《中考数学重难点专题讲座第一讲线段角的计算与证明问题含答案 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学重难点专题讲座第一讲线段角的计算与证明问题含答案 .docx（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第一讲线段、角的运算与证明问题【前言】中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简洁题或者中档题，目的在于考察基础。其次部分往往就是开头拉分的中，难题了。 大家讨论今年的北京一模就会 发觉， 其次部分，或者叫难度开头提上来的部分，基本上都是以线段，角的运算与证明开头的。城乡 18 个区县的一模题中，有 11 个区其次部分第一道题都是标准的梯形，四边形中线段角的运算证明题。剩下的 7 个区县题就将线段角问题与旋转，动态问题结合， 放在了更有难度的倒数其次道乃至压轴题当中。可以说，线段角问题就是
2、中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松把握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。在这个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳,分析讨论，来探究线段，角 运算证明问题的解题思路。第一部分真题精讲【例 1】（ 2021，崇文，一模）如 图 ， 梯 形 ABCD 中 ，A D B C，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BDCD，BDC90， AD3，BC8 求 AB 的长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【思路分析】线段，角的运算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相像,直角三角形性质以及勾股定理等学问点进行考察的。所以这就要求我们对
3、梯形的性质有很好的懂得，并且熟知梯形的帮助线做法。 这道题中未知的是 AB, 已知的是 AD,BC 以及 BDC 是等腰直角三角形 ,所以要把未知的 AB 也放在已知条件当中去考察 .做 AE,DF 垂直于 BC, 就很轻易发觉我们将 AB 带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中 .于是有解如下 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【解
4、析】作 AEBC 于 E，DFBC 于 FAE DF ，AD BC， 四边形 AEFD 是矩形EFAD3，AEDF BDCD，DFBC， DF 是 BDC 的 BC 边上的中线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BDC90， DF1 BCBF42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AE4，BEBFEF431可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt ABE 中，AB2AE2BE2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22AB4117【例 2】（ 2021，海淀，一模）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知：如图，在直角梯形ABCD
5、中 ， AD BC ，DCB90， ACBD 于点O ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DC2, BC4 ，求 AD 的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ADOBC【思路分析】这道题给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底 .对于这种对角线之间或者 和其他线段角有特别关系例如对角线平分某角的题 ,一般思路是将对角线提出来构造一个 三角形 .对于此题来说 ,直接将AC 向右平移 ,构造一个以D 为直角顶点的直角三角形.这样就将 AD 转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段BC 是已知的 .于是问
6、题迎刃而解.ADOBCE【解析】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -过点 D 作 DE / / AC 交 BC 的延长线于点E .BDEBOC .ACBD 于点 O ,BOC90.BDE90.AD / / BC ， 四边形 ACED 为平行四边形.ADCE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BDE90 ,DCB90 ，可编辑资
7、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2DCBCCE .DC2, BC4 ，CE1 .AD1此题仍有很多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明ACD 和DBC 相像，从而利用比例关系直接求出CD 。有爱好的考生可以多发散思维去讨论。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【例 3】（ 2021，东城，一模）如图，在梯形 ABCD 中，AD BC ， BAE 的长度90，AD =2，BC5 ，E 为 DC 中点，tan C4 求3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A DEB C【思路分析】这道题是东城的解答题其次部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题。乍
8、看之下好象直接过D 做垂线之类的方法不行.那该怎样做帮助线了.答案就隐匿在E 是中点这个条件中 .在梯形中 ,一腰中点是很特别的.一方面中点本身是多对全等三角形的公共点,另一方面中点和其他底,腰的中点连线就是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就可以将已 知条件代入 .比如这道题 ,过中点 E 做 BC 的垂线 ,那么这条垂线与AD 延长线 ,BC 就构成了两可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总
9、结归纳 - - - - - - - - - - - -个全等的直角三角形.并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的.于是得解 .A DMEB FC【解析】过点 E 作 BC 的垂线交于BC 点 F ，交 AD 的延长线于点M .在梯形 ABCD 中， AD BC ， E 是 DC 的中点，MMFC ，DECE在MDE 和FCE 中，MMFC DEMCEFDECE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MDE FCE.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 EFME ，DMCF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AD2，BC5 ，DMCF3 . 2可编辑
10、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtFCE 中，tan C4EF，3CF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 EFME2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtAME 中 ， AE222236522可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【总结】以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精 妙的帮助线来解决.帮助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用已知求未知的目的.一般来说 ,梯形的帮助线主要有以下5 类:可编辑资料 - - - 欢迎下
11、载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+一矩形平移一腰，分梯形为平行四边形+ 三角形延长梯形两腰交于一点构造三角形平移对角线，转化为平行四边形+三角形连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形以上五种方法就是梯形内线段问题的一般帮助线做法。对于角度问题，其实思路也是一样的
12、。 通过做帮助线使得已知角度通过平行，全等方式转移到未知量邻近。之前三道例题主要是和线段有关的运算。我们接下来看看和角度有关的运算与证明问题。【例 4】 （ 2021，延庆，一模）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图，在梯形ABCD 中， AB DC， DB 平分ADC ，过点 A 作 AE BD ，交 CD 的延可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结长线于点 E ，且C 2E ，BDC30， AD3 ，求 CD 的长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABEDC【思路分析】此题相对比较简洁，不需要做帮助线就
13、可以得出结果。但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。例如对角线平分某角，然后有角度之间的关系。面对这种题目仍是需要将已知的角度关系理顺。第一依据题目中条件，特别是利用平行线这一条件，可以得出 （见下图） 角 C 与角 1，2，3 以及角 E 的关系。 于是一系列转化过后，发觉角 C=60度，即三角形DBC 为 RT 三角形。于是得解。AB【解析】：31CE2D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word
14、 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -AE BD13 ，2E123EADC3E2EC2EADCBCD60梯形 ABCD 是等腰梯形 BCAD3230，BCD60DBC90在 Rt DBC 中，230， BC3 CD6【例 5】（ 2021，西城，一模）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知： PA2 ， PB4 ，以 AB 为一边作正方形ABCD ，使 P、D 两点落在直线AB 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两侧 .如图，当 APB=45 时，求AB 及 PD 的长。【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。假如线段角的运算显现在
15、中间部分，往往意味着难度并不会太高。但是一旦显现在压轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为麻烦。这题求AB 比较简洁，过A 做 BP 垂线，利用等腰直角三角形的性质，将APB 分成两个有很多已知量的 RT。但是求 PD 时候就很麻烦了。 PD 所在的三角形 PAD 是个钝角三角形，所以就需要我们将 PD 放在一个直角三角形中试试看。构筑包含 PD 的直角三角形，最简洁的就是过 P 做 DA 延长线的垂线交 DA 于 F， DF 交 PB 于 G。这样一来， 得到了 PFA AGE 等多个 RT 。于是与已求出的 AB 等量产生了关系，得解。【解析】：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
16、归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -如图，作AE PB 于点 E APE 中 ， APE=45 ， PA2 ，D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AEPAsinAPE2C21 ，22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PEPA cosAPE21 2A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PB4 ，G可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
17、BEPBPE3 P FEB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtABE 中， AEB=90 ，22ABAEBE10 如图，过点P 作 AB 的平行线，与DA 的延长线交于F，设 DA 的延长线交PB 于 G在 RtAEG 中，可得AGAEAE10 ，cosEAGcosABE3（这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系）12EG， PGPBBEEG33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtPFG 中，可得PFPGcosFPGPGcosABE1010， FG515可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【总结】由此我们可以看出
18、，在涉及到角度的运算证明问题时，一般情形下都是要将已知角度通过平行， 垂直等关系过度给未知角度。所以，构建帮助线一般也是从这个思路动身，利用一些特别图形中的特别角关系（例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系）以及借助特别角的三角函数来达到求解的目的。其次部分发散摸索通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些熟悉。接下来我们自己动手做一些题目。期望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看答案。【摸索 1】如图，在梯形ABCD中， AD BC， ABCD 如 AC BD ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AD+BC= 103 ， 且ABC60 ， 求 C
19、D 的 长AD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【思路分析】前面我已经分析过，梯形问题无非也就那么几种帮助线的做法。此题求腰，所以自然是先将腰放在某个RT 三BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -角形中。另外遇到对角线垂直这类问题，一般都是平移某一条对角线以构造更大的一个 RT 三角形，所以此题需要两条帮助线。 在这类问题中，
20、帮助线的方式往往需要交叉运用， 假如思想放不开，不敢多做，巧做，就不简洁得出答案。解法见后文 【摸索2】如图，梯形ABCD中， AD/BC ， B=30 ， C=60 ， E， M ， F，N 分别是 AB ， BC ， CD ，DA 的中点，已知BC=7 ， MN=3 ，求 EFNADEFCBM【思路分析】此题有肯定难度，要求考生不仅把握中位线的相关运算方法，也对三点共线提出了要求。如求EF，由于 BC 已知，所以只需求出AD 即可。由题目所给角B ，角 C的度数，应当自然联想到直角三角形中求解。（解法见后）【摸索 3】已知ABC ，延长 BC 到 D ，使 CDBC取 AB 的中点 F ，
21、连结 FD 交 AC 于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 E 求AAE 的值。ACFE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 如 ABa ， FBEC ，求 AC 的长BCD【思路分析】求比例关系，一般都是要利用相像三角形来求解。此题中有一个等量关系BC=CD ，又有F 中点，所以需要做帮助线，利用这些已知关系来构造数个相像三角形就成了获得比例的关键。（解法见后）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
22、名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【摸索 4】如图 3， ABC 中， A=90 ， D 为斜边 BC 的中点， E， F 分别为 AB ， AC上的点，且DE DF，如 BE=3 ， CF=4，试求 EF 的长【思路分析】中点问题是中考几何中的大热点，几乎年年考。有中点自然有中线，而倍长中线方法也成为解题的关键。将三角形的中线延长一倍，刚好可以构造出两个全等三角形，很多问题就可以轻松求解。此题中， D 为中点， 所以大家可以看看如何在这个里面构造倍长 中线。（解法见后）【摸索 5】 如图，在四边形 ABCD 中， E 为 AB 上一点， A
23、DE 和 BCE 都是等边三角形， AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点分别为 P 、 Q 、 M 、 N ，试判定四边形 PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论DMCNQAPEB【思路分析】此题也是中点题，不同的是上题考察中线，此题考察中位线。此题需要考生对各个特别四边形的性质了如指掌，判定，证明上都需要很好的感觉。特别留意梯形，菱形，正方形，矩形等之间的转化条件。（解法见后）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
24、归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -第三部分摸索题答案摸索 1【解析】：作DE BC 于 E，过 D 作 DF AC 交 BC 延长线于F就四边形ADFC 是平行四边形，ADCF ， DF=AC 四边形ABCD 是等腰梯形， AC=BD DFBD又 AC BD ， DF AC ， BD DF BDF 是等腰直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 DE1 BF1 ADBC53可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22在 RtCDE 中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DCE60 ，DECDsinDCE可编
25、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 53CDsin 60， CD10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结HN摸索 2AD【解析】：EEF延长 BA ， CD 交于点 H ，连接 HN ，由于 B=30 ， C=60 ，所以 BHC=90 C BM所以 HN=DN （直角三角形斜边中线性质） NHD= NDH=60 连接 MH ，同理可知MHD= C=60。所以 NHD= MHD ，即 H ，N ， M 三点共线（这一点简洁被遗漏，很多考生会想当然认为他们共线，其实仍是要证明一下）所以 HM=3.5， NH=0.5 AN=0.
26、5所以 AD=1 EF= （ 1+7） /2=4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -摸索 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【解析】过点 F 作 FM AC，交 BC 于点 M 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 F 为 AB 的中点 M 为 BC 的中点， FM
27、A1 AC2 FE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 FM AC ，得CEDMFD ，BMCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ECDFMD ，FMD ECD DCEC2DMFM3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 EC2 FM21 AC1 AC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AEACECAC1 AC31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACACAC2 ABa ， FB1 AB1 a22又 FBEC ， EC1 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
28、 EC1 AC ， AC33EC3 a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结摸索 4【解析】：2222延长 ED 至点 G，使 DG=ED ，连接 CG，FG 就 CDG BDE 所以 CG=BE=3 ， 2= B 由于 B+ 1=90，所以 1+2= FCG=90 由于 DF 垂直平分EG，所以 FG=EF 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 Rt FCG 中，由勾股定理得FGCGCF345 ，所以 EF=5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AEF1CBD2G图 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - -
29、 - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -摸索 5【解析】：证明：如图，连结AC 、 BD PQ 为ABC 的中位线，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PQ 1 AC2， PQ1 AC 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理 MN 1 AC2， MN1 AC 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 MN PQ ， MNPQ ， 四边形 PQMN 为平行四边形（有些同学做到这一步就停了，没有连续发觉三角形全等这一特点，从而漏掉了菱形的情形，非常惋惜）在AEC 和DEB 中，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AEDE ， ECEB ，AED60CEB ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即AECDEB AEC DEB ACBD PQ1 AC1 BDPN22 四边形 PQMN 为菱形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载