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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第四章二次型练习 4、1x1、写出以下二次型的矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）f x1, x2, x3 = 2x224x x2x2 x3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1213（ 2）f x1 , x2 , x3 , x4 = 2x1 x22x1 x32x1 x42x3 x4 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（1） 由于2f x1, x2 ,
2、 x3 = x1 , x2 , x3 0202x111x2,10x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以二次型2f x1 , x2 , x3 的矩阵为：02021 1。10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 由于0111x11000x21001x31010x4f x1 , x2 , x3 , x4 = x1 , x2 , x3 , x4 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以二次型f x1 , x2 , x3 , x4 的矩阵为：。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
3、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结01111000100110102、写出以下对称矩阵所对应的二次型：0110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11（ 1）21211222111102。（ 2）222。110122220111T22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（1） 设 Xx1, x2, x3 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -
4、 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1, x2, x3 =XTAX= x, x211, x3 2121122x102x2x322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x31=22x 2x1 x2x1 x34x2 x3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设 Xx1, x2, x3, x4 ，就TT01102x11111222
5、x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1, x2 , x3 , x4 =XAX= x1 , x2 , x3 , x4 11210201x32x4112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx22练习 4、 2=24x1 x22x1 x3x2 x3x2 x4x3 x4 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x21、用正交替换法将以下二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）f x1, x2, x3 = 2x224x1x24x2 x3 。可编辑资料 -
6、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（ 2）f x1 , x2 , x3 = 2x1x22x2 x3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）f x1, x2, x3 = x22x 23x24x1x24 x2 x3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123解：（1） 二次型f x1, x2 , x3 的矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结220A=212。020可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
7、总结A 的特点方程为detE2A =2 02012 = 22254 =0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此得到 A 的特点值12 ，21 ，34 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于12 ，求其线性方程组2EA) X0 ，可解得基础解系为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料
8、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -11,2,2T 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于21，求其线性方程组EA X0 ，可解得基础解系为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T22,1,2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于34 ，求其线性方程组4 EA X0 ，可解得基础解系为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 2,2,1T 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎
9、下载精品名师归纳总结将1 ,2 ,3 单位化，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,1123311,12 T ，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,12122,2332 T ，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,12233,3331T ，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令P= 1 ,122333，3332213332122 ,3 =可编辑资料
10、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就PTAP =diag-2,1,4=作正交替换X=PY ，即200010。004可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12x1y1y23321x2y1y23322x3y1y2332y332y3 ，31y33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次型f x1 , x2 , x3 可化为标准形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1y322 y224 y2 。可编辑资料 - - - 欢
11、迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）类似题（ 1）方法可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12P=012112200011， PTAP=020，221100222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即得标准形：2 y 22 y 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2
12、3（ 3）类似题（ 1）的方法可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即得标准形：P=12 y 223132325y 21323233y 2 。232002， PT AP=050，310013可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、用配方法将以下二次型化为标准形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）f x1, x2, x3 = x22x25x22 x1x22x1 x36x2 x3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123（ 2）f x1 , x2 , x3 = 2x1x24x1 x3
13、。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）f x1 , x2 , x3 =4x1 x22x1 x32x2 x3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（1） 先将含有x1 的项配方。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x , x, x = x 2 + 2x xx + xx 2 xx 2 + 2x 2 + 6x x+ 5x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123112323232233可编
14、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= xxx 2 + x2 + 4x x + 4x2 ，1232233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结再对后三项中含有x2 的项配方，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x , x , x = xxx 2 + x2 + 4xx + 4x2 = xxx 2 + x2x 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123123223312323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 Y= y1, y2,
15、y3 T ， X= x, x2, x31 T ，B=0201112，200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1令 Y=BX，就可将原二次型化为标准形y1y2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）此二次型没有平方项，只有混合项。因此先作变换，使其有平方项，然后按题（1） 的方法进行配方。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word
16、 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -令x1y1y2x1110y1x2y1y2，即x2=110y2。x3y3x3001y3就原二次型化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 , x2 , x3 = 2 y1y2 y1y2 + 4 y1y 2 y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2223= 2 y1 2 y 2 + 4 y1 y3 + 4 y2 y3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3=2 y1y 2 2 yy 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 Y=
17、y1, y2, y3 T ， Z= z, z2, z31011 T ， B=011，22000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 Z=BY，就可将原二次型化为标准形2z12z2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） 类似题（ 2）的方法，可将原二次型化为标准形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14z24z2z 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23233、用初等变换法将以下二次型化为标准形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）f x1, x2, x3 =
18、 x22x24x 22x1 x24x2 x3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（ 2）f x1, x2, x3 = x23x232x1x22x1 x36x2x3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（ 3）f x1 , x2 , x3 = 4x1 x22x1x36x2 x3 。（此题与课本貌似而已，留意哈）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（1） 二次型f x1, x2 , x3 的矩阵为可编辑资料
19、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结110A=122。024于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x2110110100100122012012010A024024024000E100100110112010010010012001001001001令=。学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -112C=012，00122作可逆线性变换X=CY ，原二次型可化为标准形：可编辑
20、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1, x2, x3 =12 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy2（ 2） 类似题（ 1）的方法，原二次型可化为标准形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1, x2, x3 =14 y2y 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y23（ 3） 类似题（ 1）的方法，原二次型可化为标准形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14、已知二次型f x1, x2, x3 =2 y 2126 y 2 。y322可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精
21、品名师归纳总结f x1, x2, x3 = 5x 25x2cx22x1x26x1 x36x2 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123的秩为 2。求参数c 的值，并将此二次型化为标准形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 二次型f x1 , x2 , x3 的矩阵为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结513A=153。33c由于 A 的秩为 2，令 detA=0，可得 c=3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即f x1, x2, x3 = 5x 25x 23x22x1 x26x1 x36x2 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载
22、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123也就是513A=153，333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通过初等变换法，即可将其化为标准形：4 y 29 y 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结235、设 2n 元二次型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1 , x2 , x2 n = x1 x2 nx2 x2 n 1xn xn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试用可逆线性替换法将其化为标准形。解： 令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
23、学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1y1x2y2y2n10010110y2 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xnynxn 1ynyn 1yn 111， P=，11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 n 1
24、y2y2n 10110可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 ny1y2n1001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即作正交变换X=CY ，二次型f x1 , x2 , x2 n 可化为标准型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yyyy。22221nn 12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、已知二次型f x1, x2, x3 = 2x 23x 23x 22ax2 x3a0 通过正交变换化为标准可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123y2型 f12y 25y2 ，求 a 的值及所作的正交替换矩阵。可编辑资料 - - -
25、欢迎下载精品名师归纳总结23解： 由于原二次型可化为f22 y 25y 2 ，可知原二次型的矩阵的特点值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2311， 2 和 5。而原二次型的矩阵为200A=03a。0a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 A 的特点方程为detE20A =030a0a= 32269a2 =0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此将此特点方程的解1， 2，5 代入得： a=2。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于11 ，求其线性方程组 EA) X0 ，可解得基础解
26、系为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10,1,1 T 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于22 ，求其线性方程组2 EA X0 ，可解得基础解系为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21,0,0 T 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于35 ，求其线性方程组5 EA X0 ，可解得基础解系为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结30,1,1T 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - -
27、 - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将1 ,2 ,3 单位化，得11110,1 ,122 T ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2211,0,0 T ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3310,1 ,321 ，T2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故正交替换矩阵为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 4、
28、3P= 1 ,010112 ,3 =0。2210122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1231、判别以下二次型是否为正定二次型：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）f x1, x2, x3 = 5x26x24x 24x1 x24x2 x3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）f x1, x2, x3 =10 x22 x238x1 x224x1 x328x2x3 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1（ 3）f x1, x2, x
29、3, x4 = x 224x27x 26x1 x34x1x44x2 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x3422x2 x44x3 x4 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（1） 二次型f x1, x2 , x3 的矩阵为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结520A=262。024可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5由于 50 ，2522=26 0，2660202 =840,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 A 的一切次序主子式都大于零，故此二次型为正定的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） 二次型f x1 , x2 , x3 的矩阵为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x2学习资料 名师精选 - - - - - - - - -