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1、精选优质文档-倾情为你奉上燕博园2019届高三年级综合能力测试（CAT）（二）文科数学（全国卷）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合,若,则实数的值为（ ）A B0C1D0或2下列函数中是偶函数且在其定义域上存在最大值的是（ ）A B C D 3函数相邻的一个对称中心和一个对称轴的距离是（ ）A B C D与有关4方程的根所在的一个区间是（ ）A B C D 5中,角的对边分别为,则（ ）A B4C8D 6已知直线与正方体的所有面所成的角都相等,且平面,则与平面所成角的正切值是（ ）A2B C D 7若某三棱锥的三视图是三
2、个腰长为2的等腰直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D 8已知,直线,若过直线上的点所作的的两条切线互相垂直,则点的坐标是（ ）A B或 C D或9如图是来自统计局的有关20132017年我国的三次产业增加值占国内生产总值比重的统计图,下列对于20132017年该国的三次产业增加值占国内生产总值比重的相关判断错误的是（ ）A2013年第三产业增加值约为第一产业增加值的5倍B第一产业占国内生产总值的比重在逐年减少C第三产业占国内生产总值的比重最低的年份是2013年D第二产业在2017年的增加值比2015年的增加值低10已知函数,若对,都有,则的取值范围是（ ）A
3、B C D 11古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如将一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形,这样的数被称为三角形数如图所示,三角形数1,3,6,在1100这100个自然数中随机取一个数,恰好是三角形数的概率是（ ）A B C D 12已知离心率为,焦点为的双曲线上一点满足,则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A B C D 二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中的横线上13已知复数为,则 14已知实数满足约束条件,则的最小值为 15已知,且,则 16等腰梯形中,是梯形内的一点,则的最小值是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
4、第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（本小题满分12分）各项均不为零的数列前项和为,数列前项和为,且（1）求的值；（2）求数列的通项公式18（本小题满分12分）如图,在四棱锥中,为棱的中点,平面,平面平面（1）求证：平面平面；（2）若点在上,且,求证：19（本小题满分12分）2018年6月25日,赶集网发布了2018年毕业生就业报告,2018年全国高校毕业生人数达到820万人,再创近7年毕业生人数新高中国高等教育发展实现了从精英教育到大众化,用十年走过了其他国家三十年、五十年甚至是更长时间的道路下表是近7年高校毕业人数（
5、精确到十万位）（数据来源：中商产业研究院整理）年份2012201320142015201620172018年份代号x1234567毕业人数y（百万人）6.87.07.37.57.78.08.2（1）求关于的回归方程（系数保留两位小数）；（2）利用所求回归直线方程分析2012年至2018年全国高校毕业生人数的变化情况,并预测2023年全国高校毕业生人数附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：20（本小题满分12分）经过抛物线的焦点作斜率为的直线,分别交抛物线于点,点在抛物线上,直线经过线段的中点与点（1）求抛物线的焦点坐标；（2）作斜率为的直线交抛物线于,若,直线经过线段的中点,求证：
6、直线经过定点21（本小题满分12分）已知函数（1）求函数在点处的切线方程；（2）若存在极小值点与极大值点,求证：（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做,则按所作的第一题计分22【选修44：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）已知点,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点为曲线上的动点（1）写出点的极坐标及曲线的直角坐标方程；（2）当为最大值时,求的外接圆的参数方程23【选修45：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数（1）当时,求不等式的解集；（2）是否存在实数,使得？若存在,求出的值；若不存在,说明理由燕博园2019届高三年级综
7、合能力测试（CAT）（二）文科数学（全国卷）参考答案1答案：B解析：2答案：D解析：选项A,D为偶函数,选项B为奇函数,选项C的定义域为,是非奇非偶函数选项A,当时,取得最小值1,选项D,因为,所以,即存在最大值1,故选D3答案：C解析：函数的周期,则其相邻的一个对称中心和一个对称轴的距离是4答案：B解析：,则,所以原方程的根所在的一个区间为5答案：A解析：由及正弦定理可得,又因为,所以所以,由余弦定理得：6答案：B解析：因为直线与正方体的所有面所成的角都相等,所以直线沿着正方体体对角线的方向,不妨设为,则为平面的中心,连接,易证得：平面,所以即为与平面所成的角,7答案：A解析：该三棱锥的直观
8、图如图所示,可将其还原成一个棱长为2的正方体,三棱锥的外接球即为正方体的外接球,外接球的直径即为正方体的体对角线,所以,外接球的表面积8答案：C解析：的标准方程为,圆心为,半径,过点所作的的两条切线互相垂直,所以点与圆心的距离为,因为点在直线上,所以可设,所以,所以,故点的坐标是9答案：D解析：第二产业在2017年的增加值占国内生产总值的比重比2015年的增加值占国内生产总值的比重低。10答案：B解析：,即,设,则,当时,则恒成立,所以在上单调递增,所以恒成立,满足题意；当,令,得,当时,单调递减,当时,单调递增,所以当时,取得最小值,由题意可得,解得,即,综上可知,的取值范围是11答案：A解
9、析：三角形数,当时,当时,所以所求概率为12答案：D解析：在中,由正弦定理可得,所以,因为,所以当点为双曲线的左顶点时,取得最小值,取得最大值,所以,整理得,解得,又因为,所以13答案：解析：,所以,所以14答案： 解析：作可行域为如图所示的,其中,则,所以15答案： 解析：,又因为,所以,所以16答案： 解析：解法1：取中点,中点, 则,所以,当点为的中点时,取得最小值,故的最小值是以为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系,设,则,设,则,当,即时,取得最小值17（12分）解: （）因为 ,所以 .2分所以,或（舍）. 4分（）因为 ,所以 所以 6分因为 ,所以 所以 8分所以 , 9分当时
10、,上式也成立所以 11分当时,上式也成立,所以 12分18（12分）（）证明：因为,为棱的中点,所以,且,所以,2分又因为平面平面,平面平面,所以平面,4分又因为平面, 所以平面平面； 5分（）经过点作交于点,连接,因为平面平面,平面平面,所以,因为,所以平面 .因为,6分所以平面.因为平面,所以.7分又因为, ,所以平面,因为平面. 所以. 9分由（）知,平面,又因为平面,所以.又因为,所以平面.11分又因为平面,所以.12分19（12分）解：（）,2分4分,5分所以,则关于的回归直线方程是；7分（）因为,所以2012-2018年全国高校毕业生人数逐年增加,平均每年大约增加24万人,10分将
11、2023年的年份代号代入回归方程得,可预测2023年全国高校毕业生人数大约是942万人.12分20解：（）点 在抛物线上,所以,所以抛物线的方程为；2分所以抛物线的焦点坐标为； 4分（）由题意可知直线不与轴垂直,设直线为,直线为,设直线为,将代入方程,得可得,6分所以线段的中点,代入直线的方程,得,7分将代入方程,得可得,可得.可得点的纵坐标代入方程,可得,因为直线经过线段的中点,将点代入直线的方程,得,因为,9分可化为可得,所以直线为.11分所以直线经过定点.12分21（）解： 2分,所以函数在点处的切线方程为；4分（）设,则,设,则, 所以在上单调递增又因为,所以在上,即,所以在上单调递增
12、6分当时,所以在上,即,所以函数在上是单调增函数又是奇函数,所以函数在上单调递增,无极值点；7分当时,又因为函数在上单调递增,所以函数在上有且只有一个零点0极小值可知是的唯一极小值点,且9分又是奇函数,所以函数 必存在唯一极大值点,记为,且,11分所以,所以成立12分22选修44：坐标系与参数方程（10分）解：（1）点的极坐标及曲线的直角坐标方程分别是和.4分（2）设点,则.所以.6分令得：.所以 当,即时,取得最大值. 8分所以当取得最大值时,的外接圆的参数方程是 （为参数）或 （为参数）. 10分23选修45：不等式选讲（10分）解：（1）当时,所以,或.2分解得：或所以不等式的解集是.4分（2）当时,取,则.此时,不合题意； 5分当时,.此时,不合题意；6分当时,取,则.此时,不合题意；7分当时, .此时,符合题意. 9分所以的值是.10分专心-专注-专业