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1、初中数学二次函数知识点总结初中数学二次函数知识点总结二次函数的图象与性质二次函数开口方向对称轴顶点增减性最大（小）值y=ax2a0时，开口向上；a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；当a0时，当x=0时，=0；当a0时，当x=0时，=c；当a0时，当x=h时，y最小=0；当a0时，当x=h时，y最小=k；当a0时，当x=h时，y最小=k；当a0时，开口方向向上；a1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=h或者x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）a,b同号，对
2、称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a开口3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a0时，二次函数图像向上开口；当a0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0;k0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是yk当ah范围内事增函数，在x且X（X1+X2）/2时Y随X的
3、增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1X2值。两图像对称y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称；y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称；y=ax2+bx+c与y=-a(x-h2+k关于顶点对称；y=ax2+bx+c与y=-a(x+h2-k关于原点对称。扩展阅读：史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1.定义：一般地，如果yax2bxc(a
4、,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数yax2的性质（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数yax2的图像与a的符号关系.当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2（a0）.3.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.b2a4acb4a224.二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中h22，k.25.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：yax2；yax2k；yaxh；yaxhk；yax2bxc.6.抛物
5、线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：yax2b4acbbxcax2a4a22b4acb（，），对称轴是直线x，顶点是.2a2a4a2b2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh.（3）运用抛物
6、线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb2a，故：b0时，对称轴为y轴；ba0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；ba0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只
7、有一个交点（0，c）：c0，抛物线经过原点;c0,与y轴交于正半轴；c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式yaxyax22ba0.开口方向对称轴x0（y轴）x0（y轴）顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)4acb，(2a4ab2k2当a0时开口向上当a0时xhxhxb2ayaxhyaxhk2yax2bxc开口向下)11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常
8、选择顶点式.22（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.12.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0,c).-2-（2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah（3）抛物线与x轴的交点2bhc).二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的
9、交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组ykxnyax2bxc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故x1x2ba,x1x2ca2ABx1x2x1x2x1x24x1x224cbaa2b4a
10、ca2a第二部分典型习题.抛物线yx22x2的顶点坐标是（D）A.（2，2）B.（1，2）C.（1，3）D.（1，3）.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（C）ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0AEFDCB第,题图第4题图.二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是（）Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c0.如图，已知ABC中，BC=8，BC上的高h4，D为BC上一点，EF/BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x，则DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（）y4444O2A
11、4xO2B4O2C24O2D4EF84x4EF82x,yx4x.抛物线yx22x3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为46.已知二次函数ykx2(2k1)x1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1x2），则对于下列结论：当x2时，y1；当xx2时，y0；方程kx2(2k1)x10有两个不相等的实数根x1、x2；x11，x21；14kk2x2x1，其中所有正确的结论是（只需填写序号）7.已知直线y2xbb0与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为yx2b10xc.（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y2xb上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B作直线BCAB交x轴交于点C，若
12、抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y2xb的解析式.解：（1）yx10或yx4x6b102b16b1004222将得cb.顶点坐标为(（0，b)代入，,)，由题意得2b102bb16b10042，解得b110,b26.（2）y2x28.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为2,0,1时,相应的输出值分别为5,3,4（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为yax2bxc,a(2)2b(2)c5c3a1则a02b0c3,即2ab4,解得b
13、2abc4c3ab1故所求的解析式为:yx22x3.（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y为正数时，输入值x的取值范围是x1或x39.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两昼图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆驼从最低上升到最高需要多少时间?第三天12时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式解：第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时第三天12时这头骆驼的体温是39y116x2
14、x2410x2222夜的体温变化情况绘制成下的体温是上升的?它的体温第9题10.已知抛物线yax(433a)x4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C是否存在实数a，使得ABC为直角三角形若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由解：依题意，得点C的坐标为（0，4）设点A、B的坐标分别为（x1，0），（x2，0），由ax2(433a)x40，解得x13，x243a243a点A、B的坐标分别为（-3，0），（AB|43a3|，AC2，0）5，AOOC43aBCBOOC43a222169a169a2|443a169a222AB2|AC23|2231698a9，25，BC2当AB2AC2BC2时，AC
15、B90由AB2AC2BC2，得169a28a925(14169a216)解得a当a14163时，点B的坐标为（，0），AB25269，AC225，BC24009于是AB2AC2BC2当a214时，ABC为直角三角形22当ACABBC时，ABC90222由ACABBC，得25(169a28a9)(169a216)解得a当a494943a432时，493，点B（-3，0）与点A重合，不合题意当BCACAB时，BAC90由BCACAB，得解得a4922222169a21625(169a28a9)不合题意14综合、，当a时，ABC为直角三角形11.已知抛物线yx2mxm2.（1）若抛物线与x轴的两个交
16、点A、B分别在原点的两侧，并且AB5，试求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且MNC的面积等于27，试求m的值.解:(1)（x21，0）,B(x2，0).则x1，x2是方程xmxm20的两根.x1x2m,x1x2=m20即m2;又ABx1x2（x21+x2）4x1x25,m24m3=0.解得：m=1或m=3(舍去),m的值为1.yC（2）M(a，b)，则N(a，b).M、N是抛物线上的两点,2Mamam2b,xa2mam2b.ON得：2a22m40.a2m2.当m2时，才存在满足条件中的两点M、N.a2m.这时M、N到y轴的距离均为2m,又点C坐
17、标为（0，2m）,而SMNC=27,212（2m）2m=27.解得m=7.12.已知：抛物线yax24axt与x轴的一个交点为A（1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为52的点，如果且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x2抛物线与x轴的一个交点为A（1，0），由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）-7-一底的梯形ABCD的面
18、积为9，点E在（2）中的抛物线上，是否存在点P，使APE的周（2）抛物线yax24axt与x轴的一个交点为A（1，0），a(1)24a(1)t0t3ayax24ax3aD（0，3a）梯形ABCD中，ABCD，且点C在抛物线yax24ax3a上，C（4，3a）AB2，CD4梯形ABCD的面积为9，a1所求抛物线的解析式为yx24x3或yx24ax3（3）设点E坐标为（x0，y0）.依题意，x00，y00，且y0x05212(ABCD)OD912(24)3a9y052x0设点E在抛物线yx24x3上，2y0x04x0315x，0x06，y0x0,2解方程组得2y15；50yx24x3y00004点
19、E与点A在对称轴x2的同侧，点E坐标为（12，54）设在抛物线的对称轴x2上存在一点P，使APE的周长最小AE长为定值，要使APE的周长最小，只须PAPE最小点A关于对称轴x2的对称点是B（3，0），由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x2的交点设过点E、B的直线的解析式为ymxn，15m,1mn,224解得33mn0.n.2直线BE的解析式为y点P坐标为（2，1212x32把x2代入上式，得y12）2设点E在抛物线yx24x3上，y0x04x035x0,3y02解方程组消去y0，得x0x03022yx24x3.0000.此方程无实数根综上，在抛物线的对称轴上存在点P（2，解法二：（1）抛物线
20、yax24axt与x轴的一个交点为A（1，0），a(1)24a(1)t0t3ayax24ax3a令y0，即ax24ax3a0解得x11，x23抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）（2）由yax24ax3a，得D（0，3a）梯形ABCD中，ABCD，且点C在抛物线yax4ax3a上，212），使APE的周长最小C（4，3a）AB2，CD4梯形ABCD的面积为9，(ABCD)OD9解得OD3213a3a1所求抛物线的解析式为yx4x3或yx4x3（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x2的交点如图，过点E作EQx轴于点Q设对称轴与x轴的交由PFEQ，可得BFBQPFEQ1222点为F152
21、PF54PF12点P坐标为（2，以下同解法一）13.已知二次函数的图象如图所示（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将OAC补成矩形，使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过点，第三个顶点落在矩程）解：
22、（1）设抛物线的解析式ya(x1)(x2)，2a1(2)a1yx2x2其顶点M的坐标是1，924（2）设线段BM所在的直线的解析式为ykxb，点N的坐标为N（t，h），02kb，91解得k3，b3422kb.线段BM所在的直线的解析式为y32x3h32t3，其中12t2s121212(223t3)t34t212t1s与t间的函数关系式是S3114t22t1，自变量t的取值范围是2t2（3）存在符合条件的点P，且坐标是P573512，4，P2，24设点P的坐标为P(m，n)，则nm2m2PA2(m1)2n2，PC2m2(n2)2，AC25分以下几种情况讨论：i）若PAC90，则PC2PA2AC2
23、nm2m2，m2(n2)2(m1)2n25.解得：m152，m21（舍去）点P15，742ii）若PCA90，则PA2PC2AC22nmm2，2222(m1)nm(n2)5.解得：m3353点P2，m40（舍去）242iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PAAC，所以边AC的对角APC不可能是直角（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（1，2），以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E12，55F，5485图a图b14.已知二次函数yax2
24、的图象经过点（1，1）求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数解：根据题意，得a21.a1这个二次函数解析式是yx2因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，2），所以该函数图象与x轴有两个交点15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面111000的比例图上，跨度AB5cm，拱高OC0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1）在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）22（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE与AB的距离OM0.4
25、5cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：21.4，计算结果精确到1米）解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为2yax910559185因为点A（，0）（或B（，0）在抛物线上，所以0a()2，得a22210125因此所求函数解析式为y（2）因为点D、E的纵坐标为所以点D的坐标为（545454918125x2910920(52x18125522)91020，所以920x54，得x2，9205422，），点E的坐标为（）所以DE2(2)522因此卢浦大桥拱内实际桥长为522110000.012752385（米）16.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x
26、轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图二次函数yaxbxc（a0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C2（1）a、c的符号之间有何关系?（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b4，AB43，求a、c的值解:（1）a、c同号或当a0时，c0；当a0时，c0（2）证明：设点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），则0x1x2OAx1，OBx2，OCc2据题意，x1、x2是方程axbxc0(a0)的两个根x1x2ca由题意，得OAOBOC2，即cc2ac2所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数（3）
27、当b4时，由（2）知，x1x2ba4a0，a0解法一：ABOBOAx2x1(x1x2)24x1x2，AB42c()4()aa23a164aca223aAB43，43得a12c2.解法二：由求根公式，x4164ac2a41642a2a3，x12a3，x22a3ABOBOAx2x12a323a1223aAB43，3323a343，得ac217.如图，直线yx分别与x轴、y轴交于点A、B，E经过原点O及A、B两点（1）C是E上一点，连结BC交OA于点D，若CODCBO，求点A、B、C的坐标；（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC到P，使DP2，连结AP，试判断直线PA与E的位置
28、关系，并说明理由解：（1）连结EC交x轴于点N（如图）A、B是直线y33x3分别与x轴、y轴的交点A（3，0），B(0,3)的中点ECOA又CODCBOCBOABCC是ON12OA32,ENOB232连结OEECOE3NCECEN32C点的坐标为（,2332）（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为yaxx3C（y32,322）23832a33(3)22a293239xx为所求33（3）tanBAO，BAO30，ABO5012ABO126030由（1）知OBDABDOBDODOBtan301DA2ADCBDO60，PDAD2ADP是等边三角形DAP60BAPBAODAP306090即PAAB即直线PA是E的切线第 14 页 共 14 页