二次函数综合题中考通专题.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载二次函数综合题考法归类探究赵兴荣甘肃省兰州市西北师范高校其次附属中学（730070）二次函数是中学数学的重要内容之一, 也是中学函数学习向高中函数学习过渡的重要纽带, 以二次函数为载体的综合题是历年各的中考命题者所青睐的“黄金考题”，更是绝大多数的区数学中考最终一道压轴题的不二挑选。因此，对其考法进行归类探究非常必要。考 法 一 、 函 数 、 方 程 、 不 等 式 之 间 的 “ 串 联 问 题 ”函 数 是 一 个 变 化 过 程 ， 方 程 可 看 作 是 对 应 函 数 变 化

2、 过 程 的 瞬 间 ， 而 不 等 式 就 可 看 作 是 对 应 函 数变 化 过 程 的 区 域 或 片 段 ， 三 者 之 间 有 着 剪 不 断 的 “ 血 脉 ” 联 系 ， 此 种 类 型 的 题 目 考 查 的 是 学 生 对 本体 知 识 的 理 解 和 掌 握 层 次 。例 1.2021.内蒙古呼和浩特 已知：抛物线y=x2 +2m 1x + m 2 1 经过坐标原点，且当x 0时， y 随 x 的增大而减小 .(1) 求抛物线的解析式，并写出y 0时，对应 x 的取值范畴 ;(2) 设点 A 是该抛物线上位于x 轴下方的一个动点，过点A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点

3、D，再作 ABx轴于点 B， DCx 轴于点 C.当 BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长 ;设动点A 的坐标 为a，b，将矩形 ABCD的周长 L 表示为 a 的函数并写出自变量的取值范畴，判定周长是否存在最大值，假如存在，求出这个最大值，并求出此时点A 的坐标 ; 假如不存在，请说明理由.分析：（ 1）抛物线过原点，等效于点（0，0 ）适合抛物线的解析式，这样就得到一个关于m 的一元二次方程，进而得到两个解析式分别为y = x2+x或 y = x23x，再由 x 0 时， y 随 x 的增大而减小，观看对应抛物线片段上的特点，即可得抛物线的解析式为y = x23x.而写出 y 0 时，

4、x 的取值范畴，只需将 x 轴下方图像向x 轴作正投影，x 轴上被掩盖的区域即为对应自变量 x 的取值范畴。（ 2）参考右图,由二次函数的对称性，OB=CH=OH BC 2=，1 B1，0，而 A、 B 两点横坐标相同，把x=1 代入到 y = x2 3x 可得 y= 2， AB=2 矩形周长为 6 。A 点和 D 点互换位置，也不影响我们得出结论。 L=2AD+2AB，A、D 两点的纵坐标相同，把Aa，b代入到 y = x23x 可得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ba 23a ，就 A、D 两点的横坐标为方程a 23ab0 的两个根，不妨可编辑资料 - - - 欢迎下载精

5、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设为 a , a,于是 AD= aa=aa 2 aa 24a a,于是由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1212121212一元二次方程根与系数的关系有a1 +a 2=3，a1a2= b，进而的出AD=94b ，就矩形的周长为：L=2AD+2AB=294b 2b,又由于 b= a2 3a，所以 L=2|3 2a| 2a 2 3a，明显要争论a 的位3置，即 a 与2的大小来打算如何去肯定者。这样可以得到两个函数，一个A 点在对称轴左边，另一个在对称轴右边，所以需要分别争论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

6、总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载此题以二次函数的解析式为问题绽开的起点，层层设卡，由特别到一般，由数字到字母，由易到难，解决问题渗透了数形结合和分类争论思想，运用了方程和不等式方法，展现了函数、方程、不等式之间的内在联系，对数学本体学问、方法和思想作到了淋漓尽致的考察。解：（ 1） y = x2+2 m 1x + m2 1 经过坐标原点 0=0+0+ m2 1，即

7、m2 1=0 解该方程得m=1 该二次函数解析式为y = x22 3x 又 当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小 二次函数解析式为y = x2 3x.如右图所示+x 或 y = x为函数 y = x2 3x 图像 该图像开口向上，且与横轴交点坐标从左至右为（0,0）和（ 3,0） y0 时， 0xPC,使 PB-PC的 值 最 大 ？ 如 存 在 ，求 点 P 的 坐 标 .（ 2 ） 在 x 轴 上 是 否 存 在 点 Q, 使 QBC为 等 腰 三 角 形 ， 如 存 在 ， 求 出所 有 Q 点 的 坐 标 .（ 3 ）在 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 R ，使 RBC是 以

8、 BC 为 直 角 边 的 直 角 三角 形 ， 如 存 在 ， 求 出 所 有 R 的 坐 标 .4 点 M 是 直 线 BC 上 的 一 点 ，过 M 作 y 轴 的 平 行 线 交 抛 物 线 于 点 N ， 是 否 存 在 点 N, 使 M 、 N 、 C 、 O 构 成 一 个 平 行 四 边 形 ，如 存 在 ，请 求 出 N 点 的 坐 标 ， 如 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎

9、下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载分析：（ 1）一般的，在已知直线上求一点，使其到两点（在已知直线的同侧）的距离和最小或在已知直线上求一点，使其到两点（在已知直线的异侧）的距离差最大的问题，其解答策略就是作其中一点的对称点，与另一点连线与已知直线的交点即为所求.（ 2）按等三角形顶点不同可分三种情形争论.如 P 为顶点， PB、PC 为腰，就作BC 的中垂线与x 轴的交点即为所求。如 C 为顶点， CP、CD 为腰，就以C 为圆心， CB 为半径作圆与x 轴交点即为所求。第三种情形与其次种情 况同懂得答 .（ 3）由

10、于所探求的直角三角形是以BC 为直角边的，所以C、B 两点均有可能成为直角顶点，故可分两种情形分类解答 .（ 4）可分点M 在 N 的下方和上方分类争论.解： 1如图 1，点 A 与点 B 关于对称轴x=1 对称，连结AC 并延长，交对称轴x=1于点 P,此时 PB-PC的 值 最 大 , PB-PC= PA-PC=AC=10 , 易 知 直 线 AC的 解 析 式 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=3x+3,得 P1,6.2如 QB=QC, 就 Q10,0.如 CQ=CB, 就 OQ=OB=3, 故 Q2-3,0.例 2 图 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

11、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 BQ=BC= 32 , 就 Q33+ 32 ,0， Q43- 32 ,0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述，存在四个这样的Q 点， Q10,0 ，Q2-3,0， Q33+ 32 ,0， Q4 3- 32 ,0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）如图 2，如 BCR=90 , R1 即为抛物线的顶点，故R1（ 1， 4）.如 CBR=90 ,就易得 OBR=45 ,进而得到直线BR 的解析式为：y=x-3. 由方程可编辑资料 - - - 欢迎下载

12、精品名师归纳总结yx3x1组得，1yx22x3y3x2,0y22于是 R2-2,-5. 满意条件的R 点有两个， R15例 2 图 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1， 4）， R2-2,-5.（ 4）直线 BC 的解析式为：yx3 ,可设 Mm,-m+3 ， N m,m 22m3 ,要使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四边形 MNCO 为平行四边形， 就须有 MN=OC, 当 N 在 M 的上方如图3 时，MN=m23m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

13、名师归纳总结（ 0m3 ），此时应有m23m =3 ，该方程无解 .当当 N 在 M 的下方时，MN= m23m ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ m 0或 m3 ），此时应有m 2 - 3m =3，解得 m3212，于是例 2 图 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结321N1,23212321,N 2,2321.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结321综上，满意条件的点N 有两个， N 1,2考法三

14、、函数为背景的“几何图形变换问题”3212321,N 2,2321.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以 二 次 函 数 为 背 景 的 几 何 图 形 的 变 换 问 题 是 近 年 来 全 国 各 的 数 学 中 考 的 热 点 题 型 。 几 何 图 形 的变 换 是 指 几 何 图 形 的 平 移 、 翻 折 和 旋 转 ， 解 这 类 问 题 的 关 键 就 是 把 几 何 图 形 变 换 的 性 质 与 函 数 的 相关 知 识 有 机 的 融 合 起 来 ,借 助 勾 股 定 理 、 面 积 公 式 、 全 等 、 相 似 等 数 学 工 具 ， 探 寻 题 中

15、蕴 含 的 数 学 思想 ,挖 掘 题 中 潜 在 的 数 学 规 律 ， 进 而 完 成 有 关 的 计 算 推 理 或 几 何 证 明 。 由 于 此 类 题 目 是 在 直 角 坐 标 系下 创 设 了 几 何 图 形 的 变 换 情 景 ， 从 知 识 格 局 上 形 成 了 代 数 与 几 何 的 综 合 ， 这 给 学 生 思 维 设 置 了 较 大的 跨 度 ， 所 以 解 决 此 类 问 题 对 阅 读 理 解 能 力 、 收 集 处 理 信 息 能 力 以 及 综 合 运 用 知 识 解 决 问 题 的 能 力等 方 面 都 要 求 较 高 。可编辑资料 - - - 欢迎下载

16、精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载+bx+c 经过 A （ 3，0）、B（ 1， 0）、C例 3.（ 2021.黔西南州） 如下列图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2（ 0，3）三点，其顶点为D，连接 AD ，点 P 是线段 AD 上一个动点（不与A 、D 重合），过点 P 作 y 轴的垂线，垂足点为 E，连接 AE （ 1）求抛物线的函数解析式，并写

17、出顶点D 的坐标。（ 2）假如 P 点的坐标为（x， y ）， PAE 的面积为S，求 S 与 x 之间的函数关系式，直接写出自变量x 的取值范畴，并求出S 的最大值。（ 3）在（ 2）的条件下，当S 取到最大值时，过点P 作 x 轴的垂线，垂足为F， 连接 EF，把 PEF 沿直线 EF 折叠，点P 的对应点为点P，求出 P的坐标，并判定 P是否在该抛物线上分析 （ 1）由抛物线y=ax2+bx+c 经过 A （ 3， 0）、B（ 1，0）、C（ 0， 3）三点，就代入求得a， b， c，进而得解析式与顶点D（ 2）由 P 在 AD 上，就可求AD 解析式表示P 点由 S APE=.PE.y

18、P，所以 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可表示，进而由函数最值性质易得S 最值（ 3）把 PEF 沿直线 EF 折叠，得到一对图形成轴对称，于是娴熟应用轴对称的性质即为解答本问的动身点，而由S 取到最大值时，P 为（， 3），就 E 与 C例 3 图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重合，欲求点P 的对应点为点P的坐标，就很简单想到过P作 PM y 轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得 P坐标判定P是否在该抛物线上，只要将xP坐标代入解析式，判定是否为yP即可解：（ 1）抛物线y=ax2+bx+c 经过 A （ 3， 0）、B （1， 0）、C（ 0

19、， 3）三点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x，解得，解析式为y= 2 2x+3 x2 2x+3= （ x+1 ） 2+4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结抛物线顶点坐标D 为（ 1， 4）（ 2） A （ 3，0）， D（ 1， 4），设 AD 为解析式为y=kx+b ，有，解得， AD 解析式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2y=2x+6 ， P 在 AD 上， P（ x， 2x+6）， SAPE=.PE.yP=.（ x ） .（ 2x+6 ）= x 3x（ 3x 1），当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x= =时， S

20、取最大值（ 3）如图 1，设 PF 与 y 轴交于点N ，过 P作 PM y 轴于点 M ， PEF 沿 EF 翻折得 PEF ，且 P（，3）， PFE= PFE，PF=PF=3，PE=PE=， PF y 轴， PFE= FEN ， PFE= PFE ， FEN= PFE， EN=FN ，设 EN=m ，就 FN=m ， PN=3 m在 Rt PEN 中，（3 m2+22， m= S PEN=.PN .PE=.EN .PM ，） （）=m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PM=例 3 图 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt EMP 中， EM=， OM

21、=EO EM=， P（，）当 x=时， y= （）22.+3= ，点 P不在该抛物线上综 上 ， 每 年 二 次 函 数 综 合 题 虽 然 花 样 翻 新 、 面 目 “ 狰 狞 ” ， 给 应 试 的 老 师 和 同 学 们 的 复 习 备 考带 来 了 无 形 的 压 力 和 挑 战 ，但 如 我 们 对 试 题 进 行 一 些 归 类 探 究 就 会 发 现 ，它 们 的 创 编 仍 然 有 章 可 循 ， 解 决 问 题 也 是 有 法 可 依 。 此 类 试 题 一 般 设 计 三 问 ， 第 一 问 为 送 分 点 ， 第 二 问 为 攻 坚 点 ， 第 三 问 为 主可编辑资料

22、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载打 的 区 分 度 点 。 在 面 对 二 次 函 数 综 合 题 时 ， 首 先 在 战 略 上 要 藐 视 “ 敌 人 ” ， 虽 然 有 三 问 ， 并 且 经 常是 阅 读 量 较 大 ， 题 目 条 件 代 数 几 何 交 错 ， 会 给 考 生 带 来 强 烈 的 压 迫 感 和 恐 慌

23、的 心 理 体 验 ， 但 如 将 其视 为 小 题 的 “ 叠 加 ” ， 即 无 非 是 三 道 填 空 题 的 集 结 ， 这 样 ， 就 会 在 心 理 准 备 减 缓 紧 张 ， 增 强 自 信 。其 次 在 战 术 上 仍 要 重 视 “ 敌 人 ” ， 要 仔 细 审 题 ， 明 了 各 问 之 间 的 逻 辑 关 系 ， 是 相 互 关 联 ， 仍 是 各 自独 立 ， 是 方 法 迁 移 ， 仍 是 各 自 为 政 。 在 次 基 础 上 ， 充 分 理 解 题 目 散 射 的 各 类 信 息 ， 特 别 是 几 何 图 形或 几 何 变 换 的 信 息 ， 以 此 作 为

24、思 维 的 出 发 点 展 开 联 想 ， 就 可 轻 松 从 中 捕 捉 到 解 题 的 方 向 。 在 解 决 方略 上 ， 要 注 意 步 步 为 营 ， 严 谨 推 理 ， 规 范 书 写 ， 谨 防 一 着 不 慎 ， 全 盘 皆 输 。 当 打 胜 第 二 问 的 攻 坚 战后 ， 一 定 要 克 服 第 三 问 可 能 出 现 运 算 量 较 大 和 分 类 讨 论 情 况 较 多 带 来 的 心 理 障 碍 ， 坚 持 仔 细 演 算 ， 一 鼓 作 气 ， 克 敌 制 胜 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载