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1、精品名师归纳总结2-3 随机变量及其分布Xx1x 2xixnPp1p2pipn要点归纳一、离散型随机变量及其分布列11随机变量：在随机试验中,我们确定了一个对应关 系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量通常用字母X, Y,等表示(2) 离散型随机变量：全部取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量(3) 离散型随机变量的分布列：一般的,如离散型随机变量X可能取的不同值为 x1,x2 , xi , x n, X取每一个值xi i 1, 2, , n 的概率P X xi pi,以表格的形式表示如下：
2、我们将上表称为离散型随机变量X 的概率分布列,简称为X的分布列有时为了简洁起见,也用等式PX xi pi , i 1, 2, , n表示 X的分布列(4) 离散型随机变量的分布列的性质： pi 0, i 1, 2, ,n。n pi 1.i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 常见的分布列：两点分布：假如随机变量X的分布列具有下表的形式,就称X听从两点分布,并称 pPX 1为胜利概率 .X01P1pp两点分布又称0 1 分布,伯努利分布超几何分布：一般的,在含有M 件次品的 N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,就大事 X k 发生的概率为P Xkn k可编辑资料
3、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结kCM C N MCn N, k 0, 1, 2, m,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X01m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0n 01n 1mn m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CM CN MCPnNCM C N MCn NCM CN MCnN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 mmin M, n ,且n N,MN, n,M, N N* .假如随机变量 X的分布列具有上表的形式,就称随机变量X 听从超几何分布2. 二项分布及其应用(1) 条件概率：一般的,设A 和 B 是两个大事,且
4、P A 0,P（ AB）称 PB|A P（ A） 为在大事 A 发生的条件下, 大事 B 发生的条件概率 PB |A读作 A 发生的条件下B 发生的概率(2) 条件概率的性质：0 PB|A 1。必定大事的条件概率为 1,不行能大事的条件概率为0。假如 B和 C 是两个互斥大事,就P B C |A P B|A PC|A(3) 大事的相互独立性：设A, B 为两个大事,假如P AB PAPB,就称大事 A 与大事 B 相互独立假如大事A 与 B相互独立,那么A 与B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立(4) 独立重复试验：一般的,在相同条件下重复做的n次试验称为 n次独立重复试验(5) 二
5、项分布：一般的,在n次独立重复试验中,设大事A 发生的次数为 X,在每次试验中大事A发生的概率为 p,那么在 n次独立重复试验中,大事A恰好发生 k次的概率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P X k Cpk1 pn k, k 0,1, 2, , n.此时称随机变量 X听从二项分布,记作 X B n, p,并称 p为胜利概率两点分布是当n 1时的二项分布,二项分布可以看成是两点分布的一般形式3. 离散型随机变量的均值与方差(1) 均值、方差：一般的,如离散型随机变量X的分布列为Xx1x2x ix nPp1p2pipn就称 EX x1 p1 x2p2 xi pi xn pn为随机
6、变量 X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称 D X nxi E X 2 pi 为随机变量X 的方差,D （ X ）为i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结随机变量 X 的标准差(2) 均值与方差的性质：如Y aX b,其中 a,b是常数, X 是随机变量,就 Y也是随机变量,且 EaXbaEX b,DaXb a2DX(3) 常见分布的均值和方差公式：两点分布：如随机变量X听从参数为 p的两点分布,就均值 EXp,方差 DX p1p二项分布：如随机变量 XBn, p,就均值 EXnp, 方差 DX np1p可编
7、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 正态曲线的特点：曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交。曲线是单峰的,它关于直线x对称。曲线在 x处达到峰值 12。曲线与 x 轴之间的面积为 1.(3) 和 对正态曲线的影响：当 肯定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿 x轴平移。当 肯定时,曲线的外形由确定, 越小,曲线越 “瘦高 ”,表示总体的分布越集中。越大,曲线越 “矮胖 ”,表示总体的分布越分散(4) 正态分布的 3原就：如随机变量 XN, 2,就P X 0.682 6, P 2 X 2 0.954 4, P 3 X 3 0.997 4.在实际应用中,通常认为听从于正态分布N,2
8、的随机变量 X只取 3, 3之间的值,并简称之为 3原就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结专题一条件概率1. 条件概率的求法(1) 利用定义,分别求出PA和 PAB ,解得 PB |A P（ AB ）P（ A） .(2) 借助古典概型公式,先求大事A 包含的基本领件数nA,再在大事 A 发生的条件下求大事B 包含的基本领件数 n AB,得 PB|A n（ AB ） .n（ A）2. 解决概率问题要留意“三个步骤,一个结合”(1) 求概率的步骤是： 第一步,确定大事性质。其次步,判定大事的运算。 第三步,运用公式(2) 概率问题经常与排列、组合学问相结合可编辑资料 - - - 欢迎
9、下载精品名师归纳总结【例1】在5道题中有 3道理科题和 2道文科题假如不放回的依可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结次抽取 2道题,求：(1) 第1次抽到理科题的概率。(2) 第1次和第 2次都抽到理科题的概率。(3) 在第 1次抽到理科题的条件下,第 2次抽到理科题的概率 解 设“第1次抽到理科题 ”为大事 A, “第2次抽到理科题 ”为大事B,就 “第1次和第 2次都抽到理科题 ”为大事 AB.51从 5 道题中不放回的依次抽取 2 道题的大事数为 n A 220.依据分步乘法计数原理, nA A1 A 1 12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 PAn（
10、A） n（ ） 34123 .205可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结专题二相互独立大事的概率1. 求相互独立大事一般与互斥大事、对立大事结合在一起进行考查,解答此类问题时应分清大事间的内部联系,在些基础上用基本领件之间的交、并、补运算表示出有关大事,并运用相应公式求解2. 特殊留意以下两公式的使用前提(1) 如A, B互斥,就 PA BPAPB,反之不成立 2如A, B相互独立,就 PABPAPB,反之成立【例 2】 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件,甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为1,4乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的
11、概率为 1 ,甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2.129(1) 分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率。(2) 从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结专题三 离散型随机变量的分布列、均值与方差1. 离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布,由于这两种分布列在生活中应用较为广泛,故在高考中对该学问点的考查相对较敏捷,常与期望、方差融合在一起,横向考查2. 对于分布列的求法,其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法,运算时可
12、能会用到等可能大事、互斥大事、相互独立大事的概率公式等3. 均值与方差都是随机变量重要的数字特点,方差是建立在均值这一概念之上的,它说明白随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度,二者联系亲密,在现实生产生活中特殊是风险决策中有着重要意义,因此在当前的高考中是一个热点问题【例3】 某的区试行高考考试改革：在高三学年中举办5 次统一测试, 同学假如通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上高校连续学习,不用参与其余的测试,而每个同学最多也只能参与35 次测试 假设某同学每次通过测试的概率都是1,每次测试时间间隔恰当每次测试通过与否相互独立(1) 求该同学考上高校的概率。(2) 假如考上高校或
13、参与完 5次测试就终止,记该生参与测试的次数为 X,求X的分布列及 X的数学期望可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PX 5 C14 132 3 2 4 16.3327故 X 的分布列为：XP2193427442751627EX 29 31441627 4 5 2727389 .【例4】 2022 枣庄检测 某单位为了参与上级组织的普及消防知识竞赛,需要从两名选手中选出一人参与为此,设计了一个选择方案：选手从 6 道备选题中一次性随机抽取3 题通过考查得知： 6 道备选题中选手甲有4 道题能够答对, 2 道题答错。选手乙答对每题的概率都是2,且各题答对与否互不影响设3选手甲、选手乙
14、答对的题数分别为, .(1) 写出的概率分布列 不要求运算过程 ,并求出 E, E。(2) 求D, D请你依据得到的数据,建议该单位派哪个选手参与竞赛？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 1的概率分布列为P115235315所以 E 11 2 3 31 2.555由题意, B 3, 2 , E 3 233 2,或者 P 0 C0 1 33 3 271 。1 2 1 1 22P 1 C 。3 339P 2 C2 2 2 1 4。 P 3 C3 2 3 8 ,3 3393 327专题四正态分布【例5】 某市去年高考考生成果听从正态分布N500, 502,现有25 000名考生,试确定考生成果在 550600分的人数解 考生成果 X N500, 502, 500, 50,P550 X 600 2 P500 2 50 X 500 2 50 P500 50 X 500501 20.954 4 0.682 6 0.135 9.1故考生成果在 550 600 分的人数约为 25 000 0.135 9 3 398人可编辑资料 - - - 欢迎下载