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1、2021 年全国高考甲卷数学（理）试题年全国高考甲卷数学（理）试题1. 设集合104 ,53MxxNxx，则MN （）A.103xxB.143xxC.45xxD.05xx2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万
2、元之间3. 已知2(1)3 2i zi ，则z（）A.312i B.312i C.32iD.32i4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 的满足5lgLV已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据为（） （10101.259）A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.65. 已知12,F F是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且121260 ,3F PFPFPF，则 C 的离心率为（）A.72B.132C.7D.136. 在一个正方体中，过顶点
3、 A 的三条棱的中点分别为 E，F，G该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）A.B.C.D.7. 等比数列na的公比为 q，前 n 项和为nS，设甲：0q ，乙：nS是递增数列，则（）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8. 2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：m） ，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A，B，C 三点，且 A，B，C 在同一
4、水平面上的投影,ABC满足45A C B ，60A B C 由 C 点测得 B 点的仰角为15，BB与CC 的差为 100；由 B 点测得 A 点的仰角为45，则 A，C 两点到水平面A B C 的高度差AACC约为（31.732） （）A.346B. 373C. 446D. 4739. 若cos0,tan222sin，则tan（）A.1515B.55C.53D.15310. 将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）A.13B.25C.23D.4511. 已如 A，B，C 是半径为 1的球 O 的球面上的三个点，且,1ACBC ACBC，则三棱锥OABC
5、的体积为（）A.212B.312C.24D.3412. 设函数 f x的定义域为 R，1fx 为奇函数，2f x为偶函数，当1,2x时，2( )f xaxb若 036ff，则92f（）A.94B.32C.74D.52二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13. 曲线212xyx在点1, 3 处的切线方程为_14. 已知向量3,1 ,1,0 ,abcakb若a c，则k _15. 已知12,F F为椭圆 C：221164xy的两个焦点， P， Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点， 且12PQFF，则四边形12PFQF的面积为_16. 已
6、知函数 2cos()f xx的部分图像如图所示，则满足条件74( )( )043f xff xf的最小正整数 x 为_三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出交字说明解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤，第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级
7、品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818. 已知数列na的各项均为正数，记nS为na的前 n 项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列na是等差数列：数列nS是等差数列；213aa注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分19. 已知直三棱柱111ABCABC中，侧面1
8、1AABB为正方形，2ABBC，E，F 分别为AC和1CC的中点，D 为棱11AB上的点11BFAB（1）证明：BFDE；（2）当1B D为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小?20. 抛物线 C 的顶点为坐标原点 O焦点在 x 轴上，直线 l：1x 交 C 于 P，Q 两点，且OPOQ已知点2,0M，且M与 l 相切（1）求 C，M的方程；（2）设123,A A A是 C 上的三个点，直线12A A，13A A均与M相切判断直线23A A与M的位置关系，并说明理由21. 已知0a 且1a ，函数( )(0)axxf xxa（1）当2a 时，求 f x的单调区间；（2）若曲
9、线 yf x与直线1y 有且仅有两个交点，求 a 的取值范围（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22. 在直角坐标系xO y中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 2cos（1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 A 的直角坐标为1,0，M 为 C 上的动点，点 P 满足2APAM ，写出的轨迹1C的参数方程，并判断 C 与1C是否有公共点
10、选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23. 已知函数( )2 , ( )2321f xxg xxx（1）画出 yf x和 yg x的图像；（2）若 fxag x，求 a 的取值范围参考答案参考答案1. 设集合104 ,53MxxNxx，则MN （）A.103xxB.143xxC.45xxD.05xx【答案】B【解析】【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1 |04, |53MxxNxx，所以1|43MNxx,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，
11、将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A. 该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%B. 该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间【答案】C【解析】【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定 ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定 C.【详解】因为频率直方图
12、中的组距为 1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%,故 A 正确；该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%,故 B 正确；该地农户家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%,故 D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30 .0 240 .0 450 .1 060 .1 470 .2 080 .2 090 .1 01 00 .1 01 10
13、 .0 41 20 .0 21 30 .0 21 40 .0 27 .6 8(万元)， 超过6.5 万元，故 C 错误.综上，给出结论中不正确的是 C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于频率组距组距.3. 已知2(1)3 2i zi ，则z（）A.312i B.312i C.32iD.32i【答案】B【解析】【分析】由已知得322izi，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)23 2i zizi
14、，32(32 )23312222iiiiziii i .故选：B.4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录表的数据 V 的满足5lgLV已知某同学视力的五分记录法的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据为（） （10101.259）A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6【答案】C【解析】【分析】根据, LV关系，当4.9L 时，求出lgV，再用指数表示V，即可求解.【详解】由5lgLV，当4.9L 时，lg0.1V ，则10.110101110100.81.25910V.故选：C.5.
15、 已知12,F F是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且121260 ,3F PFPFPF，则 C 的离心率为（）A.72B.132C.7D.13【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PFPF，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PFPF，由双曲线的定义可得12222PFPFPFa，所以2PFa，13PFa；因为1260F PF,由余弦定理可得2224923cos 60caaaa，整理可得2247ca，所以22274ace ，即72e .故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立, a c间的等量关系是求解的关键.6. 在一个正方体中
16、，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E，F，G该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D7. 等比数列na的公比为 q，前 n 项和为nS，设甲：0q ，乙：nS是递增数列，则（）A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】【分析】当0q 时，通过举反例说
17、明甲不是乙的充分条件；当nS是递增数列时，必有0na 成立即可说明0q 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案【详解】由题，当数列为2,4,8,时，满足0q ，但是nS不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件若nS是递增数列，则必有0na 成立，若0q 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q 成立，所以甲是乙的必要条件故选：B【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程8. 2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：m） ，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个
18、示意图，现有 A，B，C 三点，且 A，B，C 在同一水平面上的投影,ABC满足45A C B ，60A B C 由 C 点测得 B 点的仰角为15，BB与CC 的差为 100；由 B 点测得 A 点的仰角为45，则 A，C 两点到水平面A B C 的高度差AACC约为（31.732） （）A. 346B. 373C. 446D. 473【答案】B【解析】【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A B，进而得到答案【详解】过C作CHBB，过B作BDAA，故 100100AACCAABBBHAABBAD，由题，易知ADB为等腰直角三角形，所以ADDB所以100 1
19、00AACCDBA B因为15BCH，所以100tan15CHC B在A B C中，由正弦定理得：100100sin45sin75tan15 cos15sin15A BC B，而62sin15sin(4530 )sin 45 cos30cos45 sin304 ，所以210042100( 31)27362A B，所以 100373AACCA B故选：B【点睛】本题关键点在于如何正确将AACC的长度通过作辅助线的方式转化为 100A B 9. 若cos0,tan222sin，则tan（）A.1515B.55C.53D.153【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得2sin22sincostan
20、2cos21 2sin，再结合已知可求得1sin4，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】costan22 sin2sin22sincoscostan2cos21 2sin2 sin，0,2，cos0，22sin11 2sin2 sin，解得1sin4，215cos1sin4，sin15tancos15.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin.10. 将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（）A.13B.25C.23D.45【答案】C【解析】【分析】采用插空法，4 个 1 产生 5 个空，分
21、2 个 0 相邻和 2 个 0 不相邻进行求解.【详解】将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，可利用插空法，4 个 1 产生 5 个空，若 2 个 0 相邻，则有155C 种排法，若 2 个 0 不相邻，则有2510C 种排法，所以 2 个 0 不相邻的概率为1025 103.故选：C.11. 已如 A，B，C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且,1ACBC ACBC，则三棱锥OABC的体积为（）A.212B.312C.24D.34【答案】A【解析】【分析】由题可得ABC为等腰直角三角形，得出ABC外接圆的半径，则可求得O到平面ABC的距离，进而求得体积.【详解】,1ACBC
22、 ACBC，ABC为等腰直角三角形，2AB，则ABC外接圆的半径为22，又球的半径为 1，设O到平面ABC的距离为d，则2222122d，所以111221 1332212O ABCABCVSd .故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12. 设函数 f x的定义域为 R，1fx 为奇函数，2f x为偶函数，当1,2x时，2( )f xaxb若 036ff，则92f（）A.94B.32C.74D.52【答案】D【解析】【分析】通过1fx 是奇函数和2f x是偶函数条件，可以确定出函数解析式 222f xx ，进而
23、利用定义或周期性结论，即可得到答案【详解】因为1fx 是奇函数，所以11fxfx ；因为2f x是偶函数，所以22f xfx 令1x ，由得： 024ffab ，由得： 31ffab，因为 036ff，所以462ababa ，令0 x ，由得： 11102fffb ，所以 222f xx 思路一：从定义入手9551222222ffff1335112222ffff 511322 =2222ffff 所以935222ff 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数 f x的周期4T 所以91352222fff 故选：D【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进
24、而达到简便计算的效果二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13. 曲线212xyx在点1, 3 处的切线方程为_【答案】520 xy【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可【详解】由题，当1x 时，3y ，故点在曲线上求导得： 222221522xxyxx，所以1|5xy故切线方程为520 xy故答案为：520 xy14. 已知向量3,1 ,1,0 ,abcakb若a c，则k _【答案】103.【解析】【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值【详解】3,1 ,1,0 ,3,1
25、abcakbk,3 31 10aca ck ，解得103k ,故答案为：103.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量1122,px yqxy垂直的充分必要条件是其数量积1 2120 x xy y.15. 已知12,F F为椭圆 C：221164xy的两个焦点， P， Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点， 且12PQFF，则四边形12PFQF的面积为_【答案】8【解析】【分析】根据已知可得12PFPF，设12|,|PFm PFn，利用勾股定理结合8mn，求出mn，四边形12PFQF面积等于mn，即可求解.【详解】因为,P Q为C上关于坐标原点对称的两点
26、，且12| |PQFF，所以四边形12PFQF为矩形，设12|,|PFm PFn，则228,48m nmn ，所以22264()248 2m nmmnnmn，8mn ，即四边形12PFQF面积等于8.故答案为：8.16. 已知函数 2cos()f xx的部分图像如图所示，则满足条件74( )( )043f xff xf的最小正整数 x 为_【答案】2【解析】【分析】先根据图象求出函数( )fx的解析式，再求出7(), ()43ff的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T，即2T，所以2；由五点法可得232，即6；所以( )2cos 26f xx
27、.因为7()2cos143f，()2cos032f；所以由74( ( )()( ( )()043f xff xf可得( )1f x 或( )0fx；因为 12cos 22cos1626f，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足( )0fx，即cos 206x，解得,36kxkk Z，令0k ，可得536x，可得x的最小正整数为 2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足( )0fx，又(2)2cos 406f，符合题意，可得x的最小正整数为 2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.三三、解答题解答题：共共 70 分分
28、解答应写出交字说明解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤，第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有 99%的把握
29、认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】 （1）75%；60%；（2）能.【解析】【分析】根据给出公式计算即可【详解】 （1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075%200,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060%200.（2）22400 150 80 120 50400106.635270 130 200 20039K,故能有 99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18. 已知数列na的各项均为正数，记n
30、S为na的前 n 项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立数列na是等差数列：数列nS是等差数列；213aa注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分【答案】答案见解析【解析】【分析】选作条件证明时，可设出nS，结合,nna S的关系求出na，利用na是等差数列可证213aa；选作条件证明时，根据等差数列的求和公式表示出nS，结合等差数列定义可证；选作条件证明时，设出nSanb，结合,nna S的关系求出na，根据213aa可求b，然后可证na是等差数列.【详解】选作条件证明：设(0)nSanb a，则2nSanb，当1n 时，211aSab；当2n 时，221nnnaSSanb
31、anab22aanab；因为na也是等差数列，所以222abaaab，解得0b ；所以221naan，所以213aa.选作条件证明：因为213aa，na是等差数列，所以公差2112daaa，所以21112nn nSnadn a，即1nSa n，因为11111nnSSana na，所以nS是等差数列.选作条件证明：设(0)nSanb a，则2nSanb，当1n 时，211aSab；当2n 时，221nnnaSSanbanab22aanab；因为213aa，所以2323aabab，解得0b 或43ab ；当0b 时，221,21naaaan，当2n 时，2-1-2nna aa满足等差数列的定义，此
32、时na为等差数列；当43ab 时，4=3nSanb ana，103aS 不合题意，舍去.综上可知na为等差数列.【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.19. 已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F 分别为AC和1CC的中点，D 为棱11AB上的点11BFAB（1）证明：BFDE；（2）当1B D为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小?【答案】 （1）见解析； （2）112B D 【解析】【分析】通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适
33、的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案【详解】因为三棱柱111ABCABC是直三棱柱，所以1BB 底面ABC，所以1BBAB因为1 1/AB AB，11BFAB，所以BFAB，又1BBBFB，所以AB 平面11BCCB所以1,BA BC BB两两垂直以B为坐标原点，分别以1,BA BC BB所在直线为, ,x y z轴建立空间直角坐标系，如图所以1110,0,0 ,2,0,0 ,0,2,0 ,0,0,2 ,2,0,2 ,0,2,2BACBAC，1,1,0 ,0,2,1EF由题设,0,2D a（02a） （1）因为0,2,1 ,1,1, 2
34、BFDEa ，所以012 1 120BF DEa ，所以BFDE（2）设平面DFE的法向量为, ,mx y z ，因为1,1,1 ,1,1, 2EFDEa ，所以00m EFm DE ，即0120 xyza xyz 令2za，则3,1,2maa因为平面11BCCB的法向量为2,0,0BA ，设平面11BCCB与平面DEF的二面角的平面角为，则2263cos222142214m BAm BAaaaa 当12a 时，2224aa取最小值为272，此时cos取最大值为363272所以2min63sin133，此时112B D 【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出,0,2D a（02a
35、） ，在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步20. 抛物线 C 的顶点为坐标原点 O焦点在 x 轴上，直线 l：1x 交 C 于 P，Q 两点，且OPOQ已知点2,0M，且M与 l 相切（1）求 C，M的方程；（2）设123,A A A是 C 上的三个点，直线12A A，13A A均与M相切判断直线23A A与M的位置关系，并说明理由【答案】 （1）抛物线2:C yx，M方程为22(2)1xy； （2）相切，理由见解析【解析】【分析】（1） 根据已知抛物线与1x 相交， 可得出抛物线开口向右， 设出标准方程， 再利用对称性设出,P Q坐标，由O PO Q，即可求出p；由圆M与直线1
36、x 相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑12AA斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,AA AA A A斜率存在，由123,A A A三点在抛物线上，将直线121223,AA AA A A斜率分别用纵坐标表示，再由1212,AA AA与圆M相切，得出2323,yy yy与1y的关系，最后求出M点到直线23A A的距离，即可得出结论.【详解】 （1）依题意设抛物线200:2(0), (1,),(1,)C ypx pPyQy，20,1120,21OPOQOP OQypp ，所以抛物线C的方程为2yx，(0,2),MM与1x 相切，所以半径为1，所以M的方程为22(2)1xy；
37、（2）设11 1222333(),(,),( ,)A x yA x yA x y若12AA斜率不存在，则12AA方程为1x 或3x ，若12AA方程为1x ，根据对称性不妨设1(1,1)A，则过1A与圆M相切的另一条直线方程为1y ，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A，不合题意；若12AA方程为3x ，根据对称性不妨设12(3, 3),(3,3),AA则过1A与圆M相切的直线13A A为33(3)3yx，又1 313313133113,033A Ayykyxxyyy，330,(0,0)xA，此时直线1323,AA A A关于x轴对称，所以直线23A A与圆M相切；若直线121323,
38、AA AA A A斜率均存在，则121323121323111,A AA AA Akkkyyyyyy，所以直线12AA方程为11121yyxxyy，整理得1212()0 xyy yy y，同理直线13A A的方程为1313()0 xyy yy y，直线23A A的方程为2323()0 xyy yy y，12AA与圆M相切，12212|2|11()y yyy整理得22212121(1)230yyy yy，13A A与圆M相切，同理22213131(1)230yyy yy 所以23,y y为方程222111(1)230yyy yy 的两根，2112323221123,11yyyyyyyy，M到直线
39、23A A的距离为：21223122123213|2|2|121 ()1 ()1yy yyyyyy 22112222111|1|111(1)4yyyyy，所以直线23A A与圆M相切；综上若直线1213,AA AA与圆M相切，则直线23A A与圆M相切.【点睛】关键点点睛： （1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关； （2）要充分利用1213,AA AA的对称性，抽象出2323,yy yy与1y关系，把23,y y的关系转化为用1y表示.21. 已知0a 且1a ，函数( )(0)axxf xxa（1）当2a 时，求 f x的单调区间
40、；（2）若曲线 yf x与直线1y 有且仅有两个交点，求 a的取值范围【答案】 （1）20,ln2上单调递增；2,ln2上单调递减； （2）1,ee.【解析】【分析】 （1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线 yf x与直线1y 有且仅有两个交点等价转化为方程lnlnxaxa有两个不同的实数根，即曲线 yg x与直线lnaya有两个交点，利用导函数研究 g x的单调性，并结合 g x的正负，零点和极限值分析 g x的图象，进而得到ln10aae，发现这正好是 0g ag e，然后根据 g x的图象和单调性得到a的
41、取值范围.【详解】 （1）当2a 时， 22222ln2222 ln2,242xxxxxxxxxxxf xfx,令 0fx 得2ln2x,当20ln2x时， 0fx,当2ln2x时， 0fx,函数 f x在20,ln2上单调递增；2,ln2上单调递减；（2） lnln1lnlnaxaxxxafxaxxaaxaxa ,设函数 lnxg xx,则 21 ln xgxx,令 0g x，得x e,在0,e内 0gx, g x单调递增；在, e 上 0gx, g x单调递减； 1maxg xg ee,又 10g，当x趋近于时， g x趋近于 0，所以曲线 yf x与直线1y 有且仅有两个交点，即曲线 y
42、g x与直线lnaya有两个交点的充分必要条件是ln10aae,这即是 0g ag e,所以a的取值范围是1,ee .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22. 在直角坐标系xO y中，以坐标
43、原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 2cos（1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点 A 的直角坐标为1,0，M 为 C 上的动点，点 P 满足2APAM ，写出的轨迹1C的参数方程，并判断 C 与1C是否有公共点【答案】 （1）2222xy； （2）P 的轨迹1C的参数方程为322cos2sinxy （为参数） ，C 与1C没有公共点.【解析】【分析】 （1）将曲线 C 的极坐标方程化为22 2 cos，将cos ,sinxy代入可得；（2）设,P x y，设22cos , 2sinM，根据向量关系即可求得 P 的轨迹1C的参数方程，求出两圆
44、圆心距，和半径之差比较可得.【详解】 （1）由曲线 C 的极坐标方程2 2cos可得22 2 cos，将cos ,sinxy代入可得222 2xyx，即2222xy，即曲线 C 的直角坐标方程为2222xy；（2）设,P x y，设22cos , 2sinM2APAM ， 1,222cos1, 2sin2 2cos2,2sinxy，则122cos22sinxy ，即322cos2sinxy ，故 P 的轨迹1C的参数方程为322cos2sinxy （为参数）曲线 C 的圆心为2,0，半径为2，曲线1C的圆心为32,0，半径为 2，则圆心距为3 2 2，3 2 222 ，两圆内含，故曲线 C 与
45、1C没有公共点.【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出M的参数坐标，利用向量关系求解.选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23. 已知函数( )2 , ( )2321f xxg xxx（1）画出 yf x和 yg x的图像；（2）若 fxag x，求 a 的取值范围【答案】 （1）图像见解析； （2）112a【解析】【分析】 （1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将 yf x向左平移可满足同角，求得yfxa过1,42A时a的值可求.【详解】 （1）可得2,2( )22,2x xf xxxx，画出图像如下：34,231( )232142,2214,2xg xxxxxx ，画出函数图像如下：（2）()|2 |fxaxa，如图，在同一个坐标系里画出 ,fxg x图像，yfxa是 yf x平移了a个单位得到，则要使()( )fxag x，需将 yf x向左平移，即0a ，当yfxa过1,42A时，1|2| 42a，解得112a或52（舍去） ，则数形结合可得需至少将 yf x向左平移112个单位，112a.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.