，没有充分展开空间想象能力，最终计
4、算结果出现错误，实在是引人走弯路，而又有4万多人下载，错误结果影响大矣。下面巧妙解法为：我们认真看题和图，图中是一个正方体的一部分，那么我们画一个正方体，ABFC-DB1F1C1，将上图放入正方体内，发现DE就是正方体上面对角线的一半，E点是对角线的交点，我们沿BFD的边过E点做正方体的切面，该切面为BFHG,也就是平面BEF.我们要求的DB与平面BEF的夹角，也就是DB与平面BFHG的夹角。D点在平面BFHG的射影点在BG的延长线上，也就是过D做BG的垂线，则，DBG就是DB与平面BFE的夹角。我知道，BB1D是等腰直角三角形，G是直角边DB1的中点，求DBG，此题就转化为平面几何了，我们可
5、以轻松算出三角形DBG各边的长，我们十分轻松求出该角正弦和余弦值的大小。在DBG中，DB=22，DG=1，BG=5，根据已知三边求余弦值公式，DBG的余弦值=(DB2+BG2-DG2)/2DB*BG=310/10解法二：也可以利用三角形相似来求，要求DBG的余弦，我们知道斜边DB的长为22，我们只要再求出DM或BM的长即可。DGMBB1GDM和GM的长就可求出。DM/DG=BB1/BGDM=25/5所以，BM=65/5所以，DBG的余弦值=BM/DB=310/10，DBG的正弦值=DM/DB=10/10。还可以用里面小直角三角形BNK来求解，在直角三角形BNK中，已知BN是对角线的一半，等于2
6、。三角形ABK与三角形GB1K相似，所以GK：BK=GB1：AB=1:2BG=5,GK+BK=BG,GK：BK=1:2,所以，BK=25/3，所以，DBG的余弦值=BN/BK=310/10，第二问：线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值。我们认真观察，过AC与直线DB垂直的平面只有一个，就是平面AB1F1C，AB1和F1C是对角线。该面与平面BFHG相交，公共线是KL,则KL也与BE和FE都相交，与FE相交的点就是P点，也就是此处的P点符合P、A、C三点的平面和直线DB垂直。KL平行于BF又平行于GH，所以EP与PF的比值就等于GK与BK的比值。这样就转化为平面几何，求GK与BK的比值。用相似三角形进行求解。三角形ABK与三角形GB1K相似，所以GK：BK=GB1：AB=1:2还可以用数值大小来解在正方形ABB1D中，NB=2，DBG的余弦值=310/10，所以，BK=25/3BG=5，所以，GK=5/3所以，GK：BK=1:2所以，EP：PF=1:2。通过该题，我们还可以求出好多问题，有好多问题可以解答。比如，求面BEF与平面ABFC的二面角。如求楔形体积。如求棱锥E-BB1F1FD 体积。如求中轴线与面BEF的距离等等。