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1、高中数学知识点总结_导数的应用高中数学知识点总结_导数的应用导数的应用、复数1.用导数研究函数的单调性。yf(x)在区间(a,b)内可导，若f(x)0，则yf(x)在(a,b)上递增;若f(x)巩固2设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）（07浙江理8）OAxOBxOCxODxyyyy/巩固3函数f(x)、g(x)在R上可导，且f(x)g(x),若ab，则（）Af(a)g(b)Bg(a)解析：f(x)3x22axb0，f/(1)=2ab302f(1)1abaa4a3或10由得：b3b11a3当时，f(x)3x26x33(x1)
2、20，此时函数f(x)无极值，舍去；b3当a4b11时f/(x)3x28x11，函数f(x)在x1处左减右增，有极小值；此时f(2)18。注：在解决“已知函数的极值点求参变量”的问题时，为避免“增根”，需将求出的参变量的值代入f/(x)检验其是否为完全平方式，若是则函数无极值（单调），否则有极值；也可以对f/(x)再次求导，看f为负则有极大值。巩固1已知f(x)ax3bx2cx在区间0,1上是增函数,在区间(,0),(1,)上是减函数,又f()2132.()求f(x)的解析式;()若在区间0,m(m0)上恒有f(x)x成立,/为0则无极值，为正则有极小值，(x0)的值，求m的取值范围.举例2设
3、函数f(x)ax2blnx，其中ab0证明：当ab0时，函数f(x)没有极值点；当ab0时，函数f(x)有且只有一个极值点，并求出极值（07高考山东文21）3.求yf(x)在闭区间内的最值的步骤：（1）求导数f(x)（2）求导数方程f(x)=0的根（3）检查f(x)在根的左右值的符号，列表求得极值；也可通过解不等式f(x)0及再确定函数的极值；最后将极值与f(x)0确定函数yf(x)在给定区间内的单调情况，区间端点的函数值比较以确定最值。32举例1设函数f(x)2x3ax3bx8c在x1及x2时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的x0，3，都有f(x)c成立，求c的取值范围2解析：（）f
4、(x)6x6ax3b，由f(1)0，f(2)0解得a3，b4222（）f(x)c在0，3上恒成立即cfmax(x)，x0，3由（）可知，f(x)2x9x12x8c，f(x)6x18x126(x1)(x2)当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，2)时，f(x)0；当x(2，3)时，f(x)03即f(x)在0，1上递增，1，2上递减，2，3上递增；当x1时，f(x)取得极大值3时，f(x)的最大值为f(3)98cf(1)58c，又f(3)98c故当x0，于是有：98cc2，解得c1或c9，因此c的取值范围为(，1)(9，)。举例2已知定义在正实数集上的函数f(x)12x2ax，g(x)3alnx
5、b，其中22a0设两曲线yf(x)，yg(x)有公共点，且在该点处的切线相同用a表示b，并求b的最大值；解析：设yf(x)与yg(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同3ax2f(x)x2a，g(x)，由题意f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)122x2ax3alnx0b，00223a即由x02a得：x0a，或x03a（舍去）23ax0x2a，0x0即有b1252a2a3alna22252a3alna122令h(t)t3tlnt(t0)，则h()t2(1t3nl)t22于是当t(13lnt)0，即0te31时，h(t)0；当t(13lnt)0，即te时，h(t)0故h(t)在0，
6、e3为增函数，131213为减函数，h(t)在(0，在e3，)的最大值为he3e32巩固1设函数f(x)ln(2x3)x，求f(x)在区间，的最大值和最小值44231巩固2已知函数f(x)ax6axb，其图象为曲线C（1）直线l:y=x+1与曲线C相切于x轴上一点，求的a、b的值（2）是否存在实数a、b，使f(x)在-1、2上取得最大值为3，最小值为-29。若存在，求出a、b的值，并指出函数y=f(x)的单调递增区间；若不存在，请说明理由。324复数包括实数和虚数，实数是虚部为0的复数；-1的“平方根”为i，i=-1，ii，32i=1，(1i)2i；复数运算遵循有理式的运算法则；复数的商一般将
7、分母“实数化”（分子分母同乘分母的共扼复数）；两个虚数不能比较大小；两个复数相等当且仅当它们的实部相等，虚部也相等；复数abi（aR，bR）在复平面内唯一对应点（a，b）。举例1设a是实数，且A12a1i1i2322是实数，则a（）D2a1(1a)i2a1iB11i2C=解析：=a(1i)21iR，则a1举例2已知a，bR，且2ai,bi（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2pxq0的两个根，那么p，q的值分别是（）Ap4，q5p4，q5解析：分别将2ai,2p4，q3p4，q32bi代入方程得：(2ai)p(2ai)q0(bi)p(bi)q0对整理得：2pqa240(p4)a0；解得：p4
8、，q5。本题也可以用“韦达定理”求解：2pbqb10p2b02aibip，(2ai)(bi)q对整理得：2bpa1a10b2。2baqp4ab20q5巩固1在复平面内，复数z=12i对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限巩固2设复数z满足A2i12izi，则z（）B2iC2iD2i答案1、巩固1a2，巩固2D，巩固3D，2、巩固1f(x)2x33x20m12巩固2；3、巩固1f17171巩固2（1）a=,b=(2)a=2，b=3f(x)在(-1,0)ln15152416上单调递增;a=-2，b=-29f(x)在(0、2)上单调递增。4、巩固1D，巩固2C扩展阅读：
9、高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结数学选修2-2导数及其应用知识点必记1函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念是什么？答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则称limx0xx0x函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均变化率和导数的几何意义是
10、什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy0xn1xdxn1nyxnnN*ynxn1yaxa0,a1yalnayexxaxadxlnaxyexedxexxylogaxa0,a1,x0ylnxy1xlna1x1xdxlnxyysinxycosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxysinx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)
11、f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数运算特别地：CfxCfx商的导数运算f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)g(x)2g(x)1g(x)特别地：2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中Fxfx）和差的积分运算baf1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特别地：积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：求函数f(x)的导数f(x)令f(x)0,解不等式，得x的范围就是递增区间.令f(x)
12、8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：求f(x)在a,b上的极值；将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9求曲边梯形的思想和步骤是什么？答：分割近似代替求和取极限（“以直代曲”的思想）10.定积分的性质有哪些？根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质11dxbaababbbbb性质5若f(x)0,xa,b，则f(x)dx0推广：f1(x)f2(x)fm(x)dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)aaaa推广:f(x)dxf(x)dxf
13、(x)dxf(x)dxaac1ckbc1c2b11定积分的取值情况有哪几种？答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.(l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积12物理中常用的微积分知识有哪些？答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。数学选修2-2推理与证明知识点必记13.归纳推理的定义是什么？答：从个别
14、事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。14.归纳推理的思维过程是什么？答：大致如图：实验、观察概括、推广猜测一般性结论15.归纳推理的特点有哪些？答：归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。16.类比推理的定义是什么？答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方
15、面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。17.类比推理的思维过程是什么？答：观察、比较联想、类推推测新的结论18.演绎推理的定义是什么？答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。19演绎推理的主要形式是什么？答：三段论20.“三段论”可以表示为什么？答：大前题：M是P小前提：S是M结论：S是P。其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特殊对象；是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？答：直接证明是
16、从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。22.什么是综合法？答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。23.什么是分析法？答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。24什么是间接证明？答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一般
17、步骤是什么？答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。26常见的“结论词”与“反义词”有哪些？原结论词反义词原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个一个也没有至少有两个至多有n-1个至少有n+1个对任意x不成立p或qp且q反义词存在x使成立p且qp或q对所有的x都成立存在x使不成立27.反证法的思维方法是什么？答：正难则反28.如何归缪矛盾？答：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾29数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤是什么？nnN答：(1
18、)证明：当n取第一个值时命题成立；00(2)假设当n=k(kN*，且kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。数学选修2-2数系的扩充和复数的概念知识点必记30.复数的概念是什么？答：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部，数集Cabi|a,bR叫做复数集。规定：abicdia=c且，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相b=d等。实数(b0)31数集的关系有哪些？答：复数Z一般虚数(a0)虚数(b0)纯虚数(a0)32.复数的几何意义是什么？答：
19、复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33.什么是复平面？答：根据复数相等的定义，任何一个复数zabi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。34.如何求复数的模(绝对值)？答：与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数zabi的模(也叫绝对值)记作z或abi。由模的定义可知：zabia2b235.复数的加、减法运算及几何意义是什么？答：复数的加、减法法
20、则：z1abi与z2cdi，则z1z2ac(bd)i。注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。复数的乘法法则：(abi)(cdi)acbdadbci。复数的除法法则：abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2其中cdi叫做实数化因子36.什么是共轭复数？答：两复数abi与abi互为共轭复数，当b0时，它们叫做共轭虚数。常见的运算规律(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i1i1i213i23n1,3n2,3n31是1的立方虚根，则10，2(9)设第 10 页 共 10 页