2022线性代数练习册第四章习题及答案.docx

《2022线性代数练习册第四章习题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022线性代数练习册第四章习题及答案.docx（42页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、2022线性代数练习册第四章习题及答案篇一：线代第四章习题解答 第四章 空间与向量运算 习题4.1 4-1-1、已知空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C?2,2,1? （1）求向量,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形； （2）求点A与B之间的距离 解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0) (2) AB? ?4-1-2利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出下列各点的特殊位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B（0，4，3）点在yoz面上

2、 C（3，0，0）在x轴上 D（0，1，0）在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v?3b?c，试用a、b、c表示3u?3v 解：3u2v3（ab2c）2（3bc）3a3b8c 4-1-7. 试用向量证明：如果平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形 解： 设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已知AOOC，DOOB 因为ABAOOBOCDODC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。 4-1-8. 已知向量a的模是，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影 ? 解：. p rju ?u)?4*cos604?r?rcos(r 。 3 23

3、2 4-1-9. 已知一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标 解： 设起点A为（ x,y,z ） p rjx AB?(2?x0)?4 p rjy AB?(?1? y)?4 p rjz AB?(7?z0)?7 解得： x ?2y?3z0?0 4-1-12. 求下列向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位向量： （1）a?2,?1,1? ； （2）b?4,?2,2? ； （3）c?6,?3,3? ； （4）d?2,1,?1? 解：（1）a（2，1，1）a? 2 2 ?(?1)?1 2 2 cos? 22 ? a36 cos?

4、?1?26 ? cos? a6a6 （2）b=(4,-2,2) b? 4 2 ?(?2)?2 cos? 2 2 26 ? b3 cos? 26?2?b666 ? cos? b0?,?, b6b6b366 （3）c=(6,-3,3) c? b 2 ?(?4)?3 cos? 2 2 236 ? 3 cos? ?33? ? 6 cos? 2 336 2 ? 6 6 2 （4）d=(-2,1,-1)d? (?2)?1?(?1)?6 cos? ?2? 6 3 cos? 16 ? d6 cos?d0?,? 66d366 与前三向量单位同的d? 6,?。 366 4-1-13. 设向量的方向余弦满足下列条件

5、： （1）cos?0； （2） cos?1 ； （3） cos?cos?0 指出这些向量与直角坐标系的坐标轴或坐标平面的关系 解： (1)cos?0(2)cos?1 表明向量与x轴垂直；表明向量与y轴平行； (3)cos?cos?0 量的方向余弦 解： 表明向量既和x轴垂直又与y轴垂直，即垂直于xoy面。 4-1-14. 设一向量与x轴及y轴的夹角相等，而与z轴的夹角是与x轴夹角的两倍，求这向 设向量的方向余弦为cos?.cos?.cos?。由已知?2?，又?cos2?cos2?cos2?1 1 2 即cos2?cos2?cos22?1?2cos2?(2cos2?1)2?1?cos?0或cos

6、?111 ?方向余弦为0，0，?1,?,?,?。 222 习题 4.2 4-2-1.已知向量a与b的夹角为 ? 3 ,a?3,b?4，求下列各值： （1）a?b ； （2）b?b ； （3）?a?b?a?b?； （4）(a?2b)?(3a?b) ；（5）?a?a?b?b?. 解： (1)a?b?abcos?3?4?cos ? 3 (2)b?b?bbcos?4?4?1?16； 2 2 ?6； (3) (a?b)?(a-b)?a?b?9?16?7； (4) (a-2b)?(3a?b)?3a2?5ab?2b2?27?30?32?35；(5)(a?a)(b?b)?9?16?144； 4-2-2.试在点

7、P?0,1,1?与Q?1,1,2?的联线上确定一点R，使点A?1,0,1?与R的联线垂直于 PQ. ? 解：PQ?1,0,1?，设R坐标为?x,y,z?即?1,0,1?x?1,y,z?1?0 ?PQ?AR,?PQ?AR ?1?x,y,z?1?0 ?R坐标为?1,y,1?。 4-2-3.已知向量a?e1?e2,b?e1?2e2?2e3求a与b的夹角. 解： a?1,1,0?cos(a?b)? b?1,?2,2? a?b?1?1?1?(?2)?0?22 ? ab22?3 ?a,b夹角为135?。 4-2-4.试用向量证明三角形的余弦定理. 证明：在?ABC中，建立向量如图，又c?a?b,c2?a?

8、b?a2?b2?2ab. 2 c?a?b?2abcosc 222 4-2-5.已知向量a?1,0,?1?,b?1,?2,1?，求a?b. ?a?1,0,-1 i a?b?1 j0 b?1,?2,1?k ?1?2k?2i1 ?1?2 4-2-6.已知向量a?2e1?3e2,b?3e2?2e3，求a?b. .解. a?2,3,0?b?0,3,2? ijk a?b?230?6i?4j?6k 032 a?b?62?(?4)2?6?222 、B(1,0,6)、C(4,5,-2)4-2-7.求以A(7,3,4)为顶点的三角形的面积 . 解：由向量积定义，知S?ABC ?1?1? ?ABACsin?A?AB

9、?AC22 ijk ? ?AB?AC?6?32?14i?42j?21k ?3 ?S?ABC? 2 6 49?2 4-2-8.设a、b为互相垂直的单位向量，求以c?2a?3b,d?a?4b为邻边的平行四边形面积. c?dc、d为邻边的平行四边形面积，即 4-2-9.已知向量a、b、c满足a?b?c?0，求证a?b?b?c?c?a. S?c?d?2a?3b?a?4b?2a?a?8a?b?3b?a?12b?b?a?b?11 证：a?b?a?a?c?a?a?a?c?c?a 4-2-10.已知向量a、b、c、d满足a?b?c?d,a?c?b?d,，求证向量a?d与b?c平行. ?a?d?b?c?a?b?

10、a?c?d?b?d?c?a?b?c?d?a?c?b?d?0证： 故a?b与b?c共线。 、B(1,2,1)、C(2,3,0)与D(5,0,6)在同一平面上. 4-2-11.证明点A(2,-1,-2) 证：?1,3,3?0,4,2?3,1,?4? ?422004? ?,?18,6,?12? ?2?4?4331?AB?AC?AD?1,3,3?18,?6,?12?0故A、B、C、D四点共面。 4-2-12.证明向量a?e1?3e2?2e3,b?2e1?3e2?4e3与c?3e1?12e2?6e3是共面的. ? ?e1? ? 证：a?1,3,2?e2? ?e?3?e1? b?2,?3,?4?e2? ?

11、e?3?e1? c?3,12,6?e2? ?e?3? ?1? ?a?b?c?b?2 ?3c? 故a、b、c共面。 a3?312 2?e1?1? ?4?e2?2 ?6?3?e3? 3?312 2?4?06 4-2-13.如果a?b?b?c?c?a?0，证明向量a、b、c共面. 证：a?b?c?b?c?c?a?c?b?c?c?c?a?c?0故a、b、c共面。 4-2-14.设向量a?1,0,?1?,b?2,1,0?,c?0,0,1?，计算下列各式： （1）?a?b?c ； （2）?a?b?a?c? 解：?1?a?b?c 10?1 ?210?1011 ?2?a?b?a?c? ?0?1?1110?0?

12、1?110?,?210122101101? 、B（1,2,2)与C?3,?1,4?，4-2-15.四面体的三条棱从点O?0,0,0?连至点A(2,3,1)求四面体 OABC的体积. 解： 篇二：线性代数第四章习题答案 习题四答案 (A) 1 求下列矩阵的特征值与特征向量: ?3?1 ?1?3? (1) ? ?1 ? (2) ?2 ?2?0?1?2?(4) ?4 ?10?1?1 ?1? (6)?2 ?30? 21?2130?14 2? ?2? 1?0?0? 2? ?2 ?(3) ?2 ?0?4?(5) ?2 ?1? ?21?2201 ?3 1?2? 5? 解 （1）矩阵A的特征多项式为 ?E?A

13、? ?3 1 1 ?3 ?(?2)(?4)， 所以A的特征值为?1?2,?2?4 对于?1?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?1?(1,1) T ，所以A的属于特征值2的全部特征向量为k1?1?k1(1,1) T (k1?0为任意常数) 对于?2?4，解对应齐次线性方程组(4E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?2?(1,?1)T，所以A的属于特征值4的全部特征向量为k2?2?k2(1,?1)T (k2?0为任意常数) （2）矩阵A的特征多项式为 ?1?2?22 ?(?1)(?1)(?3)， ?E?A?2 2 ?12 ?1 所以A的特征值为?1?1，?2?1

14、，?3?3 对于?1?1，解对应齐次线性方程组(?E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?1?(1,?1,0)k1?1?k1(1,?1,0) T T ，所以A的属于特征值-1的全部特征向量为 (k1?0为任意常数) 对于?2?1，解对应齐次线性方程组(E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?2?(1,?1,1)k2?2?k2(1,?1,1) T ，所以A的属于特征值1的全部特征向量为 T (k2?0为任意常数) 对于?3?3，解对应齐次线性方程组(3E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?3?(0,1,?1) k3?3?k3(0,1,?1) TT ，所以A的属于特征值3的全部特征向量为 (k3

15、?0为任意常数) (3) 矩阵A的特征多项式为 ?220 2?(?2)(?1)(?4)， ?E?A?20 ?12 ? 所以A的特征值为?1?1，?2?4，?3?2 对于?1?1，解对应齐次线性方程组(E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?1?(2,1,?2)k1?1?k1(2,1,?2) T ，所以A的属于特征值1的全部特征向量为 (k1?0为任意常数) T 对于?2?4，解对应齐次线性方程组(4E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?2?(2,?2,1)k2?2?k2(2,?2,1) TT ，所以A的属于特征值4的全部特征向量为 (k2?0为任意常数) 对于?3?2，解对应齐次线性方程组(

16、?2E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?3?(1,2,2) k3?3?k3(1,2,2) T T ，所以A的属于特征值-2的全部特征向量为 (k3?0为任意常数) (4)矩阵A的特征多项式为 ?4?2?3 ?2?(?1)(?3)， 2 ?E?A?21 ?12 ? 所以A的特征值为?1,2?1（二重），?3?2 对于?1,2?1，解对应齐次线性方程组(E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?1?(1,2,?1)k1?1?k1(1,2,?1) T T ，所以A的属于特征值1的全部特征向量为 (k1?0为任意常数) 对于?3?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?2

17、?(0,0,1)k2?2?k2(0,0,1) T T ，所以A的属于特征值2的全部特征向量为 (k2?0为任意常数) (5)矩阵A的特征多项式为 ?4?2?1 1?(?2)， 2 ?E?A?2?1 ?3?1 ? 所以A的特征值为?1?0，?2,3?2（二重） 对于?1?0，解对应齐次线性方程组(0E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?1?(1,?1,?2) T ，所以A的属于特征值0的全部特征向量为 T k1?1?k1(1,?1,?2) (k1?0为任意常数) 对于?2,3?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?2?(1,?1,0)k2?2?k2(1,?1,0)

18、 T T ，所以A的属于特征值2的全部特征向量为 (k2?0为任意常数) (6)矩阵A的特征多项式为 ?4?2?3 ?2?(?1)(?3)， 2 ?E?A?21 ?12 ? 所以A的特征值为?1?6，?2,3?2（二重） 对于?1?6，解对应齐次线性方程组(6E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?1?(1,?2,3)k1?1?k1(1,?2,3) T T ，所以A的属于特征值6的全部特征向量为 (k1?0为任意常数) 对于?2,3?2，解对应齐次线性方程组(2E?A)X?O，可得它的一个基础解系为?2?(1,?1,0) T ，?3?(1,0,1) T T ，所以A的属于特征值2的全部特征向量

19、 T 为k2?2?k3?3?k2(1,?1,0) 2 设A为n阶矩阵， ?k3(1,0,1) (k2,k3为不全为零的任意常数) k (1) 若A?O，且存在正整数k，使得A?O(A称为幂零矩阵)，证明:A的 特征值全为零； (2) 若A满足A2?A(A称为幂等矩阵)，证明:A的特征值只能是0或1； (3) 若A满足A2?E(A称为周期矩阵)，证明: A的特征值只能是1或?1 证明：设矩阵A的特征值为?，对应的特征向量为?，即A?. （1）因Ak?k?，而Ak?O,故?k?O.又因?O，故?k?0，得?0. （2）因A2?2?，而A2?A,故?A?A2?2?，即 22 (?)?O.又因?O，故

20、?0，得?0或1. （3）同（2）可得?A?A2?2?，即(?2?1)?O.又因?O，故 2 ?1?0，得?1或?1. 3 设?1,?2分别为n阶矩阵A的属于不同特征值?1和?2的特征向量，证明:?1?2不是A的特征向量 证明：反证法.若?1?2是A的特征向量，相应的特征值为?，则有 A(?1?2)?(?1?2)， 即A?1?A?2?1?2.又因?1,?2分别为矩阵A的属于特征值?1和?2的特征向量，即A?1?1?1，A?2?2?2，则 ?1? 2 ?1?2，即(?1)?1?(?2)?2?O. 因?1,?2是矩阵A的属于不同特征值的特征向量,故?1,?2线性无关，于是可得 ?1?0,?2?0，

21、即?1?2，矛盾. 4 证明定理4.4. 若?是n阶矩阵A的特征值，则 m (1)设f(x)?a0?a1x?amx，则f(?)是f(A)的特征值，其中 f(A)?a0E?a1A?amA m (m?N)； 篇三：同济版线性代数第四章习题全解 第四章 向量组的线性相关性 1设v1?(1,1,0)T,v2?(0,1,1)T,v3?(3,4,0)T, 求v1?v2及3v1?2v2?v3. 解 v1?v2?(1,1,0)T?(0,1,1)T TT ?(1?0,1?1,0?1)?(1,0,?1) 3v1?2v2?v3?3(1, ?(0, 1,1, 0)?2(0,2) TT 1,1)?(3, T 4, 0)

22、 T T ?(3?1?2?0?3,3?1?2?1?4, 3?0?2?1?0) 2设3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)其中a1?(2,5,1,3)T, TT a2?(10,1,5,10),a3?(4,1,?1,1),求a 解由3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)整理得 a? 16 (3a1?2a2?5a3)? T 16 3(2,5,1,3) T ?2(10,1,5,10) T ?5(4,1,?1,1) T ?(1,2,3,4) 3举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组a1,a2,?,am是线性相关的,则a1可由a2,?am,线性表示. (2)若有不全为0的数?1,?2

23、,?,?m使 ?1a1?mam?1b1?mbm?0 成立,则a1,?,am线性相关, b1,?,bm亦线性相关. (3)若只有当?1,?2,?,?m全为0时,等式 ?1a1?mam?1b1?mbm?0 才能成立,则a1,?,am线性无关, b1,?,bm亦线性无关. (4)若a1,?,am线性相关, b1,?,bm亦线性相关,则有不全为0的数, ?1,?2,?,?m使?1a1?mam?0,?1b1?mbm?0 同时成立. 解 (1) 设a1?e1?(1,0,0,?,0) a2?a3?am?0 满足a1,a2,?,am线性相关,但a1不能由a2,?,am,线性表示. (2) 有不全为零的数?1,

24、?2,?,?m使 ?1a1?mam?1b1?mbm?0 原式可化为 ?1(a1?b1)?m(am?bm)?0 取a1?e1?b1,a2?e2?b2,?,am?em?bm 其中e1,?,em为单位向量,则上式成立,而 a1,?,am,b1,?,bm均线性相关 (3) 由?1a1?mam?1b1?mbm?0 (仅当?1?m?0) ?a1?b1,a2?b2,?,am?bm线性无关 取a1?a2?am?0 取b1,?,bm为线性无关组 满足以上条件,但不能说是a1,a2,?,am线性无关的. (4) a1?(1,0)T a2?(2,0)T b1?(0,3)T b2?(0,4)T ?1a1?2a2?0?

25、1?2?2? ? ? ?1?2?0与题设矛盾. 3 ?1b1?2b2?0?1?2? ?4 4设b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a4,b4?a4?a1,证明向量组 b1,b2,b3,b4线性相关. 证明设有x1,x2,x3,x4使得 x1b1?x2b2?x3b3?x4b4?0则 x1(a1?a2)?x2(a2?a3)?x3(a3?a4)?x4(a4?a1)?0 (x1?x4)a1?(x1?x2)a2?(x2?x3)a3?(x3?x4)a4?0 (1) 若a1,a2,a3,a4线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,k3,k4, k1?x1?x4;k2?x1?x2;k3?x2?x3

26、;k4?x3?x4; 由k1,k2,k3,k4不全为零,知x1,x2,x3,x4不全为零,即b1,b2,b3,b4线性相 关. ?x1?x1 (2) 若a1,a2,a3,a4线性无关,则? ?x2?x?3 ?x4?0 ?1? ?x2?0?1 ? 0?x3?0 ? ?x4?0?0 0110 0011 1? ?0?0?1?x1?x2? ?0 ?x3?x4? 10110 0011 1011 ?0知此齐次方程存在非零解 由 101 则b1,b2,b3,b4线性相关. 综合得证. 5设b1?a1,b2?a1?a2,?,br?a1?a2?ar,且向量组 a1,a2,?,ar线性无关,证明向量组b1,b2,

27、?,br线性无关. 证明 设k1b1?k2b2?krbr?0则 (k1?kr)a1?(k2?kr)a2?(kp?kr)ap?krar?0 因向量组a1,a2,?,ar线性无关,故 ?k1?k2?kr?0?1 ? k2?kr?0?0 ? ?k?0?0?r ?1? ?0 1?k1 ?1?k2?1?kr?0?0? ?0? 1?1? ?0 11?1 ?1?0故方程组只有零解 因为 0?0 则k1?k2?kr?0所以b1,b2,?,br线性无关 6利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: ?25?75(1) ? 75?25 31949432 17535420 43? ?132? ;(2) ?

28、134?48? ?1?0?2?1 1201 2130 25?1431111 1?1? . ?3?1?17233 43?3? ?5?5? ?25?75 解 (1) ? 75?25?25 r4?r3? ?0?r3?r2?0 ?0 3194943231101 1753542022210 43?25 ?r?3r? 1132?2?0 ?134r3?3r10 ?48?r4?r1?043?3? ?3?0? 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. ?1?0(2) ? 2?1 1201 21301200 25?14 21 1?1?r?2r? 1?1?3?0?03r?r1?4 ?1?0 2520 1? ?1? ，

29、 ?2?0? 12?20 21?1?2 25?52 1?1? ?1?2? ?1 r3?r2?0 ?r3?r4?0 ?0 ?20 所以第1、2、3列构成一个最大无关组 7求下列向量组的秩,并求一个最大无关组: ?1?9?2?2?101?4? (1) a1?,a2?,a3?; ?1102 ?44?8? TTT (2) a1?(1,2,1,3),a2?(4,?1,?5,?6),a3?(1,?3,?4,?7). 解 (1) ?2a1?a3?a1,a3线性相关. T?a1?T 由?a2 ?T?a3 ?1?9?2 2101?4 ?1102 4?4?8? ?1 ?0?0?1?0?0? 2820 ?1190

30、4? ?32? 0?3? ?18? ?10? 秩为2,一组最大线性无关组为a1,a2. T ?a1?T (2) ?a2 ?T?a3 ?1213?4?1?5?6?1?3?4?7? 213?1?0?9?9?18? ?0?000? 2?9?5 1?9?5 T 秩为2,最大线性无关组为a1T,a2. 8设a1,a2,?,an是一组n维向量,已知n维单位坐标向量e1,e2,?,en能 由它们线性表示,证明a1,a2,?,an线性无关. 证明 n维单位向量e1,e2,?,en线性无关 不妨设: e1?k11a1?k12a2?k1nane2?k21a1?k22a2?k2nan?en?kn1a1?kn2a2?

31、knnan T?e1?T?e2 所以 ? ?eT?n ?k11?k21? ?k?n1k12k22?kn2 ? k12k22?kn2 ? T k1n?a1 ?Tk2n?a2 ? ?T knn?an ? ? ?a1 TT 两边取行列式，得 e1?en TTT k11?k21?kn1 T k1na1T k2na2 e1 TT e2 ? 由 e2? ?0? a2? ?0 T knnan en T an T 即n维向量组a1,a2,?,an所构成矩阵的秩为n 故a1,a2,?,an线性无关. 9设a1,a2,?,an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一n维向量都可由它们线性表示. 证

32、明 设?1,?2,?,?n为一组n维单位向量，对于任意n维向量 a?(k1,k2,?,kn)则有a?1k1?2k2?nkn即任一n维向量都 T 可由单位向量线性表示. 必要性 ? a1,a2,?,an线性无关，且a1,a2,?,an能由单位向量线性表示，即 ?1?k11?1?k12?2?k1n?n?2?k21?1?k22?2?k2n?n ? ?n?kn1?1?kn2?2?knn?n T?a1?T?a2故? ?aT?n ?k11?k21? ?k?n1 k12k22?kn2 ? T k1n?1? ?T?k2n?2? ? ? ?T?knn?n? 两边取行列式，得 线性代数练习册第四章习题及答案出自：百味书屋链接地址： 转载请保留,谢谢!本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第42页 共42页第 42 页 共 42 页第 42 页 共 42 页第 42 页 共 42 页第 42 页 共 42 页第 42 页 共 42 页第 42 页 共 42 页第 42 页 共 42 页第 42 页 共 42 页第 42 页 共 42 页第 42 页 共 42 页