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1、精品名师归纳总结专题讲座高中数学“平面对量”一、整体把握“平面对量”教学内容一平面对量学问结构图二重点难点分析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本专题内容包括：平面对量的概念、运算及应用课标要求：平面对量约 12 课时1平面对量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，明白向量的实际背景，懂得平面对量和向量相等的含义，懂得向量的几何表示。2向量的线性运算通过实例，把握向量加、减法的运算，并懂得其几何意义。通过实例，把握向量数乘的运算，并懂得其几何意义，以及两个向量共线的含义。明白向量的线性运算性质及其几何意义。3平面对量的基本定理及坐标表示明白平面对量的基本定理及其意义。把握平
2、面对量的正交分解及其坐标表示。会用坐标表示平面对量的加、减与数乘运算。懂得用坐标表示的平面对量共线的条件。4平面对量的数量积通过物理中“功”等实例，懂得平面对量数量积的含义及其物理意义。体会平面对量的数量积与向量投影的关系。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结把握数量积的坐标表达式，会进行平面对量数量积的运算。能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两个平面对量的垂直关系。5向量的应用经受用向量方法解决某些简洁的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，进展运算才能和解决实际问题的才能。依据课标要求，并结合前面的分析可知：新
3、概念、新运算的定义，向量运算和向量运算的几何意义是本专题的重点，平面对量基本定理是坐标表示几何代数化的关键，也是本专题教学的难点。二、“平面对量”教与学的策略一在概念教学中，依据概念教学的方法，建构概念学问体系本专题的教学中，向量、向量的运算等都是新定义的概念，如何让这些概念的显现自然轻松，仍能让同学快速把握住本质，达成懂得？不妨遵循概念教学的方法。比方说：“向量的概念”教学中，可从力、位移等实例引入，进行抽象概括，形成向量的概念。之后，提出“温度、功是不是向量？”这样的问题，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要点：大小、方向进行拓展，按如下表格整理，将向量概念精致化。
4、概念辨析：本专题的内容中，同学的问题之一是：概念不清，符号表示纷乱，针对此问题，一方面老师在板书、表达等方面肯定要精确和多方强调，另一方面，也可设置一些判定题，帮忙同学辨析概念例 1以下命题中，真命题的序号为：是 A、B、C、D 四点构成平行四边形的充要条件。0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单位向量不肯定都相等。假设向量、满意|=| ，就= 。的充要条件是，且。假设，就或。假设= 0 ，就或为零向量二在平面对量运算的教学中，运用模型和类比，降低难度，深化懂得向量是新定义的数学概念，单纯看向量的运算，实际上是比较抽象的在教学中假设能恰当运用模型，运用类比，不仅可以降低难度，而
5、且对于同学熟识抽象的运算有很大的好处：比方说：向量这个概念源于物理中的力、位移，那么力的合成、位移的合成实际上就是向量加法的模型，依此为基础很简洁懂得并记忆平行四边形法就和三角形法就。而向量的减法就可类比于数的减法定义：在实数运算中，减法是加法的逆运算，于是向量的减法也可以看成是向量加法的逆运算。在实数运算中，减去一个数，等于加上这个数的相反数，据此，引出相反向量的概念。再比方：实数运算中的乘法，实就是源于加法，向量运算中，我们也可以从向量加法动身，问同学：=？从而引出实数与向量的乘积。教学内容教学方法备注可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量的加法模型力的合成平行四边形法就位移
6、的合成三角形法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量的减法类比类比辨减法是加法的逆运算减去一个数，等于加上这个数的相反数相反向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结实数与向量的乘积析拓展数的乘法平行向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算率类比辨析实数的运算率交换律、结合律、安排率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面对量基本定理模型力的分解平面对量的数量积模型做功的概念在定义新的向量运算时，为了便于同学的懂得和记忆，一方面要关注到运算定义的
7、合理性，新定义的运算应当与我们日常的体会向量的来源不相悖合情合理。另一方面，也要留意向量运算与实数运算的差异，抓住“结果是什么？”“遵循什么样的运算律？”等问题，在类比和辨析中学习新学问。逐步渗透在集合上定义二元运算的准就自然形成对于“逆运算”、“逆元”等概念的明白最终拓展同学对于运算的熟识作为一种检验，设计如下题目，考察同学对于抽象运算的懂得：例 2设是已知平面上全部向量的集合， 对于映射，记的象为。假设映射满意：对全部及任意实数都有，就称为平面上的线性变换。现有以下命题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设是平面上的线性变换，就。假设是平面上的单位向量，对，就是平面上的线性变
8、换。对，就是平面上的线性变换。设是平面上的线性变换，就对任意实数均有。其中的真命题是写出全部真命题的编号三紧扣重点，恰当挑选例题，深化数形结合本专题的教学中，数形结合是重要的思想方法之一，懂得向量线性运算的几何意义更是本专题的教学目标之一，但同学往往不能做到恰当转化数形结合的关键是把握基本量的代数形式与几何特点之间的联系，一方面教学中要时刻留意二者的联系和相互表达，学会“看图说话”，另一方面也可挑选恰当的例题，对某些几何特点量进行归纳，逐步学会“由数到形”先以教学为例：每种运算都要留意从几何和代数两个方面进行解读，两者并重。但要真正把握、运用这种思想方法，仍需对数和形的实质加以挖掘。比方“向量
9、的加法”教学中，可从“位移的合成”引入三角形法就，这是向量加法的几何法就，将其代数化，就得到：。代数化和形式化并不只是一种简洁的表示，仍可挖掘其内在的含义： 如这个式子其实可以脱离图形而存在， 进一步得到。之外，也可通过一些训练，促成同学把握“数形结合”。例 3D、E、F 分别为ABC 的三边 BC、CA、AB 的中点，且=，=， 给出以下命题： 。 +。+。 其中正确命题的个数是选题目的： “看图说话 ”平面对量的线性运算。例 4已知点 O是平面上肯定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满意：，就点 P的轨迹肯定通过的 A外心 B 内心 C重心 D垂心分析：是什么？既然是向量
10、，应从几个方面懂得？大小、方向。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设，不难知道：向量、分别是与向量、方向相同的 单位向量 ，设，解：如图，以、为邻边作平行四边形 AMQ，N 就此四边形为菱形依据向量加法的平行四边形法就，必有，依据菱形的对角线平分对角，所以，为的平分线由题意 :, 即, 且, 所以, 点位于射线上，即位于的平分线上所以，点的轨迹必过 ABC的内心选题目的：深化懂得“向量”概念。培育“数形结合”的思维习惯。数形结合是处理向量问题的常用思想方法数形结合的关键在于把握基本量的代数形式与几何特点之间的联系如此题中由看到单位向量。拓展延长，见多识广。娴熟把握向量加法的平行四
11、边形法就与三角形法就，将平面几何的图形关系与向量运算的几何意义有机结合，如此题中的菱形可以摸索，当两个向量满意什么关系时，可构造矩形？，O是 ABC的外心，O是 ABC的什么心？重心，O是 ABC的垂心，O是ABC的内心又比方在平行四边形 ABCD中，意味着菱形。也意味着菱形。 假设， 意味着矩形已知 O、A、B、C是不共线的四点，假设存在一组正实数使得，就三个角中至少有个钝角例 5 已知向量 ，| 1，对任意实数 t ，恒有 |t| ，就 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB C D 分析：利用向量减法的三角形法就，作出几何图形，观看|t| 的含义解：设，就，在直线上任取一点
12、，设，就，所以，由于|t| 恒成立，所以，所以，需且只需，即 选题目的：由数到形实数与向量乘积的几何表示。t表示的就是与向量平行共线的向量例 6. 设,是不共线的两个向量 , 已知, 假设、三点共线，求实数的值分析：三点共线对应向量平行解：, 所以, 由已知 , 必存在实数, 使. 即由于,是不共线的两个向量，于是解得，选题目的：三点共线与向量平行。运用向量共线的充要条件常可解决几何中的三点共线问题四从特别到一般，强化平面对量基本定理的教学，突破难点课标要求：通过本专题的学习，争论用向量处理问题的两种方法：“向量法”和“坐标法”也即面对一个实际问题，要学会挑选基底或者建立平面直角坐标系 本质上
13、这两种方法是统一的， 其依据都是“平面对量基本定理” ，后者是前者的特例 同学往往对于后者较为熟识， 在给定的坐标系中会处理问题， 但不善于自己挑选基底事实上，这种熟识，对于很多同学来说：只是一种简洁的仿照和运算，而对于平面对量基本定理并没有真正懂得。但课标对于平面对量基本定理的要求，只限于“明白”。因此，假设同学程度较好，可在正交基底的基础上，引导同学挑选其它的基底解决问题，强化对于平面对量基本定理的教学例 7.中，为直角，AD与 BC相交于点 M，设，试用表示向量。在线段 AC上取一点 E，在 BD上取一点 F，使得 EF过点 M，设，求证：分析：由于向量相互垂直，所以建立直角坐标系，通过
14、运算坐标的方法，可以解决问题。另外，可看作是平面的一组基底，用它们表示，留意到，所以只需求得求得点在上的位置，这一点可直接利用平面对量基本定理中分解的唯独性，运用两组三点共线解决问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 1：以为原点，如图建立平面直角坐标系 , 设, 就,，设，就依据在直线上，也在直线上，依据斜率公式，可得：，解之得：，所以由题可得，由三点共线，可得：可证得解 2：由三点共线可知，存在实数使得。由三点共线可知，存在实数使得。由平面对量基本定理知：解之得，假设，就，又由于三点共线，所以，选题目的：1类比，由特别到一般。平面直角坐标系是平面对量基本定理的特别情形正交
15、基底，但在这种正交基底的情形下，向量的运算就转化为坐标运算，度量问题因此得到简化。 2运用向量基本定懂得题的基本方法。有了平面对量基本定理，平面上全部的向量都可以用一组基底表示，从而使得向量的“代数化”更为便利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8 如图，, 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内不含边界运动, 且, 就的取值范畴是。当时,的取值范畴是.分析：以为基底分解向量解：如图，作交于就，由点的位置不难知道因此，也即的取值范畴是当时，所以，此时，的取值范畴是选题目的：平面对量基本定理与向量的线性运算。平面对量基本定理是引入向量坐标运算的理论依据，而坐标运算的引入，为向量
16、供应了新的语言“坐标语言”，实质上是化“形”为“数”三、同学学习目标检测分析一课程标准与高考对“平面对量”的要求依据课标要求和考试说明的要求，将平面对量学习的主要检测内容与标准整理如下：考试内容要求层次了理掌解解握平平面对量平面对量的相关概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面向量的线性运算向量向量加法与减法向量的数乘两个向量共线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面对量的基本定理及坐标表示平面对量的基本定理平面对量的正交分解及其坐标表示用坐标表示平面对量的加法、减法与数乘运算用坐标表示的平面对量共线的条件可编辑资料
17、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数量积平面对量的数量积数量积的坐标表示用数量积表示两个向量的夹角用数量积判定两个平面对量的垂直关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量的应用用向量方法解决简洁的问题总体而言，向量的运算是考察的重点，部分概念和应用就需要懂得即可。针对平面对量内容，除进行综合测试外，在学习过程中可支配两次诊断性小测试：第一次在学习完线性运算或坐标运算后进行，重点考察向量的线性运算和向量的坐标运算，留意基础，掌握难度，以低中档题为主通过测试明白同学对于向量有关概念、法就的懂得和运用情形，反思教与学的情形其次次测试在本
18、专题全部学习完之后进行，重点考察向量的数量积和向量的应用，题目可略为综合，考察同学综合运用向量解决问题的才能命题不宜太难，但目的应当清楚，下面我们挑选一些例题加以说明：二典型题目的检测分析例 1. 如图，向量等于AB CD此题以“看图说话”的形式，考察向量运算的三角形法就。看似简洁，却并不死板，正确解答此题，就说明同学已从几何意义的角度把握三角形法就。可在第一次测验中使用。例 2. 假设 O是平行四边形 ABCD的中心，就 ABCD此题由数到形，是对于向量运算的另一层次的考察，可与例1 结合使用。例 3. 如图，已知正六边形，以下向量的数量积中最大的是AB CD此题考察数量积的几何意义，解答此
19、题时间的长短可反映同学对这一概念把握的程度，可在课堂使用。例 4一条从西向东的小河的河宽为 3.5 海里，水的流速为 3 海里/ 小时，假如轮船期望用 10 分钟的时间从河的南岸垂直到达北岸，轮船的速度应为分析：速度既有大小又有方向，可以用向量很好的表达，所以，此题可以看作是一道向量的应用问题解：用表示水速，表示船速，由题可知：，且所成的角为，所以，船的速度应当满意：，且与所成的角为所以，轮船的速度应当为沿北偏西的方向海里小时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此题中，同学常犯的错误是答复时忽视方向。假设大小正确，反映同学已把握向量加法，但忽视方向就说明同学对向量概念的应用仍不是很
20、到位此题可在其次次测试时作为中档题使用。例 5假设非零向量满意，就 此题难度较大，综合考察同学对于向量运算的应用，可在其次次测试时作犯难题选用。互动对话【参加人员】梁丽平：人民高校附属中学杨 杰：人民高校附属中学崔 鹏：人民高校附属中学【互动话题】1. 平面对量与三角函数1运用向量方法证明三角函数与解三角形中的公式与定理。2向量在其它三角问题中的应用3部分三角问题的向量内涵。2. 平面对量与空间向量从轴上向量到平面对量，再到空间向量，是由一维二维三维的演化，学习过程中，如何抓住这一点，运用类比的方法递进学习？3. 平面对量与解析几何1平面对量与解析几何的连接点和共同特点。2在解析几何中运用向量
21、工具，完成包括直线的“点向式”、“点法式”方程、点到直线距离、两条直线夹角公式等的推导，用向量方法贯穿解析几何初步。3读懂向量，别有洞天。4. 平面对量与其它学问平面对量在平面几何中和不等式等方面的应用。案例评析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【案例信息】案例名称：实数与向量的乘积授课老师：高德莲人民高校附属中学评析老师：梁丽平人民高校附属中学【课堂实录】【案例评析】一、引入开宗明义，简洁明快向量源于生活，有很多同学熟识的生活模型，如何将其抽象，形成数学的概念？如何让这些概念的显现自然轻松，仍能让同学快速把握住本质，达成懂得？高德莲老师的这节课从一个侧面给了我们肯定的启示实数与
22、向量的乘积，是在同学学习完向量的概念、向量的加减运算之后所学习的新的运算是否肯定仍要从实例引入？事实上，在学习向量的加法时，这样一些直观的熟识，只需顺势而为，严格定义即可因此，高老师的这节课，就从一个引例动身，让同学先有同学已经很自然的有了这样的概念，然后再追问应当如何给实数与向量的乘积下定义这样引入，开宗明义，简洁明快，节省了课时，也通过这一概念的引入，促使同学将感性熟识转化为理性熟识，摆脱自发性概念的粗糙、浅薄状态加深了同学对于数学严谨性的熟识如何使得教学是有效的、高效的，经常需要创设肯定的情境，设置肯定的问题串，这个情境可以是生活中的实例，也可以是数学问题本身情境设置的原就应当是有利于激
23、发同学的爱好，激发同学主动学习，应当比较快的引入正题，不应当为情境而情境二、依据同学的最近进展区设置问题链，探究中求新知本节课是实数与向量的乘积的第一课时，主要介绍实数与向量的积的定义、运算律以及两向量共线定理，属于概念课，创新的东西少，继承的东西多， 教材内容简洁，为了防止同学被动接受，高老师层层设置问题，想办设法引导同学主动的去探究、去发觉、去主动猎取学问本节课中，高老师共设计了三个问题：问题 1：你能给 a 这种运算下个定义吗？ 问题 2：实数与向量的积有怎样的运算规律？问题 3：已知向量 b 与 a 共线， b 是否可以用 a 来表示， 唯独吗？第一个问题， 要求同学在直观熟识的基础上
24、， 提炼出严谨的数学定义 这一问题， 仍加深了同学对于向量概念的熟识在同学探究出定义后， 回应引例， 使同学感受到定义的合理性和有用性其次个问题，同学可以通过类比实数运算、得出运算律，并从形的方面给出证明或验证，这样不仅有效的将新学问纳入到他原有的认知结构中，而且相对于讲授法而言，可以让同学对于运算有更深刻的熟识第三个问题，是由引例中详细的向量共线，进一步抽象成一般的向量共线，从而提出问题三，经过同学争论，归纳出定理及其本质这三个问题，均由引例引出，以问题链的形式，层层深化，引导同学探究新知，解决问题，再发觉问题，使同学在螺旋式的探究、解决、发觉中体验科学争论的方法及类比、归纳的思维方式，激发
25、同学主动猎取学问的学习意识三个问题，都是同学能答复但不易完整、精确作答的，易于激发同学爱好，通过详细问题的解决，体验胜利，增强学习数学的自信心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总体来说，本节课特别留意概念的生成过程，教学设计表达“关注同学的学习，提倡同学积极探究、合作沟通”的教学理念老师提出问题，引导同学探究学习教学中充分发挥同学学习的主动性和制造性，挖掘同学潜能，使同学的学习过程成为在老师引导下的“再制造”过程当然，任何教学设计都要考虑到同学的详细情形本节课中，在老师的三个问题引导下，几乎全部的同学都顺当的完成了该节内容的学习假如同学的程度再好一些，这节课的步伐是不是可以迈得再
26、大一些比方说，课题引入后，让同学自己考虑：定义一种新的运算，需要解决哪几方面的问题？定义、法就、运算率而鉴于向量集几何与代数一体的特性，当然有必要考虑其运算的几何意义，于是，很自然的引入平行向量基本定理这样的一节课，就把整个课堂交给了同学，探究的味道会更浓，同学自主的空间也会更大摸索与活动1. 向量与三角是如何联系的？2. 向量是如何沟通代数与几何的？选一节课做出两个教学设计，分组争论，并进行教学设计的沟通与反思。3. 设计一份平面对量的检测试题。在形成性评判和终结性评判上你仍有哪些摸索和困惑？介绍一个你在某一方面的测试方案并谈谈命题摸索。参考资料【相关资源】1. 中学数学教学中的向量 PDF
27、2. 中学数学教学中的向量续 1PDF3. 中学数学教学中的向量续 2PDF4. 中学数学教学中的向量续 3PDF5. 从点到直线的距离公式的推导谈起 PDF6. 关于“平面对量基本定理”的说课 PDF7. 平面对量解题初探 PDF8. 概念教学必需表达概念的形成过程“平面对量的概念”的教学与反思PDF【参考文献】1. 周建华：“向量的加法和减法”教学设计，中学数学月刊2004 年第 3 期2. 刘春燕：“平面对量的数量积” 第一课时 教学设计，中学校数学高中版 2021 年第 03 期.3. 齐民友：“中学数学教学中的向量”，数学通报2007 年第 4 期。4齐民友：“中学数学教学中的向量续
28、1”，数学通报2007 年第 5 期。5齐民友：“中学数学教学中的向量续2”，数学通报2007 年第 6 期。6齐民友：“中学数学教学中的向量续3”，数学通报2007 年第 7 期。课程简介可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结高中数学“平面对量”教学争论【课程简介】向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。本课程从以下三个方面对“平面对量”进行了阐述：一、整体把握“平面对量”教学内容。二、“平面对量”教与学的策略。三、“平面对量”同学学习目标检测分析。本课程主要面对一线老师
29、和教研员， 部分优秀同学也可参照学习。 课程第一部分从平面对量在整个学科学问体系中的位置和作用动身， 帮忙学员深层次懂得“平面对量” 。其次部分就从教学的难点和重点动身， 针对教学中简洁显现的问题， 针对同学学习中简洁显现的错误， 从教学设计到教学实施的各个环节， 有针对性的给出建议。第三部分通过举例说明，目的在于帮忙学员学会依据检测目标，有针对性的设计评判和检测方案。【学习要求】通过本课程的学习，到达以下目标：1. 明白平面对量的背景，明白平面对量在整个学科学问体系中的位置和作用，明白平面对量与代数、几何、三角等的联系。2. 明确平面对量教学的重点和难点，明确同学学习的困难所在，并能设计相应
30、的教学方案把握重点、突破难点。3. 能依据课标要求有针对性的设计一套平面对量的检测试题涉及概念、运算及应用。老师团队【主讲老师】梁丽平北京市数学特级老师，市级学科带头人，校数学教研组组长，海淀区名师工作站导师。多年从事一线教学工作，多年担任海淀区兼职教研员，所教同学成果突出：有高考状元、数学总分值、IMO 金牌。本人曾在国家级刊物上发表过十余篇论文，编写新课标教材初等数论北师大版。与他人合著北京市补充教材概率统计。曾多次参加北京市高中毕业会考命题。参加北京市新课程数学教学指导看法的编写【互动老师】杨杰男，高级老师。北京市骨干老师，海淀区学科带头人，海淀区兼职教研员。多年高三教学经受。崔鹏男，硕士学位，毕业于清华高校，曾获海淀区青年老师基本功教学设计竞赛、说课竞赛、解题竞赛一等奖，教学成果优异。可编辑资料 - - - 欢迎下载