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1、高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系第五节第五节 隐函数求导法隐函数求导法一一.一个方程的情形一个方程的情形 在一元函数微分学中,我们接触过隐函数,学习过由方程F(x,y)=0(1)所确定的隐函数的求导方法(两边对x求导).但是形如(1)式的方程并不一定都能确定一个一元函数y=f(x),例如方程 x2+y2+1=0 不能确定任何实函数y=f(x),(y2= - 1- x2)因而,有必要讨论一下F(x,y)满足什么条件时,(1)式能确定高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系一个隐函数,另外,以前的隐函数求导方法,必须知道F(x,y
2、)的具体表达式,才能求出y对x的导数. 下面我们研究隐函数存在定理 隐函数存在定理1 设函数F(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域内具有连续偏导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)0; 则方程(1)在(x0 ,y0 )的某一邻域内能唯一确定一个可导且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),且有)2(yxFFdxdy高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系利用多元复合函数的求导法则给于推导. 把方程(1)所确定的函数y=f(x)代入(1),得Fx,f(x)=0. 由定理的条件知道它可导在上述的式子对x两端求导,得到 定理证明从略
3、.yxFFdxdydxdyyFxF0函数F(x,y)在点(x0 ,y0 )的某一邻域内具有连续偏导数,且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)0高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系若F具有二阶连续偏导数,则(2)可对x再求导,得到yxx例2 求由方程2x2+y2=1 所确定的隐函数y=f(x)的一阶和二阶导数.22,4, 12),(22yxFFdxdyyFxFyxyxFyxyx.242)2(2222.233222222yyxyyyxxyyyxydxydyxdxdy例3 若y=G(x+y),G有二阶连续导数,求yxx)(1),().(),(yxGFyxGFy
4、xGyyxFyx.)(1)(yxGyxGFFdxdyyx高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系)(1),().(),(yxGFyxGFyxGyyxFyx 隐函数存在定理1可以推广到三元及三元以上函数的情形,现在给出F为三元函数时,与定理1的类似结论. .)(1)(yxGyxGFFdxdyyx222)(1 )1 ()()()(1)1 ()(yxGyyxGyxGyxGyyxGdxyd 322)(1 )()(1 )(1)(1 ()()(1 )1 ()(yxGyxGyxGyxGyxGyxGyxGyyxG 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数
5、理系数,且 F ( 的函数z=f(x,y),它满足条件) 4.(,zyzxFFyzFFxz),(000yxfz 与(2)类似.我们只推导公式(4).因为 Fx,y,f(x,y)=0 对上式求x,y的偏导数.得到0, 0yzFFxzFFzyzx由于Fz连续,且000,zyx000,zyx)的某一邻域内具有连续的偏导的某一邻域内能唯一确定一个单值连续的偏导数)0则方程F(x,y,z)=0在) =0 Fz (且有),(000zyx 设函数F(x,y,z)在点高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系) 4.(,zyzxFFyzFFxz与(2)类似.我们只推导公式(4).因
6、为 Fx,y,f(x,y)=0 对上式求x,y的偏导数.得到0, 0yzFFxzFFzyzx由于Fz连续,且隐函数存在定理2: 设函数F(x,y,z)在点(x0,y0.z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)=00),(000zyxFx,则方程F(x,y,z)=0在点（x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y),它满足条件Z0=f(x0,y0),并且有高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 Fz(x0,y0,z0)0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域,在这个邻域内Fz 0于是.,zyzxF
7、FyzFFxz例4 设x2+y2+z2=4z,求22xz.42,2,4),(222zFxFzzyxzyxFzx,2zxxz3222222)2()2()2(22)2(2zzxzzxxzzxzxzxz高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系 例5设z为由方程F(z/x,z/y)=0所确定的x,y的函数,其中F(u,v)为可微 .,yzxz0),(.,vuFyzvxzu二二.方程组的情形方程组的情形函数,求,22vuFyzyvvFyFFxzxuuFxFvuFyFxzvvFzuuFzF11).(112vuuvuuzxxFyFxyzFFyFxFxzFFxz).(112vuv
8、vuvzyxFyFyxzFFyFxFyzFFyz高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系隐函数存在定理3. 设F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在点p(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各变量连续的偏导数,又F (x0,y0,u0,v0)=0,G (x0,y0,u0,v0)=0,且偏导数组成的函数行列式(Jaqcobi)在点p (x0,y0,u0,v0)处不为0,则方程组F=0,G=0在点(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内一定能确定一组单调,连续且具有连续偏导数的函数u=u(x,y),v=v(x,y),它们满足条件u0=u (x0,y0),v0
9、=v (x0,y0),并有vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu),(),(1高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系0 xvFxuFFvux推导F(x,y,u(x,y),v(x,y)=0 和 G(x,y,u(x,y),v(x,y)=0 (1)两边对x求偏导数,得到 公式的记忆方法),(),(vuGFJ如求xu分子把u换成x,其它不动 如求xv分子把v换成x,其它不动0 xvGxuGGvux高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系行列式的定义为bcaddcba)1 (gdbdyadxgbyaxxvuvuxFxvFxuFxvFx
10、uFF0)2(bhbdybcxhdycxdcbadhbgbcadbhgdxbhgdxbcad)()2() 1 (xvuvuxGxvGxuGxvGxuGG0vuvuxuxuvuvuvxvxGGFFGGFFxvGGFFGGFFxu,高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例2 设函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点(u,v)的某一邻域内连续且有连续偏导数,又0),(),(vuyx(1)证明方程组),(),(vuyyvuxx 在点(x,y,u,v)的某一邻域内唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数u=u(x,y),v=v(x,y) (2)求反函数u=u(x,y)
11、,v=v(x,y)对x,y的偏导数. 解(1)把方程组(7)改成下面的形式(7)F(x,y,u,v)=x-x(u,v)=0G(x,y,u,v)=y-y(u,v)=0高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系(2)把方程组(7)所确定的反函数u=u(x,y),v=v(x,y)代入(7),即得到),(),(yxvyxuxx 由隐函数存在定理3,我们得到结果.0),(),(),(),(vuyxvuGFJ 则按假设我们有),(),(yxvyxuyy 高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系例1yvyuxvxuxvyuyvxu，求10 解:把u,
12、v看成x,y的函数,对方程的两边对x求导,我们得到.0uxvyxuxxvyxuxu把所给方程的两边对y求导,用同样的方法在J=x2+y20的条件下可得到2222,yxyvxuyvyxyuxvyu.0vxvxxuyxvxvxuy.,2222yxuyxvxyyxvyuxxvyxyvuxxyyxxvyuxu高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系把上述恒等式两边分别对x求偏导数,得到xvvxxuux1yvvyyuuy0uyJJuyuxxvvyJJvyvxxuJ101,101, 0 故可解得由于uxJyvvxJyu1,1同理可得高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学
13、院数理系武汉科技学院数理系有些求偏导数的题目既涉及到复合函数,又涉及到隐函数.例3 设u=x3 y2z2,其中z是由方程x3+y3+z3-3xyz=0确定的隐函数z=z(x,y),求ux得到求偏导数两边对先把方程,03333xxyzzyx解:xyzxyzxzxzxyyzxzzx222203333xyzxyzzyxzyxxzzyxzyxxu222322223222)(2323高等数学电子教案高等数学电子教案 武汉科技学院数理系武汉科技学院数理系yuxufzyzxzzyxfu,0),(),(4求都可微其中确定由方程设例得到求偏导数两边分别对把方程解,0),(:yxzyzx,0)1 (0)()1 (2122112121yzxzyzyzxzxz21232322113131ffyzffyuffxzffxu