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1、课程主讲人：（本科）结构力学教程（第2版）第十章ppt课件2Structural mechanics结构力学结构力学土木工程学院土木工程学院 Civil Engineering CollegeStructural mechanics结构力学结构力学第十章 结构动力分析结构力学教程(第2版)4结构动力分析的基本概念01阻尼对振动的影响0305两个自由度体系的自由振动（刚度法）04两个自由度体系的自由振动（柔度法）06简谐荷载下两个自由度体系的受迫振动02单自由度体系的自由振动和受迫振动第十章 结构动力分析510-1 结构动力分析的基本概念 Introduction第十章 结构动力分析6一、动力计
2、算的特点和内容1、动力计算的特点第十章 结构动力分析7 “静力荷载”是大小、方向和作用位置不随时间变化的荷载。由它所引起的内力和变形都是确定的。 实际工程将那些使结构产生的振动很小，以致其上的惯性力可以忽略不计的荷载视为静力荷载。 只将那种不仅随时间变化而且使结构产生较大振动影响的荷载视为动力荷载。 “ 动力荷载”是指大小、方向和作用位置随时间变化的荷载。由它所引起的内力和变形都是时间的函数。 动力计算与静力计算都是建立平衡方程，但动力计算考虑的是瞬间平衡，它所建立的平衡方程是微分方程。第十章 结构动力分析82、动力计算的目的和内容 结构动力计算的目的在于确定结构在动力荷载作用下产生的最大内力
3、与最大位移，为设计提供可靠的依据。此外还需求出结构在动力荷载作用下产生的最大速度和加速度，使其不超过规范的允许值。 结构在动力荷载作用下的计算，要涉及内外两个方面的因素，即结构本身的动力特性和干扰力的变化规律。结构的动力特性是指结构的自振频率、振型和阻尼。 结构的动力计算分为两大类，即自由振动(结构自身的动力特性)和强迫振动(结构受到干扰力激励后的动力反应)。第十章 结构动力分析93、动力计算的研究方法第十章 结构动力分析10二、动力荷载分类1、简谐荷载按正弦函数或余弦函数变化的周期荷载，称为简谐荷载。2、一般周期荷载指除简谐荷载以外的其它型式的周期荷载。第十章 结构动力分析113、冲击荷载在
4、很短的时间内，荷载值急剧增大或急剧减小。随时间作复杂变化，且不可能对荷载与时间的函数关系作出精确的数学描述。4、随机荷载第十章 结构动力分析12三、体系的振动自由度振动自由度： 确定体系上全部质量位置所需独立参变数的数目。凡需要考虑杆件本身质量（称为质量杆）的结构都是无限自由度体系。严格的说一切弹性体系都是无限自由度体系。第十章 结构动力分析13单自由度体系：振动自由度为1 的体系。1、集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。第十章 结构动力分析142个自由度2个自由度双（两个）自由度体系：振动自由度为2的体系。多自由度体系：具有两个以上且为有限
5、数目自由度的体系。第十章 结构动力分析152、广义坐标法 是根据边界约束条件选取的已知函数，称为形状函数。( )nx an 称广义座标，为一组待定参数。其个数即为自由度数。将一个无限自由度问题简化成有限自由度问题的另一种方法。近似地假设振动曲线。第十章 结构动力分析1610-2 单自由度体系的自由振动和受迫振动 Free and forced vibration of single degree of freedom system第十章 结构动力分析17 一、自由振动1、 刚度法自由振动：由初始位移或初始速度或两者共同影响下产生的振动。弹簧刚度系数k11即为梁在端点处的刚度系数。弹性力 惯性力
6、 Istd( )( )() F tmy tmy & & & &重力 Wmg自由振动的平衡微分方程 std11std()() mykyW& & &e1111std( )( )() F tk y tky 第十章 结构动力分析18简化为 d11d0 myk y& & 上式是利用达朗伯原理直接建立的质量m在任一瞬时的动力平衡方程，它以位移为未知量，引用了刚度系数K11，称为刚度法。或110 myk y& & (b)std11std()() mykyW& & & (a) 建立运动微分方程以静力平衡位置为位移计算起点时，所得微分方程与重力无关。第十章 结构动力分析192、 柔度法研究结构上质点的位移，建立
7、位移协调方程。11I11( )( )( ) y tF tmy t & &可进一步写成由于 ，11111k此种方式建立的运动方程又称为位移方程，由于引用了柔度系数，称为柔度法。110 myk y& & (b)11( )( )0 y tmy t& &(c)第十章 结构动力分析203、自由振动微分方程的解它是二阶线性齐次微分方程，其通解为其中11111mmk设在初始时刻t=0时，20 yy& &(d)0)0(yy0(0) y&(f)tCtBtysincos)(e)则由式(e)可求出0yB 0C110 myk y& &第十章 结构动力分析21tvtytysincos)(00(g)sin()(tAty(
8、h)002020arctanvyvyA(i)振幅初相角 可以写成写成tCtBtysincos)(cossin00AvAy令第十章 结构动力分析224、结构的自振周期和频率由式)sin()(tAty位移方程是一个周期函数。周期 s2 ,T工程频率 1,2(Hz)fT圆频率 rad/22 sfT计算频率和周期 11111kmm111122mTmk第十章 结构动力分析23例 图示三种不同支承情况的单跨梁，EI常数，在梁中点有一集中质量m，当不考虑梁的质量时，试比较三者的自振频率。解 此三种情况下的静力位移分别为31148lEI3117768lEI311192lEI三种情况下的自振频率为3148mlE
9、I327768mlEI33192mlEI据此可求得2:512. 1:1:321111m第十章 结构动力分析24例 试求图示刚架的自振频率，略去柱的质量。 解 先求刚架的刚度系数k11 。刚架的自振频率为11324EIkl11324kEImml11km第十章 结构动力分析25例 试求图示刚架的自振频率。质量m集中在横梁。11324EIkl11318EIkl11324kEImml11318kEImml第十章 结构动力分析265、简谐自由振动的特性由式( )sin()y tAt可得，加速度为 2( )sin() y tAt & &2I( )( )sin() F tmy tmAt & &在无阻尼自由振
10、动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻达到极值（幅值），惯性力的方向与位移的方向一致。它们的幅值产生于sin()1t时，其值分别为 在运动的任一瞬时质点都处于平衡状态，在幅值出现时也一样。在幅值处建立的运动方程中将不含时间t，这样就把微分方程转化为代数方程。惯性力为 0yA02yA 02IFmA第十章 结构动力分析27 例 计算图示体系的自振频率。 解：单自由度体系，以表示位移参数的幅值 =0BM00I1I23022lFFlk ll 022I1112lFmAm022I222213321 2FmAmlml2211302222lmlmllk ll km
11、第十章 结构动力分析2811P( ) myk yF t& & 受迫振动是指体系在干扰力 作用下所产生的振动。P( )F t或写成2P( ) F tyym& &(a)列出运动微分方程 二、受迫振动第十章 结构动力分析29 1、 简谐荷载作用设简谐荷载的表达式为其中，为简谐荷载的圆频率，FP为荷载的最大值(称为干扰力的幅值)。2P( ) F tyym& &(a)(b)2Psin Fyytm& &*yyycossinyBtCt*sinyDt(c)22P()sinsinFDttm将式( c)代人式 (b) 得PP(t)=sinFFt通解齐次解特解第十章 结构动力分析30P22()FDm*P22sin(
12、)FytmP22( )cossinsin()Fy tBtCttm(d)如 则由(d)式得 (0)0 (0)0 yy&P22 0 ()FBCmPP2222( )sinsin()()FFy tttmm(e)第十章 结构动力分析31 由于实际振动中存在阻尼力，伴生自由振动将很快地衰减，将开始时这两种振动都同时存在的阶段称为过渡阶段，而将伴生自由振动衰减后只按荷载频率振动的阶段称为平稳阶段。PP2222( )sinsin()()FFy tttmm(e)伴生自由振动 纯受迫振动(b)2Psin Fyytm& &当当 时时000 0yv第十章 结构动力分析32以下只讨论纯受迫振动的情况 111121mmk
13、故PPP 11st211FFFymk yst 为将干扰力幅值FP视为静力荷载作用于体系所引起的位移。P2221( )sin(1)Fy ttmP22( )sin ()Fy ttm令tAtysin)(2211位移动力系数或放大系数stAy 在简谐荷载作用下，动位移幅值A等于静力位移yst乘以系数，故称为位移动力系数或放大系数。第十章 结构动力分析332、 推论(1)对于干扰力作用于质量上的单自由度体系来说，位移动力系数与内力动力系数完全相同，可不作区分，并统称为动力系数。在工程设计中，采用动力系数计算动力反应只限于此种情况。 (2)对于多自由度体系，不仅位移动力系数与内力动力系数不同，而且不同截面
14、上的位移动力系数和内力动力系数也各不相同，故不能采用统一的动力系数去计算动力反应。第十章 结构动力分析34动位移、动内力幅值计算3、 计算步骤(1)计算简谐荷载幅值作为静荷载对质点所引起的位移、体系内力； (2)计算动力系数； (3)将所得静位移、静内力乘以动力系数, 求得动位移、动内力幅值。 PstP1111FyFkst( )sin y tAtAy2211/第十章 结构动力分析35 4、 频率比对动力系数 的影响：2221111式中， = / 称为频率比。(1) 当，1时，1 这表明动位移方向与干扰力FP(t)方向相同，且动位移幅值恒大于干扰力幅值产生的静位移。当 时，1 干扰力接近静力荷载
15、st( )siny tytPP( )sinF tFt第十章 结构动力分析36(2) 当，1时，0这表明动位移方向与干扰力FP(t)的方向相反。当 时，0这表明质量m只在平衡位置附近作极微小的振动。(3) 当=，=1时，= 这表明当干扰力的频率与自振频率重合时，动位移和动内力都将无限增加（不考虑阻尼），这种现象称之为共振。一般规定与之值至少应相差25以避免共振。第十章 结构动力分析37 例 图示一简支梁，其上安装有一台质量为m=2000kg的发动机，转动时的离心力FP1960N。设梁为22b号工字型钢(I3570 cm4)，E205.8103 MPa，120 MPa，试验算当发动机转数为4005
16、00 rmin时梁的强度。解求梁的自振频率118122221113()3 2.058 103570 10539.12000 23EI absmma b22113()a bEI ab第十章 结构动力分析38当转速为 400r/min时，1240041.960s 再求干扰力的频率 500r / min当转速为 时，1250052.460s由以上数值可知，梁的自振频率接近干扰力的频率，故应加以避免。增大梁的截面尺寸设选用25a号工字钢(I5023.54cm4)，其自振频率为12281141.4632200051054.502310058. 23s 梁的自振频率更加接近干扰力的频率，并非截面越大越安全
17、。139.1s第十章 结构动力分析39减小梁的截面尺寸选20b号工字钢(I2500cm4，W250cm3)1181223 2 058 102500 10532 7 s2000 23.211.55841.91 ()32.7 max6611()()12 3(2000 9.8 1.558 1960)250 105108.73 10108.73120GPPPMMFa bmg a babmgFWWWllWlPaMPaMPa max6611()()12 3(2000 9.8 1.558 1960)250 105108.73 10 Pa108.73MPa120MPaGPPPMMFa bmg a babmgF
18、WWWllWl 612 3(2000 9.8 1.558 1960)250 105强度满足要求PPmaxP6611()()12 3(2000 9.8 1.558 1960)250 105108.73 10 Pa108.73MPa120MPaGMMFa bmg a babmgFWWWllWl PPmaxP6611()()12 3(2000 9.8 1.558 1960)250 105108.73 10108.73120GMMFa bmg a babmgFWWWllWlPaMPaMPa 第十章 结构动力分析405、一般动力荷载作用一般荷载作用下，其特解可利用瞬时冲量作用下的动力反应推导。2P( )
19、 Ftyym& &(a)PddIFtPddFtmvPddFtvmPd0.5 0d2Ftvvm2P(d )d2FtymFP 瞬时作用，由其引起的动力反应相当于由瞬时作用，由其引起的动力反应相当于由y0、v0引起的自由振动。引起的自由振动。瞬时冲量质量在冲量作用之前处于静止状态第十章 结构动力分析41初始时刻t=0时 引起的自由振动。(0)0yP0dF tmtvtytysincos)(00代入Pdd( )sin sinF tIy tttmm即为由冲量引起的动力反应一般动力荷载作用干扰力的作用可看作由无数多个瞬时冲量组成。单个冲量 产生的位移为 Pd( )dIFP( )(d ( )sin)dFy t
20、mtPddFtvm2P(d )d2Ftym(dy忽略)第十章 结构动力分析42P( )d ( )sin()dFy ttmP01( )( )sin()dty tFtm杜哈梅积分(Duhamel 积分) 初始位移y0和初始速度v0不为零时，体系在任意荷载作用下的位移公式 上式是初始处于静止状态的单自由度体系在任意动力荷载作用下的动位移计算公式 00P01( )cossin( )sin()dtvy tyttFtm第十章 结构动力分析43地震作用g01( )( )sin()d ttyy t& &g11()0 m yyk y& & &11g( ) myk ymy t & & &P01( )( )sin(
21、)dty tFtmyg(t)为地基的动位移，y(t)为质点相对地基的动位移。第十章 结构动力分析4410-3 阻尼对振动的影响 Vibration with damping第十章 结构动力分析45实际系统 确定粘滞阻尼系数 ： c*粘滞阻尼理论 其他阻尼力也可等效为粘滞阻尼力来分析。c( ) F tcy &阻尼产生原因： 材料的内摩擦，连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等。阻尼力： 振动分析中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。一、阻尼阻尼是指体系原有能量被耗散，导致运动逐渐停止的物理现象。 ：阻尼力与质点速度成正比且与质点运动方向相反。第十章 结构动力分析4611( )0 mycy tk y&
22、 &I( )( ) F tmy t & &c( )( ) F tcy t &e11( )( )F tk y t 二、考虑阻尼时单自由度体系的自由振动第十章 结构动力分析47110 kcyyymm& &mk2并且220 yyy& &特征方程0222rr)1(22, 1r特征值一般解1212( )rtr ty tc ec emc2令mc2阻尼比阻尼比 11( )0 mycy tk y& &第十章 结构动力分析481、弱阻尼情形 ( 1 )22, 11ir令2112( )(cossin)ty teCtCt由初始条件确定C1和C2；设00(0) (0)yyyv&得00201yvCyC)sincos()
23、(000tyvtyetyt则方程(c)的通解为)1(22, 1r1212( )rtr ty tc ec e第十章 结构动力分析49( )sin)ty tAet(对弱阻尼自由振动讨论如下：（a）衰减性的周期运动000( )(cossin)tvyy teytt2T 周期振幅tAe衰减振动的周期衰减振动的振幅00020020arctanyvyyvyA21第十章 结构动力分析50振幅的对数递减量1lnnnAA2（b）阻尼比的确定TTttnneAeAeAAnn)(1且与1相比可以忽略由于21 /2确定阻尼比 可知振幅是按等比级数递减。( )sin)ty tAet(T2第十章 结构动力分析512、临界阻尼
24、情形（ =1）)1(22, 1r于是 r1,2= （重根）微分方程的解12( )()ty tec tc设00(0) (0)yyyv&得10020cvycy00( )(1)ty tytv te特征根特征方程0222rr =1时的阻尼称为临界阻尼。此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用ccr表示。2crccmc第十章 结构动力分析5200( )(1)ty tytv te曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。第十章 结构动力分析533、强阻尼情形 ( 1 )此时，r1 和 r2为两个负的实根，方程的解为)11()(2221tchCtshCetyt)1(22, 1r特征根特征方程0222rr该情况下的y(t)
25、曲线与临界阻尼时的情形相似，也无振动发生。第十章 结构动力分析54例 图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m，加一水平力FP=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T =1.5s 及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。解：01110.5lnln0.0355220.4AA34P09 8 10196 10 N/m0 005F.kA.1224.189s1.5T42 0 0355 196 1033220N s/m332 2N s/cm4 189.2222kkcm第十章 结构动力分析55三、考虑阻尼时
26、单自由度体系的受迫振动一般荷载FP作用下，利用杜哈梅积分得到 1 时，开始处于静止状态的单自由度体系动力位移 y(t)的表达式有阻尼的杜哈梅积分11P( )( ) mycy tk yF t& &I( )( ) F tmy t & &c( )( ) F tcy t &e11( )( )F tk y t P( )F t第十章 结构动力分析56四、单自由度体系在简谐荷载作用下的计算及讨论设简谐荷载的表达式为PP( )sinFF 代入杜哈梅积分，开始处于静止状态后来承受简谐荷载的结构位移为sin)sin(cos)sincos()(2121tBttBetBtBtyt式中第十章 结构动力分析57sin)s
27、in(cos)sincos()(2121tBttBetBtBtyt式中 在上式中，振动由两部分组成，一部分振动的频率与干扰力的频率一致，而另一部分的频率则与体系的自振频率一致。由于阻尼的作用，频率为的振动(称伴生自由振动)将很快衰减而消失，最后只剩下频率为的振动(称为纯受迫振动或稳态受迫振动)。第十章 结构动力分析58五、平稳阶段纯受迫振动的一些性质tBtBtysincos)(21)sin()(tAty写成式中A为有阻尼纯受迫振动的振幅，为位移与干扰力之间的相差为频率比为阻尼比PP( )sinF tFt第十章 结构动力分析59例 图示块式基础，机器与基础的质量为 ，地基竖向 刚度为 ，竖向振动
28、时的阻尼比为 ， 机器转速为N=800r/min，其偏心质量引起的离心力为FP=30kN，求竖向 振动时的振幅。kg101563m31314.510 kN/mK 2.0解：解：33300.022810m1314.510PstFyK)s/1 (79.9110156105 .131436mK)s/1 (78.83260N49.2)/2()/1 (/12222)mm(0568.0styA第十章 结构动力分析60222112 增大 将使 减小，结构的反应减小。 对动力系数 的讨论 动力系数 取决于、 / （频率比）。（1）对 的影响第十章 结构动力分析61(a) 当 时，1 表明当体系振动很慢时，可近
29、似地将简谐荷载作为静力荷载FP来计算。(b) 当 时，0表明质量m接近于不动或只作极微小的振动。(c) 0.751.25 的范围称共振区(d) 的最大值 222112 此范围外，可按无阻尼计算。（2）对 的影响有阻尼时的最大值并不在=1处，而在 处。由于阻尼很小，可近似认为在=1处，1/2。221第十章 结构动力分析62 stcosy tyt I mtyFt & & 1e1ktFyt 共振时， 1， /2（b）共振时惯性力与弹性力平衡，与无阻尼简谐受迫振动时 相同。2stcosmyt 2stcosmyt22arctan1位移与干扰力的相位差 （a）只要阻尼存在，位移总是滞后于干扰力。)sin(
30、)(tAtyPP( )sinF tFt（3）受迫振动平稳阶段的性质第十章 结构动力分析63共振时，干扰力与阻尼力相互平衡，运动呈稳态；这与无阻尼受迫振动中内力、位移无限增大的现象完全不同。122cm ， ， ccy tF t &注意到共振时 （c）共振时干扰力与阻尼力平衡。stsin122ymt st2sinmyt 11st=sinytkPPs(in )=tFF t 第十章 结构动力分析6410-4 两个自由度体系的自由振动(柔度法) Free vibration of two degree of freedom system (flexibility method)第十章 结构动力分析65一
31、、概述第十章 结构动力分析66 二、列位移方程-柔度法111112212( )( )( ) y tm y tm y t & & &动位移从静平衡位置量取。在振动的任一瞬时，每个质点的位移都是由两个质点惯性力共同产生的。211212222( )( )( ) y tm y tm y t & & &设体系的运动为简谐振动，则质点m1、m2的位移可以表示为1122( )sin()( )sin()y tAtytAt （a）第十章 结构动力分析67三、频率方程和振型A1 、A2分别是质点m1 、m2 的位移幅值， 为体系的自振频率。 1111212221211222221()01()0mAmAmAmA11
32、1212212122221()01()mmDmm频率方程或特征方程 若A1、A2有非零解21令221 1122212112212()()0mmm m 221 11222121122121 112221()4()22mmm mmm (b)221 11222121122121 112222()4()22mmm mmm (c)第十章 结构动力分析68121211, 1称为第一频率或基本频率， 2称为第二频率。121 11(1)22111 111(1)12122121mAmAmm212211122)2(1)2(21mmAA(1)111(1)221( )sin()( )sin()y tAty tAt(2
33、)112(2)222( )sin()( )sin()y tAty tAt振动过程中两质点的位移比恒为常数，体系的变形形式不变，这种振动形式称为主振型或振型。(1)221(1)11( )( )y tAy tA(2)222(2)11( )( )y tAy tA第十章 结构动力分析6921212111112122221111112222212()220mmmm mmmmm21212211122122221111112222212()220mmmm mmmmm根据体系振动形式在计算简图上描绘出的曲线称为振型图。绘制振型图时需要特别注意各质点所在处位移之比（振型）。第十章 结构动力分析70四、柔度法步骤
34、1、111112212( )( )( ) y tm y tm yt & & &211212222( )( )( ) ytm y tm yt & & &2、111212212122221()01()mmDmm3、11221, 1 221 11222121122121 112221()4()22mmm mmm 221 11222121122121 112222()4()22mmm mmm 4、(1)(1)2111A第一振型第一振型(2)(2)2211A第二振型第二振型111(1)2211(1)12121mAAm212211122)2(1)2(21mmAA第十章 结构动力分析71 例 试列出图示体系
35、的运动方程并确定其频率、振型、振型图，其中 m1=m2=m。 解： （1）列运动方程 111112212( )( )( ) y tm y tm y t & & &211212222( )( )( ) y tm y tm y t & & &利用图乘法求出柔度系数311224243lEI312217486lEI第十章 结构动力分析（2）频率方程和频率 7(8)7(8)D011521324861EIml令 331123321247( )( )( )243486 74( )( )( )486243l ml my ty tytEIEIl ml myty tytEIEI & & & & &(a)11121
36、2212122221()01()mmDmm33311692. 515486486mlEImlEImlEI33322045.22486486mlEImlEImlEI第十章 结构动力分析73（3）求主振型第一振型两质点的位移始终保持为同向且相等，振型正对称。(1)1111 1 11(1)2211(1)12121=1mAAm第一振型图（正对称）第二振型图（反对称） 第二振型(2)21111 11(2)2222(2)12121= 1mAAm两质点的位移始终保持为反向且相等，振型反对称。 如果结构本身和质量分布是对称的，则振型不是正对称便是反对称的。第十章 结构动力分析74正对称振型半结构 反对称振型半
37、结构 111111 m求 ， 得112111 m 求 ， 得(1)11 (2)11第十章 结构动力分析75五、一般多自由度体系的自由振动（柔度法）柔度矩阵质量矩阵 0Y M Y& &位移列向量加速度列向量由位移互等可知，ik ki， 为对称方阵，M为对角矩阵。sintYA12TinAAAAA0MI A其解为n个特解的线性组合。设其特解为 20A 代入方程 21振幅列向量第十章 结构动力分析760DMIA有非零解，系数行列式为零 可求得n个实根1 n值及1 n 值，最小的是第一频率，其余的i则依次类推。 121210nnnnnaaa sinkkkktYA 1sinnkkkktYA对应于每一k值，
38、都有一组特解 线性微分方程的通解为 式中共有2n个积分常数，它们可由Y0及V0的初始条件确定。第十章 结构动力分析77 1122sinsinsinsinkkkkkkkkkkiikkkknnkkyAtyAtyAtyAt将一组特解写成展开式 可知：（1）各个质点均按同一频率k作同步简谐振动；（2）各质点位移比值与时间无关。在振动的过程中各质点位移比值保持不变，是某一固定形式，称为主振型。 sinkkkktYA第十章 结构动力分析78 0kkMI 0kkA 121211TTkkkkkkkkkininkAAAAA 0I Ak kkNI令 0kN由于则方程组 只有n1个是独立的。取 11kA 称为规准化
39、振型向量。 k 11k其中第十章 结构动力分析79 1kkkAA 0kkN 11121221222121000kkknkkkknkkkknnnnnNNNNNNNNN 将代入 0kkNA得到将矩阵分块，并用下列符号表示： 111000100000kkkkkkNNNN（1）（2） 111000100100kkkkkN NN得到 100001kkk NN TT01kk由方程（2）得 如所求 正确，其满足（1）式 0k第十章 结构动力分析80333111221228464 37575375lllEIEIEI205 205mlmlM例 求图示结构的频率及振型。3344433448421680258375
40、7551875375=25161875464812805753753751875llmlmlmlmlEIEIEIEIEIllmlmlmlEIEIEIEI M第十章 结构动力分析81444187525880187518755168EImlmlDEIEImlMI418758EIml250516令1297417.602, 9740.39844443128817.6020.075, 0.3981.698 1018751875mlmlmlmlEIEIEIEI124412113.651, 24.268EIEImlml第十章 结构动力分析82 411110000148148.5153.168375EImlm
41、lEI NN44( )441681875375=-81283751875kkkkmlmlEIEImlmlEIEINMI第一振型 410.075 mlEI 11004148.515EIml N T113.168第一振型图第十章 结构动力分析83 41222000014815.0220.320375EImlmlEI NN432 1.698 10mlEI第二振型 1200415.022EImlN 210.320T第二振型图 第十章 结构动力分析8410-5 两个自由度体系的自由振动（刚度法） Free vibration of two degree of freedom system (stiffn
42、ess method)第十章 结构动力分析85111111222221122212( )( )( )0 ( )( )( )0m y tk y tk y tm y tk y tky tRR& & &两自由度体系自由振动微分方程一、动力平衡方程-刚度法第十章 结构动力分析86二、频率方程和振型2111122212220kmkkkm解上述方程即可得到结构的频率1 、 2 。11111122222112220 0m yk yk ym yk yk y& & &设体系的运动为简谐振动，则质点m1、m2的位移可以表示为1122( )sin()( )sin()y tAty tAt （a）式中，A1 、A2分别
43、是质点m1 、m2 的位移幅值， 为体系的自振频率。 21211222112222111222111242121mmkkkkmkmkmkmk12211111122221122122()0()0km Ak Ak AkmA第十章 结构动力分析87结构的振型由下列代数方程确定(1)2211111(1)112AkmAk如令 ，则可得1)1(1A(2)2211212(2)112AkmAk如令 ，则可得(2)11A(1)(1)2111A第一振型(2)(2)2211A第二振型211111122221122122()0()0km Ak Ak AkmA第十章 结构动力分析88三、刚度法步骤 1、11111122
44、222112220 0m yk yk ym yk yk y& & &2、2111122212220kmkkkm4、(1)(1)2111A第一振型(2)(2)2211A第二振型(1)2211111(1)112AkmAk(2)2211212(2)112AkmAk3、12 、221112221221()()0kmkmk k21211222112222111222111242121mmkkkkmkmkmkmk第十章 结构动力分析89例 图示两层刚架，横梁为无限刚性。设质量集中在横梁, k1、 k2为层间刚度。列振动方程，求自振频率和振型。111111222221122200 m yk yk ym yk
45、 yk y& & &解：(1) 振动方程222212212111kkkkkkkk第十章 结构动力分析90(2) 自振频率和振型21211222112222111222111242121mmkkkkmkmkmkmk若kkkmmm2121则：mkmkmk618. 1618. 052123212第一振型 12(1)2111111211A1.1681.618Akmk 22(2)2112121211A0.618 0.618Akmk 第二振型 第十章 结构动力分析91第一振型图第二振型图(1)11.618(2)10.618第十章 结构动力分析92 其中1K四、一般多自由度体系的自由振动（刚度法）质量矩阵刚
46、度矩阵加速度列向量位移列向量由反力互等可知，kik kki， K为对称方阵，M为对角矩阵。0MY +YsintY = A20KM AMY + KY = 020DKMA有非零解，系数行列式为零 20kkKM 求得 1 n ，将k 代入（1）式第十章 结构动力分析93 0kkL A 2kkLKM令 20kkKM 求得 1 n ，将k 代入（1）式 1kkkAA 0kkL 将代入得 0kkL A 11121221222121000kkknkkkknkkkknnnnnLLLLLLLLL 将矩阵分块，并用子块表示 111000100000kkkkkkLL LL （1）（2） 111000100100kk
47、kkkL LLL得第十章 结构动力分析94 100001kkk LL TT01kk由方程（2）得 如所求 正确，其满足（1）式。 0k 111000100000kkkkkkLL LL （1）（2）五、振型的正交性 ()0 ()ijTijM ()0 ()ijTijK振型的第一正交条件，即振型关于质量矩阵的正交条件。振型的第二正交条件，即振型关于刚度矩阵的正交条件。任意两个不同的主振型之间，必满足下述正交条件。第十章 结构动力分析95五、运动方程的通解按其主振型所作的简谐振动，是在特定的初始条件下才能出现的一种运动形式，在数学上称为微分方程组的特解。双自由度体系自由振动方程有两个特解，其线性组合即
48、方程的通解。(1)1111(1)2211( )sin()( )sin()y tAty tAt(2)1122(2)2222( )sin()( )sin()y tAty tAt(1)(2)111112122(1)(2)212112222( )sin()sin()( )sin()sin()y tC AtC Aty tC AtC At同理，在一般情况下，n个自由度体系的自由振动是由n个具有不同频率的简谐振动叠加而成的，它不再是简谐运动。 四个独立的待定常数由四个初始条件确定：y1(0)、v1(0)、y2(0)、v2(0) ;四个独立的待定常数 ， ， ， 1C2C12( )1sinnkkkktY =A
49、第十章 结构动力分析9610-6 简谐荷载下两个自由度体系的受迫振动 Forced vibration of two degree of freedom system under harmonic load第十章 结构动力分析971111122121P2112122222Psin sinym ym ytym ym yt & & & & &PP1kiijjjF一、运动方程的建立（柔度法）第十章 结构动力分析98二、运动方程的求解 式（a）的解由两部分组成：一部分是对应齐次微分方程的一般解；另一部分是与干扰力相应的特解。齐次解对应于自由振动部分，它将很快衰减掉。111 1122121P211212
50、2222Psin sinym ym ytym ym yt& & & & &(a) 只考虑稳态振动部分，研究方程（a）的特解。011022( )sin( )siny tyty tyt(b)式中， 和 为质点1和2的动位移幅值。01y02y将式（b）代入式（a）中化简后得 00221112121P221212222120012P(1)0(1)0yymmmmyy (c)第十章 结构动力分析9920201 1112 1221P20201 2112 2222P(1)0(1)0mymymymy (c)解此方程即可求得各质点的动位移幅值，幅值代入式（b）即可求得各质点的动位移，020I111I111020I