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1、精选优质文档-倾情为你奉上9-8 用向量方法求角与距离(理) 1.(2011福州模拟)已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为() A.，4B.，4C.，2,4 D4，15答案B解析，352z0，z4，平面ABC，故选B.2在直三棱柱A1B1C1ABC中，BCA90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BCCACC1，则BD1与AF1所成的角的余弦值是()A. B.C. D.答案A解析建立如下图所示的坐标系，设BC1，则A(1,0,0)，F1，B(0，1,0)，D1，1，即，.cos，.3已知正方体ABCDA1B1C1D1，则直
2、线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是()A. B.C. D.答案C解析如上图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则，令x1得，n(1， 1，1)，设直线BC1与平面A1BD所成角为，则sin|cos，n|，cos.4在空间直角坐标Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A4B3C2D1答
3、案B解析由条件知，O在平面OAB内，(1,3,2)，点P到平面OAB的距离d2.5.( 2011皖南八校联考)如下图，平面平面，A，B，AB与两平面，所成的角分别为和，过A，B两点分别作两平面交线的垂线，垂足为A，B，若AB12，则AB的长为()A4B6来源:高&考%资(源#网 wxcC8D9答案B解析由条件知，ABA，BAB，AAB，AB12，AA6，BB6，|2()2|2|2|222236144722612cos2126cos036，AB|6.6(2011广东省江门模拟)如下图，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AEBF.当A1、E、F、C1四
4、点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为()A. B.C. D.答案B解析以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(6,0,6)、E(6,3,0)、F(3,6,0)，设平面A1DE的法向量为n1(a，b，c)，依题意得令a1，则c1，b2，所以n1(1,2,1)，同理得平面C1DF的一个法向量为n2(2，1,1)，由题图知，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为.7(2011浙江丽水模拟)如下图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐
5、标系，则点E的坐标为_答案(1,1,1)解析设PDa，则由题意知A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，)，(0,0，a)，(1,1，)，cos，a2，点E的坐标为(1,1,1)8(2011海淀检测)若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为_答案解析设A1C1到底面的距离为a(a0)，以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如下图空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B1(1,1，a)，来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM(0,1，a)，又平面ABCD的一个法向量n(0,0,
6、1)，由条件知sin60|cos，n|，a.9已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的正弦值为_答案解析设正三角形ABC的中心为O，过O作直线lBC，分别以直线l、AO、PO为x轴、y轴、z轴建立如下图空间直角坐标系，则底面ABC的一个法向量n(0,0,1)，由条件知A(0，0)，设P(0,0，a)(a0)，由|2得，a，设侧棱与底面所成角为，则sin|cosn，|.点评由上述解答过程可见，本题不如用综合几何方法简便，事实上图中PAO为直线PA与底面ABC所成的角，cosPAO，sinPAO，故在解题中，要注意依据所给条件灵活选取解法10(2010河北邯郸市模考
7、)如下图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为a，D是棱A1C1的中点(1)求证：BC1平面AB1D；(2)求二面角A1AB1D的大小；(3)求点C1到平面AB1D的距离解析(1)连结A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，D为A1C1的中点，DE为A1BC1的中位线，BC1DE.又DE平面AB1D，BC1平面AB1D，BC1平面AB1D.(2)解法1：过D作DFA1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF平面ABB1A1，连结EF，DE，在正A1B1C1中，B1DA1B1a，由直角三角形AA1D中，ADa，ADB1D，DEAB1，由三垂线定理的逆定理可得EFAB1.则DE
8、F为二面角A1AB1D的平面角，又DFa，B1FEB1AA1，EFa，DEF.来源:高&考%资(源#网 wxc故所求二面角A1AB1D的大小为.解法2：(向量法)建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，a,0)，B1(0，a，a)，C1(a,0，a)，A1(0，a，a)，D(a，a，a)(0，a，a)，(a，a,0)设n(x，y，z)是平面AB1D的一个法向量，则可得，所以，即，取y1可得n(，1，)又平面ABB1A1的一个法向量n1(a,0,0)，设n与n1的夹角是，则cos.又知二面角A1AB1D是锐角，所以二面角A1AB1D的大小是.(3)解法1：设点C1到平面AB1D的距离为h，因AD2
9、DBAB，所以ADDB1，故SADB12a2，而SC1B1DSA1B1C1a2，由VC1AB1DVAC1B1DSAB1DhSC1B1DAA1ha.解法2：由(2)知平面AB1D的一个法向量n(，1，)，(a，a，a)，da.即C1到平面AB1D的距离为a.11.(2010新乡市模考)如下图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为()A. B.C. D.答案B解析以D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O，设平面ABCD的法
10、向量n(x，y,1)，则，n(1,0,1)，又，O到平面ABC1D1的距离d.点评1.建立坐标系可以有不同的方案，如以A为原点，直线AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z建立空间直角坐标系，则O，A(0,0,0)，B(1,0,0)，D1(0,1,1)，设平面ABC1D1的法向量n(x，y,1)，则，n(0，1,1)，O到平面ABC1D1的距离h.2也可以不用空间向量求解取B1C1的中点M，连结B1C交BC1于O，取OC1的中点N，连结MN，则MNBC1，又在正方体ABCDA1B1C1D1中，OM平行于平面ABC1D1，则O到平面ABC1D1的距离转化为M到平面ABC1D1的距离，即MN，故选B
11、.12(2011咸阳模拟)正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为_答案30解析由条件知ACBD，AC与BD交点为O，以O为原点，射线OC，射线OD，射线OS分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系，设SOOD，则BC2，A(，0,0)，C(，0,0)，D(0，0)，S(0,0，)，B(0，0)，P(0，)，(，0)，(2，0,0)，(，)设平面PAC的一个法向量n(x，y，z)，则，取n(0,1，1)，设直线BC与平面PAC成的角为，则sin|cosn，|，30.13(2011洛阳联考)如下图所示，在四棱锥PAB
12、CD中，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点若PAAD3，CD.(1)求证：AF平面PCE；(2)求点F到平面PCE的距离；(3)求直线FC与平面PCE所成角的正弦值解析如上图所示建立空间直角坐标系Axyz，A(0,0,0)，P(0,0,3)，D(0,3,0)，E(，0,0)，F(0，)，C(，3,0)(1)取PC的中点G，连接EG，则G(，)(0，)，(0，)，来源:K即AFEG.又AF平面PCE，EG平面PCE，AF平面PCE.(2)设平面PCE的法向量为n(x，y，z)，(，0,3)， (，3,0)即取y1，得n(，1,1)又(0，)，故点F到平面PCE的
13、距离为d.(3)(，)，设FC与平面PCE所成角为，sin|cos，n|.直线FC与平面PCE所成角的正弦值为.14(2011北京西城二模)如下图，已知菱形ABCD的边长为6，BAD60，ACBDO.将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD3，得到三棱锥BACD.(1)若点M是棱BC的中点，求证：OM平面ABD；(2)求二面角ABDO的余弦值；(3)设点N是线段BD上一个动点，试确定点N的位置，使得CN4，并证明你的结论解析(1)证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点又点M是棱BC的中点，所以OM是ABC的中位线，OMAB.因为OM平面ABD，AB平面ABD，所以OM平面
14、ABD.(2)由题意知，OBOD3，因为BD3，所以BOD90，OBOD.又因为四边形ABCD是菱形，所以OBAC，ODAC.建立空间直角坐标系Oxyz，如下图所示则A(3，0, 0)，D(0,3,0)，B(0,0,3)所以(3，0,3)，(3，3,0)，设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，则有即令x1，则y，z，所以n(1，)因为ACOB，ACOD，所以AC平面BOD.平面BOD的法向量与AC平行，所以可得平面BOD的一个法向量为n0(1,0,0)cosn0，n.因为二面角ABDO是锐角，所以二面角ABDO的余弦值为.(3)因为N是线段BD上一个动点，设N(x1，y1，z1)，则(x1，
15、y1，z13)(0,3，3)，所以x10，y13，z133，则N(0,3，33)，(3，3，33)，由CN4得4，即92920，解得或，所以N点的坐标为(0,2,1)或(0,1,2)(也可以答N是线段BD的三等分点，2或2)15(2011北京理，16)如下图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长解析(1)因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.因为PAACA，所以BD平面PAC.(2)设ACB
16、DO.因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如上图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)，设PB与AC所成角为，则cos.(3)由(2)知(1，0)设P(0，t)，(t0)，则(1，t)设平面PBC的法向量m(x，y，z)，则m0，m0，所以令y，则x3，z.所以m(3，)同理，平面PDC的法向量n(3，)因为平面PBC平面PDC.所以mn0，即60.解得t.所以PA.1已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A. B.C.
17、 D.答案A解析解法1：取A1C1中点E，连结AE、B1E.由题易知B1E平面ACC1A1，则B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角令正三棱柱侧棱长与底面边长为1.则sinB1AE.故选A.解法2：以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系Exyz，设棱长为1，则A，B1，令AB1与面ACC1A1所成角为.sin|cos，|.2如下图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE；(3)求二面角ABED的大小解析(1)设AC与BD交于点G，因为EFAG，且EF1，AGAC1，所以四边形AGEF为平
18、行四边形所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如图以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0)，A(，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F(，1)所以(，1)，(0，1)，(，0,1)所以0110，1010.所以CFBE，CFDE，所以CF平面BDE.(3)由(2)知，(，1)，是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量n(x，y，z)，则n0，n0.即所以x0，zy.令y1，则z.所以n(0,1，)，从而cosn，因为二面角ABED为锐角，所以二面角ABED的大小为. 专心-专注-专业