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1、高中数学选修2-2知识点总结高中数学选修2-2知识点总结数学选修2-2知识点总结导数及其应用一导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是x0limf(x0x)f(x0)，x我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)=limx0f(x0x)f(x0)x例1在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10运动员在t=2s时的瞬时速度是多少？解：根据定义vh(2)limh(2x)h(2)13.1x0x即该运动员在t=2s是13.1m/s,
2、符号说明方向向下2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0)，当点Pn趋近于P时，xnx0函数yf(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即klimx0f(xn)f(x0)f(x0)xnx03.导函数：当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数.yf(x)的导函数有时也记作y,即f(x)lim二.导数的计算1.函数yf(x)c的导数2.函数yf(x)x的导数3.函数yf(x)x的导数2x0f(xx)f(x)x4.函数yf(x)1的导数x基本初等函数的导数公式:1若f(
3、x)c(c为常数)，则f(x)0；2若f(x)x,则f(x)x1;3若f(x)sinx,则f(x)cosx4若f(x)cosx,则f(x)sinx;5若f(x)ax,则f(x)axlna6若f(x)e,则f(x)exx1xlna18若f(x)lnx,则f(x)xx7若f(x)loga,则f(x)导数的运算法则1.f(x)g(x)f(x)g(x)2.f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)3.f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)g(x)2复合函数求导yf(u)和ug(x),称则y可以表示成为x的函数,即yf(g(x)为一个复合函数yf(g(x)g(x)三.导数在研究函数中的应
4、用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数yf(x)的极值的方法是:(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数yf(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤（1）求函数yf(x)在(a,b)内的极值
5、；（2）将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)
6、;(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三数学归纳法1.它是一个递推的数学论证方法.2.步骤:A.命题在n=1（或n0）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n=n0,且nN)结论都成立。考点三证明1.反
7、证法:2.分析法:3.综合法:第一章数系的扩充和复数的概念考点一:复数的概念(1)复数:形如abi(aR,bR)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.(2)分类:复数abi(aR,bR)中,当b0,就是实数;b0,叫做虚数;当a0,b0时,叫做纯虚数.(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。考点二：复数的运算1.复数的加，减
8、，乘，除按以下法则进行设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)则z1z2(ac)(bd)iz1z2(acbd)(adbc)iz1(acbd)(adbc)i(z20)z2c2d22,几个重要的结论(1)|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)(2)zz|z|2|z|2(3)若z为虚数,则|z|z3.运算律(1)zzzmnmn22;(2)(z)zmnmnn;(3)(z1z2)nz1z2n(m,nR)4.关于虚数单位i的一些固定结论：（1）i1（2）ii（3）i1（2）ii234nn2in3in40扩展阅读：高中数学选修2-2知识点总结导数及其应用一导数概念的引入数学选修2-2知识
9、点总结1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)x，x0我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx，即0f(x0)=limf(x0x)f(x0)xx0例1在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t6.5t102运动员在t=2s时的瞬时速度是多少？解：根据定义vh(2)limh(2x)h(2)xx013.1即该运动员在t=2s是13.1m/s,符号说明方向向下2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点Pn趋近于P时，直线PT与曲
10、线相切。容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0)xnx0，当点Pn趋近于P时，函数yf(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即klimf(xn)f(x0)xnx0f(x0)x03.导函数：当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数.yf(x)的导函数有时也记作y,即f(x)limf(xx)f(x)xx0二.导数的计算1.函数yf(x)c的导数2.函数yf(x)x的导数3.函数yf(x)x的导数4.函数yf(x)1x的导数基本初等函数的导数公式:1若f(x)c(c为常数)，则f(x)0；2若f(x)x,则f(x)x1;3若f(x)sinx,则f(x)cos
11、x4若f(x)cosx,则f(x)sinx;5若f(x)ax,则f(x)axlna6若f(x)ex,则f(x)exx7若f(x)loga,则f(x)1xlna1x8若f(x)lnx,则f(x)导数的运算法则1.f(x)g(x)f(x)g(x)2.f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)23.复合函数求导yf(u)和ug(x),称则y可以表示成为x的函数,即yf(g(x)为一个复合函数yf(g(x)g(x)三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内，如果f(
12、x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间单调递减.2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数yf(x)的极值的方法是:(1)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值;(2)如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值;4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数yf(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤（1）求函数yf(x)在(a,b)内的极值；（2）将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是
13、最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题第二章推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,
14、那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三数学归纳法1.它是一个递推的数学论证方法.2.步骤:A.命题在n=1（或n0）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k时命题成立C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n=n0,且nN)结论都成立。考点三证明1.反证法:2.分析法:3.综合法:第一章数系的扩充和复数的概念考点一:复数的概念(1)复数:形如abi(aR
15、,bR)的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部.(2)分类:复数abi(aR,bR)中,当b0,就是实数;b0,叫做虚数;当a0,b0时,叫做纯虚数.(3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。考点二：复数的运算1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)则z1z2(ac)(bd)iz1z2(acbd)(adbc)iz1z2(acbd)(adbc)icd22(z20)2,几个重要的结论2222(1)|z1z2|z1z2|2(|z1|z2|)(2)zz|z|2|z|2(3)若z为虚数,则|z|z3.运算律(1)zmznzmn;(2)(z)zmnmnnnn;(3)(z1z2)z1z2(m,nR)224.关于虚数单位i的一些固定结论：（1）i1（2）ii（3）i1（2）ii234nn2in3in第 7 页 共 7 页