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1、课程主讲人：（本科）第（本科）第1212章章 代数系统代数系统pptppt课件课件电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程离离 散散 数数 学学20222022年年5 5月月1616日星期一日星期一电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组3电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16第五篇第五篇 代数系统代数系统由于数学和其他科学的发展，人们需要对若干不由于数学和其他科学的发展，人们需要对若干不是数的事物，用类似普通计算的方法进
2、行相似的是数的事物，用类似普通计算的方法进行相似的计算。如矩阵、向量等。计算。如矩阵、向量等。研究代数系统的学科称为研究代数系统的学科称为“近世代数近世代数”或或“抽象抽象代数代数”。 4电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16第五篇第五篇 代数系统内容代数系统内容集合的概念集合的概念1集合的表示方法集合的表示方法2环与域环与域3格与布尔代数格与布尔代数4代数系统与性质代数系统与性质1半群与群半群与群25电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语
3、示范课程2022-5-162022-5-16第十二章第十二章 代数系统代数系统集合的概念集合的概念1同态与同构同态与同构3代数系统与子代数代数系统与子代数1运算性质与特殊元运算性质与特殊元26电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-1612.1 12.1 本章学习要求本章学习要求重点掌握重点掌握一般掌握一般掌握了解了解11 1 代数系统与代数系统与子代数子代数2 2 二元运算律二元运算律3 3 特殊元特殊元4 4 同态与同构同态与同构 3同态与同构的同态与同构的应用应用2同类型代数系同类型代数系统统7
4、电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16代数运算代数运算定义定义 设设A, B, CA, B, C是非空集合，从是非空集合，从A AB B到到C C的一个映的一个映射（或函数）射（或函数） ：A ABCBC称为一个称为一个A AB B到到C C的二的二元代数运算，简称元代数运算，简称二元运算二元运算。称自然数集合称自然数集合N N上的加法上的加法“+ +”为运算，这是因为给为运算，这是因为给定两个自然数定两个自然数a, b, a, b, 由加法由加法“+ +”，可以得到唯一的，可以得到唯一的自然数
5、自然数c = a + bc = a + b。 加法加法“+ +” 是映射吗？是映射吗？ N N上的加法运算上的加法运算“+ +”本质上是一个本质上是一个N NNNNN的映射的映射 8电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16代数运算代数运算 一个二元运算就是一个特殊的映射一个二元运算就是一个特殊的映射 ，该映射，该映射能够对能够对a a A A和和b b B B进行运算进行运算 ，得到，得到C C中的一中的一个元个元c , c , 即即 (a, b)(a, b)c c 。中缀方法中缀方法表示为表示为
6、 a a b bc c 9电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16例例判别下面的映射或表是否是二元运算：判别下面的映射或表是否是二元运算：（1 1）设）设A = 0, 1, B = 1, 2, C = A = 0, 1, B = 1, 2, C = 奇奇, , 偶偶 ，定义映射定义映射 : A: ABCBC，其中，其中 (0, 1) = (0, 1) = 奇，奇， (0, 2) = (0, 2) = 偶，偶， (1, 1) = (1, 1) = 偶，偶， (1, 2) = (1, 2) = 奇。奇
7、。分析分析 “ ”是一个是一个A AB B到到C C的映射，因此，按定义，的映射，因此，按定义，则则“ ”是一个是一个A AB B到到C C的运算。的运算。10电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16例（续）例（续）（2 2）一架自动售货机，能）一架自动售货机，能接受五角和一元硬币，接受五角和一元硬币，而所对应的商品是纯净而所对应的商品是纯净水、矿泉水、橘子水，水、矿泉水、橘子水，当人们投入上述硬币中当人们投入上述硬币中的任何两枚时，自动售的任何两枚时，自动售货机供应出相应的商品货机供应出相应的商
8、品( (右表右表) )。表表 五角五角一元一元五角五角纯净水纯净水矿泉水矿泉水一元一元矿泉水矿泉水橘子水橘子水11电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16例（续）例（续）分析分析 设集合设集合A = A = 五角，一元五角，一元 ，集合，集合C = C = 纯净纯净水，矿泉水，橘子水水，矿泉水，橘子水 ，则表实质上是，则表实质上是A AACAC的的映射，也就是映射，也就是A AA A到到C C的一个运算的一个运算“ ”。解解 (1)(1)、(2)(2)中定义的映射是二元运算。中定义的映射是二元运算
9、。12电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16运算表运算表运算表运算表b1b2bma1a1 b1a1 b2a1 bma2a2 b1a2 b2a2 bmanan b1an b2an bm当集合当集合A A和和B B有限时，一个有限时，一个A AB B到到C C的代数运算，可的代数运算，可以借用一个表，称为以借用一个表，称为运算表（乘法表运算表（乘法表 ）来说明。来说明。设设“ ”是是A AACAC的运算，的运算，A = aA = a1 1, a, a2 2, , , a , an n, , B =
10、bB = b1 1, b, b2 2, , , b , bm m,则运算则运算“ ”可用下表说明。可用下表说明。13电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16定义定义设设 A A1 1, A, A2 2, , , A, An n， A A 是 非 空 集 合 ，是 非 空 集 合 ，A A1 1A A2 2A An n到到A A的一个映射的一个映射( (或函数或函数) ) ：A A1 1A A2 2A An nAA称为一个称为一个A A1 1A A2 2A An n到到A A的的n n元代数运算元代
11、数运算，简称，简称n n元运算元运算。当。当n = 1n = 1时，称为时，称为一元运算一元运算。14电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-161 1元代数运算表元代数运算表当元素有限时，一元运算也可当元素有限时，一元运算也可以用运算表来说明。以用运算表来说明。设设“ ”是是A A到到A A的一元运算，的一元运算，其中其中A = aA = a1 1, a, a2 2, , , a, an n ，则一元运算则一元运算“ ”可以用右表可以用右表说明。说明。1元运算表元运算表a (a)a1 (a1)a2
12、(a2)an (an)15电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16代数运算：封闭性代数运算：封闭性定义定义 如果如果“ ”是是A AA A到到A A的二元运算，则称运算的二元运算，则称运算“ ”对集合对集合A A是是封闭封闭的，或者称的，或者称“ ”是是A A上的二元上的二元运算运算。定义定义12.2.4 12.2.4 设设“ ”是一个是一个A A1 1A A2 2A An n到到A A的的n n元代数运算，如果元代数运算，如果A A1 1A A2 2A An nA A，则称代数运，则称代数运算算
13、“ ”对集合对集合A A是是封闭的封闭的，或者称是，或者称是A A上的上的n n元代数元代数运算运算。 16电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16说说 明明一般通常用大写的英文字母表示集合，用符号一般通常用大写的英文字母表示集合，用符号“+”+”、“-”-”、“* *”、“/ /” ”、“”、“”、“”、“”、“”、“”、“”、“” ”、“ ”、“+”+”、“ ”、“ ”等抽象的符等抽象的符号来表示一个抽象的运算。号来表示一个抽象的运算。17电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国
14、家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16定义定义12.2.5 12.2.5 设设A A是非空集合，是非空集合， 1 1, , 2 2, , , , m m分别是定义在分别是定义在A A上上k k1 1, , k k2 2, , k, km m元封闭运算，元封闭运算，k ki i是正整数，是正整数，i = 1, 2, i = 1, 2, , , m m。称集合。称集合A A和和 1 1, , 2 2, , , , m m所组成的系统称为所组成的系统称为代数代数系统系统，简称，简称代数代数，记为，记为A, 。当当A A是有限集合时，该代数系统称为是有限集
15、合时，该代数系统称为有限代数系统有限代数系统，否则称为否则称为无限代数系统无限代数系统注意：注意：判断集合判断集合A A和其上的代数运算是否是代数和其上的代数运算是否是代数系统，关键是判断两点：一是集合系统，关键是判断两点：一是集合A A非空非空，二是，二是这些运算关于这些运算关于A A是否满足是否满足封闭性封闭性。 18电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16例子例子(1) (1) R R上的上的“+ +”、“”运算；运算； 解解 构成一个代数系统构成一个代数系统R R，+ +，；(2) p(2
16、) p（S S）上的）上的“”、“”、“” ”运算；运算； 解解 构成代数系统构成代数系统,称称集合代数集合代数；(3) (3) 含有含有n n个命题变元的命题集合个命题变元的命题集合A A与与A A上的上的“”、“”、“”运算；运算； 解解 构成代数系统构成代数系统A A，称之为，称之为命命题代数题代数。19电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16同类型代数系统同类型代数系统定义定义 设设A, 和和B, 是两个代数系统，若是两个代数系统，若“o oi i”和和“ i i”都是都是k ki i元元
17、运算，运算，i = 1, 2, i = 1, 2, , m, m，则称这，则称这两个代数同类型两个代数同类型。如如：代数系统：代数系统Z Z，+ +, ,Z Z，, ,R R，+ +, ,p p（S S），），, ,p p（S S），），都是同类型的代数都是同类型的代数系统。系统。代数系统代数系统I I，+ +，、R R，+ +，、 p p（S S），），都是同类型的代数系统。都是同类型的代数系统。20电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16子代数子代数定义定义 设设A, 是代数系统，如是代数系统
18、，如果：果： （1 1）B B A A并且并且B B ； （2 2） 1 1, , 2 2, , , , m m都是都是B B上的封闭运算。上的封闭运算。则则B, 也是一个代数系统，称也是一个代数系统，称之为之为A, 的的子代数系统子代数系统，简称，简称子代数子代数。又若。又若B B A A，则称，则称B, 是是A, 的的真子代数真子代数。21电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16子代数子代数子代数是抽象代数学中一个非常重要的概念，通过子代数是抽象代数学中一个非常重要的概念，通过研究子代数的结构
19、和性质，可以得到原代数系统的研究子代数的结构和性质，可以得到原代数系统的某些重要性质。某些重要性质。如在群论中，通过研究子群可得群的某些性质。如在群论中，通过研究子群可得群的某些性质。注意：注意：在后面章节中，将会学习半群、群、格、在后面章节中，将会学习半群、群、格、布尔代数等典型的代数系统。将子代数的概念应布尔代数等典型的代数系统。将子代数的概念应用到这些典型的代数系统，就会得到子半群、子用到这些典型的代数系统，就会得到子半群、子群、子格、子布尔代数。因此，若没有比要，后群、子格、子布尔代数。因此，若没有比要，后面不再赘述某些典型代数系统中子代数的定义。面不再赘述某些典型代数系统中子代数的定
20、义。22电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16例例 在代数系统在代数系统中，令中，令Q = 5z | z Q = 5z | z Z Z，证明证明是是的子代数。的子代数。分析分析 根据定义，只需证明两点：根据定义，只需证明两点：（1 1）Q Q是非空子集；（是非空子集；（2 2） “+ +”对集合对集合Q Q封闭。封闭。显然，集合显然，集合Q Q非空。对任意的非空。对任意的5z5z1 1，5z5z2 2QQ，有，有5z5z1 1 + 5z + 5z2 2 = 5(z = 5(z1 1 + z +
21、z2 2)Q)Q，因此因此“+ +”对集合对集合Q Q封闭。封闭。 证明证明 略。略。23电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-1612.3.1 12.3.1 二元运算律二元运算律例例 设设“+ +”是定义在自然数集合是定义在自然数集合N N上的普通加法运上的普通加法运算，试回忆算，试回忆N N上的加法运算上的加法运算“+ +”满足哪些运算性质？满足哪些运算性质？分析分析 对对 a, b, cNa, b, cN，有，有(a + b) + c = a + (b + c)(a + b) + c = a
22、+ (b + c)，即，即结合律结合律成立；成立；a + b = b + aa + b = b + a，即，即交换律交换律成立；成立； x, yNx, yN，如果，如果a + x = b + ya + x = b + y，则，则x = yx = y， 即即消去律消去律成立；成立； 0N 0N，0 + 0 = 00 + 0 = 0，即，即0 0是幂等元，但其他自然数是幂等元，但其他自然数不是幂等元，即不满足不是幂等元，即不满足幂等律幂等律。24电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16结合律与交换律结
23、合律与交换律定义定义 设设A, 是二元代数系统，如果对任意的是二元代数系统，如果对任意的a, a, b, cAb, cA，都有，都有 (a(a*b) b) *c ca a* (b (b*c)c)则称则称“*”在在A A上是上是可结合的可结合的，或称满足，或称满足结合律结合律。定义定义 设设A, 是二元代数系统，如果对任意的是二元代数系统，如果对任意的a, a, bAbA，都有，都有a a * b bb b * a a则称则称“ ”在在A A上是上是可交换可交换的，或称满足的，或称满足交换律。交换律。25电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双
24、语示范课程2022-5-162022-5-16消去律消去律定义定义 设设A, 是二元代数系统，元素是二元代数系统，元素aAaA， （1 1）对任意）对任意x, yAx, yA，都有，都有 如果如果a a x = a x = a y y，那么，那么x = yx = y，则称则称a a在在A A中关于中关于“ ”是是左可消去元左可消去元； （2 2）对任意）对任意x, yAx, yA，都有，都有 如果如果x x a = y a = y a a，那么，那么x = yx = y，则称则称a a在在A A中关于中关于“ ”是是右可消去元右可消去元；26电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组
25、国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16消去律（续）消去律（续）（3 3）如果）如果a a既是既是A A左可消去元又是右可消去元，则左可消去元又是右可消去元，则称称a a是是A A的的可消去元可消去元；（4 4）若）若A A中所有元素都是可消去元，则称中所有元素都是可消去元，则称“ ”在在A A上可消去，或称上可消去，或称“ ”满足满足消去律消去律。27电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16幂等律幂等律定义定义 设设A, 是二元代数系统，若元素是二元
26、代数系统，若元素aAaA，满，满足足 a a a = aa = a，则称则称a a是是A A中关于中关于“ ”的一个的一个幂等元幂等元，简称，简称a a为为幂等幂等元元。若。若A A中的每一个元素都是幂等元，则称中的每一个元素都是幂等元，则称“ ”在在A A中是中是幂等的幂等的，或称，或称“ ”满足满足幂等律幂等律。28电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16幂等律幂等律设设“ ”是集合是集合A A上的二元运算，上的二元运算，aAaA，则，则a a aAaA，a a a a aAaA，, ,由此，
27、可以归纳定义由此，可以归纳定义a a的正整数的正整数幂方幂方：a a1 1 = a = a，a a2 2 = a = a a a，a a3 3 = a = a2 2 a a，a an n = = a an n 1 1 a a，对任意的正整数对任意的正整数n n，m m，有以下等式：，有以下等式： a an n a am m = a = an+mn+m， （a an n）m m = a = anmnm。29电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16分配律分配律定义定义 ：设：设“ ”、“”是集合是集合
28、A A上的二元运算，上的二元运算，A, 是一个代数系统，是一个代数系统， 对对 a,b,ca,b,c A A ，有，有（1 1）a(ba(b* *c)=(ab)c)=(ab)* *(ac)(ac)，则称运算则称运算“” ”对对“* *”在在A A 上满足上满足左分配律左分配律( (或第一分或第一分配律配律) )；（2) (b2) (b* *c) a=(ba)c) a=(ba)* *(ca)(ca)，则称运算则称运算“” ”对对“* *”在在A A 上满足上满足右分配律右分配律( (或第二分或第二分配律配律) ) ；（3) 3) 如果如果“” ”对对“* *”既满足左分配律又满足右分配既满足左分
29、配律又满足右分配律，则称律，则称” ”对对“* *”在在A A 上满足上满足分配律分配律。30电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16吸收律吸收律定义定义 设设“ ”、“”是集合是集合A A上的二元运算，上的二元运算，A, 是一个代数系统，如果对任意的是一个代数系统，如果对任意的x, x, yAyA，都有，都有 x x (x (x y) = x y) = x， x x (x (x y) = x y) = x，则称则称“ ”和和“”满足满足吸收律吸收律31电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数
30、学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-1612.3.2 12.3.2 代数系统的性质代数系统的性质- -特殊元特殊元在代数系统中，有些元素有特殊性质，叫在代数系统中，有些元素有特殊性质，叫特殊元特殊元 。例如在代数系统例如在代数系统N ，其中，其中N N是自然数，是自然数，“”是是普通加法，普通加法，0 N 0 N ，并且对任意的自然数，并且对任意的自然数x N x N ，有，有 x x0 0 x x0 0 x x 32电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-1620
31、22-5-16幺元（单位元）幺元（单位元）定义定义 设设A, 是二元代数系统，是二元代数系统，（1 1）若存在）若存在eAeA，对任意，对任意aAaA，都有，都有 a a e = e e = e a = a a = a，则称则称e e是是A A中关于运算中关于运算“ ”的一个的一个幺元（单位元）幺元（单位元）（2 2）若存在）若存在e el lAA，使得对任意，使得对任意aAaA，都有，都有 e el l a = a a = a，则称则称e el l是是A A中关于运算中关于运算“ ”的一个的一个左幺元（左单位元）左幺元（左单位元）（3 3）若存在）若存在e er rAA，使得对任意，使得对任
32、意aAaA，都有，都有 a a e er r = a = a，称称e er r是是A A中关于运算中关于运算“ ”的一个的一个右幺元（右单位元）右幺元（右单位元）33电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16例例下列代数系统是否存在幺元下列代数系统是否存在幺元( (左幺元或右幺元左幺元或右幺元) )，如，如果存在计算之。果存在计算之。（1 1），R R是实数集，是实数集，“+ +”是加法运算；是加法运算；（2 2）R, +，R R+ +是正实数集，是正实数集，“+ +”是加法运算；是加法运算；（3
33、3）P(A ，其中，其中P (AP (AA)A)表示集合表示集合A A上的上的所有二元关系集合，运算所有二元关系集合，运算“ ”表示关系的复合；表示关系的复合；（4 4） A, ，其中，其中A = A = a, b, ca, b, c，二元，二元运算运算“ ”, ,“ ”, ,“ ”如表、表和表分别所示。如表、表和表分别所示。是一样的是一样的。34电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16例（续）例（续）分析分析 可以直接通过定义计算幺元，即首先假设幺可以直接通过定义计算幺元，即首先假设幺元存在，然
34、后计算之，最后验证所计算的元是否是元存在，然后计算之，最后验证所计算的元是否是幺元。幺元。35电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16例（续）例（续）（1 1）设）设x x是是的幺元，则由定义，对任意的的幺元，则由定义，对任意的aRaR，有，有 x + a = a x + a = a，让让a = 1a = 1，有，有x + 1 = 1x + 1 = 1，则，则x = 0 x = 0，xRxR。这说明，如果这说明，如果的幺元存在，那么幺元必是的幺元存在，那么幺元必是0 0。对任意的对任意的aRaR，
35、0 + a = a + 0 = a0 + a = a + 0 = a，即验证可得，即验证可得，0 0是是的幺元。的幺元。36电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16例（续）例（续）（2 2）设）设x x是是R, +的幺元，对任意的的幺元，对任意的aRaR+ +，有，有 x + a = a x + a = a，让让a = 1a = 1，有，有x + 1 = 1x + 1 = 1，则，则x = 0 x = 0，但，但0 0 R R+ +。这说明这说明R, + 不存在幺元。同理，左、右幺元也不存在幺元。
36、同理，左、右幺元也不存在。不存在。37电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16例（续）例（续）（3 3）设）设X X是是 P 的幺元，对任意的的幺元，对任意的YPYP(A(AA)A)，有，有X X Y = YY = Y，让让Y = IY = IA A，则，则X X I IA A = I = IA A，又，又X X I IA A = = X X，因此，因此X X = I = IA A。这说明，如果这说明，如果P 的幺元存在，则幺元的幺元存在，则幺元必是必是I IA A。对任意的对任意的YPYP(A(
37、AA)A)，I IA A Y Y = Y = Y I IA A = Y = Y，即验证可得即验证可得I IA A是是 P 的幺元。的幺元。38电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16例（续）例（续）（4 4）由于给出了运算表，因此可以根据运算表直）由于给出了运算表，因此可以根据运算表直接观察可得。接观察可得。解解（1 1）中的幺元是中的幺元是0 0；（2 2）R, +中无幺元；中无幺元；（3 3） P(A 中的幺元是恒等关系中的幺元是恒等关系I IA A；（4 4）A, 中关于运算中关于运算“ ”
38、有左幺元有左幺元a a和和b b，但无右幺元，因此无幺元，关于运算，但无右幺元，因此无幺元，关于运算“ ”无无左幺元，但有右幺元左幺元，但有右幺元b b和和c c，因此无幺元；关于运算，因此无幺元；关于运算“ ”有幺元有幺元a a。39电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16结论结论（1 1）计算幺元可根据定义直接进行，即）计算幺元可根据定义直接进行，即首先首先假设假设幺元存在，并根据定义计算，幺元存在，并根据定义计算，然后然后进行验证。进行验证。（2 2）可以直接从运算表中看出运算是否有左幺元）
39、可以直接从运算表中看出运算是否有左幺元或右幺元。具体方法是：或右幺元。具体方法是： 如果元素如果元素x x所在的行上的元素与行表头完全相所在的行上的元素与行表头完全相同，则同，则x x是一个左幺元；是一个左幺元； 如果元素如果元素x x所在的列上的元素与列表头完全相所在的列上的元素与列表头完全相同，则同，则x x是一个右幺元；是一个右幺元； 同时满足和。同时满足和。40电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16零元零元定义定义 设设A, 是一个二元代数系统，是一个二元代数系统，（1 1）若存在）若存
40、在 A A，使得对任意，使得对任意aAaA，都有，都有a a = = a = a = ，则称则称是是A A中关于运算中关于运算“ ”的一个的一个零元零元；（2 2）若存在）若存在 l lAA，使得对任意，使得对任意aAaA，都有，都有 l l a = a = l l，则称则称 l l是是A A中关于运算中关于运算“ ”的一个的一个左零元左零元；（3 3）若存在）若存在 r rAA，使得对任意，使得对任意aAaA，都有，都有a a r r = = r r，则称则称 r r是是A A中关于运算中关于运算“ ”的一个的一个右零元右零元。41电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品
41、课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16逆元逆元定义定义 设设A, 是二元代数系统，是二元代数系统，e e是幺元，是幺元，aAaA，若，若存在一个元素存在一个元素bAbA，（1 1）使得：）使得： a a b = b b = b a = e a = e，则称则称a a可逆，并称可逆，并称b b是是a a的一个的一个逆元逆元，记为，记为a a 1 1；（2 2）使得：）使得： b b a = ea = e，则称则称a a左可逆，并称左可逆，并称b b是是a a的一个的一个左逆元左逆元，记为，记为a al l 1 1；（3 3）使得：）使得： a a b =
42、e b = e，则称则称a a右可逆，并称右可逆，并称b b是是a a的一个的一个右逆元右逆元，记为，记为a ar r 1 1。42电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16定理定理设设A, 是一个代数系统，是一个代数系统，“ ” 满足结合律，满足结合律，aAaA，a a可逆，则可逆，则a a是可消去元。是可消去元。证明证明 记幺元为记幺元为e e，a a的逆元为的逆元为a a 1 1，设，设x x、y y是是A A中的任中的任意元素，假设意元素，假设a a x = a x = a y y。由由a
43、a x = a x = a y y，有，有a a 1 1 (a (a x) = a x) = a 1 1 (a (a y) y)，又结合律成立，所以有又结合律成立，所以有(a(a 1 1 a) a) x = (a x = (a 1 1 a) a) y y，即即e e x = e x = e y y，可得，可得x = yx = y43电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16定理定理设设A, 是二元代数系统，是二元代数系统，（1 1）如果）如果A, 存在幺元，则幺元唯一；存在幺元，则幺元唯一；（2 2
44、）如果）如果A, 存在幺元，则该幺元一定是左、存在幺元，则该幺元一定是左、右幺元；右幺元；（3 3）如果）如果A, 存在左、右幺元，则该左、右幺存在左、右幺元，则该左、右幺元相等，且是幺元。元相等，且是幺元。44电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16定理（续）定理（续）证明证明（1 1）（）（反证法反证法）设）设A ,A ,* *存在两个以上的存在两个以上的幺元，不妨假设幺元，不妨假设e e1 1，e e2 2是是A ,A ,* *的两个幺元。的两个幺元。下面计算下面计算 e e2 2 * *e
45、 e1 1。根据根据e e1 1 是幺元，有：是幺元，有： e e2 2* *e e1 1=e=e2 2同理，根据同理，根据e e2 2是幺元，有：是幺元，有： e e2 2* *e e1 1=e=e1 1 由此可知，由此可知， e e1 1=e=e2 2即即A ,A ,* *的幺元是唯一的。的幺元是唯一的。45电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16定理（续）定理（续）（2 2）显然成立。）显然成立。（3 3）若）若e el l、e er r是是A ,A ,* *的左、右幺元，证明思路的左、右幺
46、元，证明思路类似（类似（1 1），下面计算），下面计算e el l* *e er r。根据根据e el l左幺元，有左幺元，有e el l* *e er r=e=er r根据根据e er r右幺元，有右幺元，有e el l* *e er r=e=el l由、可知，由、可知， e el l=e=er r即左、右幺元相等；显然可得即左、右幺元相等；显然可得 e=ee=el l。46电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16定理定理12.3.3 12.3.3 设设 是二元代数系统，是二元代数系统，（1 1
47、）如果）如果A, 存在零元，则零元唯一；存在零元，则零元唯一；（2 2）如果）如果A, 存在零元，则该零元一定是左、存在零元，则该零元一定是左、右零元；右零元；（3 3）如果）如果A, 存在左、右零元，则该左、右零存在左、右零元，则该左、右零元相等，且是零元。元相等，且是零元。分析分析 该定理的证明方法与定理证明相似。该定理的证明方法与定理证明相似。证明证明 略。略。47电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16定理定理12.3.4 12.3.4 设设A, 是二元代数系统，是二元代数系统，“ ”满足
48、满足结合律结合律且设且设e e是幺元，则对任意的是幺元，则对任意的aAaA，（1 1）如果）如果a a存在逆元，则逆元唯一；存在逆元，则逆元唯一；（2 2）如果）如果a a存在逆元，则该逆元一定是左、右逆元；存在逆元，则该逆元一定是左、右逆元；（3 3）如果）如果a a存在左、右逆元，则该左、右逆元相等，存在左、右逆元，则该左、右逆元相等，且是逆元。且是逆元。分析分析 该定理的证明方法与定理证明相似该定理的证明方法与定理证明相似 48电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16定理（续）定理（续）证明
49、证明 （1 1）（反证法）设）（反证法）设aAaA存在逆元，且不唯一，存在逆元，且不唯一，不妨设不妨设a a1 1，a a2 2都是都是a a的逆元，则有的逆元，则有a a a a1 1 = a = a1 1 a = e a = e，a a a a2 2 = a = a2 2 a = e a = e，由于由于“ ”满足结合律，所以有满足结合律，所以有a a1 1 = a = a1 1 e = a e = a1 1 (a (a a a2 2) = (a) = (a1 1 a) a) a a2 2 = = e e a a2 2 = a = a2 2，即，即a a1 1 = a = a2 2即即a
50、a的逆元唯一；的逆元唯一；49电子科技大学离散数学课程组电子科技大学离散数学课程组国家精品课程国家精品课程 双语示范课程双语示范课程2022-5-162022-5-16定理（续）定理（续）（2 2）由逆元、左逆元和右逆元的定义直接可得；）由逆元、左逆元和右逆元的定义直接可得；（3 3）设）设aAaA的左、右逆元分别是的左、右逆元分别是a al l 1 1和和a ar r 1 1，则有，则有a al l 1 1 a = e a = e，a a a ar r 1 1 = e = e，“ ”满足结合律，所以有满足结合律，所以有 a ar r 1 1 = e = e a ar r 1 1 = (a =