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1、精品名师归纳总结高中数学函数学问点总结一、.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同。定义域一样 两点必需同时具备 二、.求函数的定义域有哪些常见类型？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：函数 yx 4lg xx2 的定义域是3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数定义域求法：分式中的分母不为零。偶次方根下的数（或式）大于或等于零。 指数式的底数大于零且不等于一。对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正切函数ytanxxR, 且xk, k 2可编辑资料
2、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域。三、.如何求复合函数的定义域？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：函数f x的定义域是a, b , ba0,就函数F xf xf x的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义域是。复合函数定义域的求法： 已知 yf x 的定义域为m, n,求 yf g x的定义域, 可由 mg xn 解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载
3、精品名师归纳总结出 x 的范畴,即为 yf gx的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如函数 y四、函数值域的求法f x 的定义域为1 ,2 ,就2f log 2x 的定义域为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求函数 y=2、配方法1 的值域x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y= x2 -2x+5 ,x-1 ,2 的值域。3、判别式
4、法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a. yb k+x 2型：直接用不等式性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b. ybxx 2mxn型, 先化简,再用均值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： yx1121+x21x+x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c. yx2mxn2型 通常用判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xmxnx2mxnd. y型
5、xn法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉x2x1 （ x+1）2 （ x+1）+1 1例： y（ x+1）1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求函数 y= 3 x5 x4 值域。6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例 求函数 y= eex1 , y2sin1 ,11siny2s
6、in1 的值域。1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、函数单调性法通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x5例求函数 y= 2log3x1 （ 2 x 10）的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+x1 的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目如运用数形结合法,
7、往往会更加简洁,一目了然,赏心悦目。22例：已知点 P（ x.y ）在圆 x +y =1 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1y的取值范畴x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2y-2x的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:1 令 yx2k, 就ykx2,是一条过 -2,0的直线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dRd为圆心到直线的距离 ,R为半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2令y-2 xb,即y2xb0, 也是直线 d dR可编辑资料 - - - 欢迎下
8、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例求函数 y=x22 +x28 的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例求函数 y=x6 x13 +2x4 x5 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9 、不等式法利用基本不等式 a+b 2ab ,a+b+c3 3abc （ a, b,c R ）,求函数的最值,其题型特点解析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时必要用到拆项、添项
9、和两边平方等技巧。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：x 2=x22 x0x113 3 x 2113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用公式a+b+c33 abc 时,留意使3者的乘积变成常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 23-2x0x1.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=xx 3-2x xx+3-2x 313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用公式 abc10. 倒数法 abc 3 时,应留意使3者之和变成常数） 3可编辑资料 - - - 欢迎下载
10、精品名师归纳总结有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发觉另一番境况可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求函数 y=xx2 的值域3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx2x3x20时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x21x2120y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx2x22x20时, y=00y12多种方法综合运用总之,在详细求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法, 一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特别方法。五、.如何用定义证明函数的单调性？
11、（取值、作差、判正负） 判定函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：依据定义,设任意得 x1,x 2,找出 fx 1,fx2 之间的大小关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以变形为求(2) 参照图象：f x1 f x2 x1x2的正负号或者f x1f x2与 1 的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数 fx 的图象关于点 a ,b 对称,函数 fx在关于点 a ,0 的对称区间具有相同的单调性。 （特例：奇函数）如函数 fx 的图象关于直线 xa 对称,就函数 fx在关于点 a , 0 的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3) 利用单调函数的
12、性质：函数 fx与 fxcc 是常数 是同向变化的函数 fx与 cfxc是常数 ,当 c0 时,它们是同向变化的。当 c0 时,它们是反向变化的。假如函数 f 1 x ,f 2x 同向变化,就函数 f 1x f 2x 和它们同向变化。（函数相加）假如正值函数 f 1x ,f 2x 同向变化,就函数 f 1xf2x 和它们同向变化。 假如负值函数 f 12 与 f 2x同向变化,就函数 f 1 xf 2x 和它们反向变化。（函数相乘）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数与fx1f x在 fx的同号区间里反向变化。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数 u x ,x
13、 , 与函数 yFu ,u , 或 u , 同向变化,就在 , 上复合函数 yF x是递增的。如函数 u x,x, 与函数 yFu ,u , 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数 yF x是递减的。（同增异减）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fggxfgxfx+g xfx*g x都是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：求ylog 12x 22x的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六、. 如何利用导数判定函数的单调性？可编辑资料 - - - 欢迎下载
14、精品名师归纳总结在区间a,b内,如总有f x0就f x为增函数。（在个别点上导数等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结零,不影响函数的单调性）,反之也对,如f x0了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：已知 a0,函数f xx 3ax在1,上是单调增函数,就a的最大值是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结七、 函数 fx具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx定义域关于原点对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如f xf x 总成立f x为奇函数函数图象关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
15、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结如f xf x 总成立f x为偶函数函数图象关于y轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意如下结论：（1） 在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数。两个偶函数的乘积是偶函数。一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（2） ）如fx 是奇函数且定义域中有原点,就f00。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：如f xa 2 xxa2 为奇函数,就实数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又如：f x 为定义在 1, 1 上的奇函数,当 x0 ,1时, f x 2 x,4
16、x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求f x 在 1,1 上的解析式。八. 判定函数奇偶性的方法1、定义域法一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件. 如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数.2、奇偶函数定义法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算性.f x,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这种方法可以做如下变形fx+f-x =0奇函数fx-f-x=0偶函数fx1偶函数f-xfx1奇函数f-x3、复合函数奇偶性fggxfg
17、xfx+gfx*gxx奇奇奇奇偶奇偶偶非 奇偶非奇偶奇偶非 奇非奇偶偶偶偶偶偶九、.你熟识周期函数的定义吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（如存在实数T（ T0 ）,在定义域内总有f xTf x ,就 f x为周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数, T 是一个周期。）如：如f xaf x,就我们在做题的时候,常常会遇到这样的情形：告知你fx+fx+t=0,我们要立刻反应过来,这时说这f x f xt 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个函数周期 2t.推导：f xt f x2 t 0f x f x2t ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
18、名师归纳总结同时可能也会遇到这种样子： fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x. 其实这都是说同样一个意思： 函数fx 关于直线对称, 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如, fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x 就都表示函数关于直线 x=a 对称。如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又如：如 fx图象有两条对称轴xa, xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即f axf ax,f bxf bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf xf 2axf 2bxf 2axf 2bx可编辑资料 - - - 欢迎下载
19、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令t2ax, 就2bxt2b2a,f tf t2b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即f xf x2b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,函数f x以2 | ba |为周期因不知道 a, b的大小关系 ,为保守起见 ,我加了一个肯定值十.你把握常用的图象变换了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f x 的图象关于y轴 对称 联想点（ x,y ）,-x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f x的图象
20、关于x轴 对称联想点（ x,y ）,x,-y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与 f x 的图象关于 原点 对称联想点（ x,y ）,-x,-y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f1 x 的图象关于 直线yx 对称联想点（ x,y ）,y,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f 2ax的图象关于 直线xa 对称 联想点（ x,y ）,2a-x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f 2ax 的图象关于 点 a, 0 对称联想点（ x,y ）,2a-x,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资
21、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将yf x 图象左移aa右移aa0 个单位0 个单位yf xayf xa上移bb下移bb0 个单位0 个单位yf xab yf xab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意如下“翻折”变换：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x|f x | 把x轴下方的图像翻到上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf | x |把y轴右方的图像翻到上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： f xlog 2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
22、作出ylog2x1 及ylog 2 x1 的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy=log 2xO1x十一、 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=bO a,bOxx=a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）一次函数：ykxbk0k 为斜率, b 为直线与 y 轴的交点 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ）反比例函数：的双曲线。ykk x0 推广为ybkk xa0 是中心O a, b可编辑
23、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）二次函数yax 2bxc a02a xb 2a4acb2 4a图象为抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b4acb2b顶点坐标为,对称轴 x2a4a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结开口方向： a0,向上,函数y min4acb 24a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a根的关系： x0,向下,b2ay max4acb2 4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxb , xxc ,| x
24、x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121212aa| a |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数的几种表达形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xax 2bxc一般式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xa xm 2n顶点式,（m, n）为顶点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xa xx1 xx2 x1, x2是方程的2个根）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xa xx1 xx2h函数经过点（x1, h x2, h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用：“三个二次”
25、（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax 2bxc0,0时,两根x 1、 x2 为二次函数yax 2bxc的图象与 x轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的两个交点,也是二次不等式ax 2bxc0 0 解集的端点值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求闭区间 m, n上的最值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间在对称轴左边（ nb） f max2af m, fminf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间在对称轴右边（ mb
26、 ） f 2amaxf n, fminf m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间在对称轴2边 （ nbm） 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4acb 2f min, f4amaxmaxf m,f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也可以比较 m, n和对称轴的关系, 距离越远,值越大 只争论 a0的情形）求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：二次方程ax2bxc0的两根都大于 kbk 2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f k0可编辑资料 -
27、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结ya0Okx 1x 2x一根大于 k,一根小于 kf k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在区间（ m,n）内有 2根0mbn 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f m0f n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在区间（ m,n）内有 1根f m fn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）指数函数：yaxa0,a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5）对数函数 ylog a x a0
28、,a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由图象记性质！（留意底数的限定！）yxy=a a10a11O1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）“对勾函数”yxkk0 x0a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？（均值不等式肯定要留意等号成立的条件）ykOkx15. 你在基本运算上常显现错误吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结指数运算：a 01 a0 , a p1 a0ap可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ma nn a
29、m am0, a n1 a0n am可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对数运算：loga MNloga Mlog a N M0,N0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结logMlogMlogN, logn M1 logMaaaaaNn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对数恒等式： alog a x对数换底公式： logbxlog c bmlogbnn logb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log a x1log x aalogc aama可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编
30、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（ 1） xR,f x满意f xyf xf y,证明f x为奇函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（先令xy0f 00再令yx,）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）xR,f x 满意f xyf xf y,证明f x 是偶函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（先令xytf t tf t t 可编辑资料
31、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f tf t f tf t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f tf t）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）证明单调性：f x 2 fx 2x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（对于这种抽象函数的题目,其实简洁得都可以直接用死记了1、 代 y=x,2、 令 x=0 或 1 来求出 f0 或 f13、 求奇偶性,令 y=x。求单调性：令 x+y=x1几类常见的抽象函数1. 正比例函数型的抽象函数f （x）kx（ k 0） -f （xy） f （ x） f （y）2. 幂函数型的抽象函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f （x）xa-f （ xy） f （x）f （y）。 f （3. 指数函数型的抽象函数x ）yf xf y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f （x）ax-f （xy）f （x）f （y）。f （xy）4. 对数函数型的抽象函数f xf y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结