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1、第第1212章代数系统章代数系统本讲稿第一页，共七十八页2022/9/212022/9/21第五篇第五篇 代数系统代数系统由于数学和其他科学的发展，人们需要对若干不由于数学和其他科学的发展，人们需要对若干不是数的事物，用类似普通计算的方法进行相似的是数的事物，用类似普通计算的方法进行相似的计算。如矩阵、向量等。计算。如矩阵、向量等。研究代数系统的学科称为研究代数系统的学科称为“近世代数近世代数”或或“抽象抽象代数代数”。本讲稿第二页，共七十八页2022/9/212022/9/21第五篇第五篇 代数系统内容代数系统内容集合的概念集合的概念1集合的表示方法集合的表示方法2环与域环与域3格与布尔代数
2、格与布尔代数4代数系统与性质代数系统与性质1半群与群半群与群2本讲稿第三页，共七十八页2022/9/212022/9/21第十二章第十二章 代数系统代数系统集合的概念集合的概念1同态与同构同态与同构3代数系统与子代数代数系统与子代数1运算性质与特殊元运算性质与特殊元2本讲稿第四页，共七十八页2022/9/212022/9/2112.1 12.1 本章学习要求本章学习要求重点掌握重点掌握一般掌握一般掌握了解了解11 1 代数系统与代数系统与子代数子代数2 2 二元运算律二元运算律3 3 特殊元特殊元4 4 同态与同构同态与同构 3同态与同构的同态与同构的应用应用2同类型代数系同类型代数系统统本讲
3、稿第五页，共七十八页2022/9/212022/9/21代数运算代数运算定义定义12.2.112.2.1 设设A,B,CA,B,C是非空集合，从是非空集合，从ABAB到到C C的一个的一个映射（或函数）映射（或函数）：ABCABC称为一个称为一个ABAB到到C C的二元代的二元代数运算，简称数运算，简称二元运算二元运算。称自然数集合称自然数集合N N上的加法上的加法“+”为运算，这是因为给定为运算，这是因为给定两个自然数两个自然数a,b,a,b,由加法由加法“+”，可以得到唯一的自然数，可以得到唯一的自然数c=a+bc=a+b。加法加法“+”是映射吗？是映射吗？N N上的加法运算上的加法运算“
4、+”本质上是一个本质上是一个NNNNNN的映射的映射 本讲稿第六页，共七十八页2022/9/212022/9/21代数运算代数运算 一个二元运算就是一个特殊的映射一个二元运算就是一个特殊的映射 ，该映射，该映射能够对能够对a a A A和和b b B B进行运算进行运算 ，得到，得到C C中的中的一个元一个元c,c,即即 (a,b)=c(a,b)=c 。中缀方法中缀方法表示为表示为 a a b bc c 本讲稿第七页，共七十八页2022/9/212022/9/21例例12.2.112.2.1判别下面的映射或表是否是二元运算：判别下面的映射或表是否是二元运算：（1 1）设）设A=0,1,B=1,
5、2,C=A=0,1,B=1,2,C=奇奇,偶偶，定义映射，定义映射:ABC:ABC，其中，其中 (0,1)=(0,1)=奇，奇，(0,2)=(0,2)=偶，偶，(1,1)=(1,1)=偶，偶，(1,2)=(1,2)=奇奇。分析分析 “”是一个是一个ABAB到到C C的映射，因此，按定义的映射，因此，按定义12.2.112.2.1，则，则“”是一个是一个ABAB到到C C的运算。的运算。本讲稿第八页，共七十八页2022/9/212022/9/21例例12.2.112.2.1（续）（续）（2 2）一架自动售货机，能）一架自动售货机，能接受五角和一元硬币，接受五角和一元硬币，而所对应的商品是纯净而所
6、对应的商品是纯净水、矿泉水、橘子水，水、矿泉水、橘子水，当人们投入上述硬币中当人们投入上述硬币中的任何两枚时，自动售的任何两枚时，自动售货机供应出相应的商品货机供应出相应的商品(右表右表)。表五角一元五角纯净水矿泉水一元矿泉水橘子水本讲稿第九页，共七十八页2022/9/212022/9/21例例12.2.112.2.1（续）（续）分析分析 设集合设集合A=A=五角，一元五角，一元，集合，集合C=C=纯净水，纯净水，矿泉水，橘子水矿泉水，橘子水，则表，则表12.2.112.2.1实质上是实质上是AACAAC的映射，的映射，也就是也就是AAAA到到C C的一个运算的一个运算“”。解解 (1)(1)
7、、(2)(2)中定义的映射是二元运算。中定义的映射是二元运算。本讲稿第十页，共七十八页2022/9/212022/9/21运算表运算表运算表b1b2bma1a1 b1a1 b2a1 bma2a2 b1a2 b2a2 bmanan b1an b2an bm当集合当集合A A和和B B有限时，一个有限时，一个ABAB到到C C的代数运算，可以使的代数运算，可以使用一个表，称为用一个表，称为运算表（乘法表运算表（乘法表 ）来说明。来说明。设设“”是是ABCABC的运算，的运算，A A=a=a1 1,a,a2 2,a,an n,B=,B=bb1 1,b,b2 2,b,bm m,则运算则运算“”可用下表
8、说明。可用下表说明。本讲稿第十一页，共七十八页2022/9/212022/9/21定义定义12.2.212.2.2 设设 A A1 1,A A2 2,A An n，A A是是 非非 空空 集集 合合，A A1 1AA2 2AAn n到到A A的的一一个个映映射射(或或函函数数)：A A1 1AA2 2AAn nA A称称为为一一个个A A1 1AA2 2AAn n到到A A的的n n元代数运算元代数运算，简称，简称n n元运算元运算。当当n=1n=1时，称为时，称为一元运算一元运算。本讲稿第十二页，共七十八页2022/9/212022/9/211 1元代数运算表元代数运算表当当元元素素有有限限
9、时时，一一元元运运算算也也可可以以用用运算表来说明。运算表来说明。设设“”是是A A到到A A的的一一元元运运算算，其其中中A A=aa1 1,a a2 2,a an n，则则一一元元运运算算“”可以用右表说明。可以用右表说明。1元运算表a(a)a1(a1)a2(a2)an(an)本讲稿第十三页，共七十八页2022/9/212022/9/21代数运算：封闭性代数运算：封闭性定义定义12.2.312.2.3 如果如果“”是是AAAA到到A A的二元运算，的二元运算，则称运算则称运算“”对集合对集合A A是是封闭封闭的，或者称的，或者称“”是是A A上的二元运算上的二元运算。定义定义12.2.4
10、12.2.4 设设“”是一个是一个A A1 1AA2 2AAn n到到A A的的n n元代数运算，如果元代数运算，如果A A1 1A A2 2A An nA A，则称代数运，则称代数运算算“”对集合对集合A A是是封闭的封闭的，或者称是，或者称是A A上的上的n n元代元代数运算数运算。本讲稿第十四页，共七十八页2022/9/212022/9/21说说 明明一般通常用大写的英文字母表示集合，用符号一般通常用大写的英文字母表示集合，用符号“+”+”、“-”-”、“*”“*”、“/”、“”、“”、“”、“”、“”、“”“”、“”“”、“”、“”“”、“+”+”、“”、“”等抽象的符号来表示一个抽象
11、的运算。等抽象的符号来表示一个抽象的运算。本讲稿第十五页，共七十八页2022/9/212022/9/21定义定义12.2.5 12.2.5 设设A A是非空集合，是非空集合，1 1,2 2,m m分别是定义在分别是定义在A A上上k k1 1,k,k2 2,k,km m元封闭运算，元封闭运算，k ki i是正整数，是正整数，i=1,i=1,2,2,m,m。称集合。称集合A A和和 1 1,2 2,m m所组成的系统称所组成的系统称为为代数系统代数系统，简称，简称代数代数，记为，记为A,。当当A A是有限集合时，该代数系统称为是有限集合时，该代数系统称为有限代数系有限代数系统统，否则称为，否则称
12、为无限代数系统无限代数系统.注意：注意：判断集合判断集合A A和其上的代数运算是否是代数系和其上的代数运算是否是代数系统，关键是判断两点：一是集合统，关键是判断两点：一是集合A A非空非空，二是这些，二是这些运算关于运算关于A A是否满足是否满足封闭性封闭性。本讲稿第十六页，共七十八页2022/9/212022/9/21例子例子(1)(1)R R上的上的“+”、“”运算；运算；解解 构成一个代数系统构成一个代数系统R R，+，；(2)p(2)p（S S）上的）上的“”、“”、“”运算；运算；解解 构成代数系统构成代数系统,称称集合代数集合代数；(3)(3)含有含有n n个命题变元的命题集合个命
13、题变元的命题集合A A与与A A上的上的“”、“”、“”运算；运算；解解 构成代数系统构成代数系统A A，称之为，称之为命命题代数题代数。本讲稿第十七页，共七十八页2022/9/212022/9/21同类型代数系统同类型代数系统定义定义12.2.612.2.6 设设A,和和B,是两个代数系统，若是两个代数系统，若“o oi i”和和“i i”都都是是k ki i元运算，元运算，i=1,2,i=1,2,m,m，则称这，则称这两个代数两个代数同类型同类型。如如：代数系统：代数系统Z Z，+,Z Z，,R R，+,p p（S S），），,p p（S S），），都是同类型都是同类型的代数系统。的代数系
14、统。代数系统代数系统I I，+，、R R，+，、p p（S S），），都是同类型的代数系统。都是同类型的代数系统。本讲稿第十八页，共七十八页2022/9/212022/9/21子代数子代数定义定义12.2.712.2.7 设设A,是代数系统，是代数系统，如果：如果：（1 1）B B A A并且并且B B ；（2 2）1 1,2 2,m m都是都是B B上的封闭运算。上的封闭运算。则则B,也是一个代数系统，称之也是一个代数系统，称之为为A,的的子代数系统子代数系统，简称，简称子代子代数数。又若。又若B B A A，则称，则称B,是是A,的的真子代数真子代数。本讲稿第十九页，共七十八页2022/9
15、/212022/9/21子代数子代数 子代数是抽象代数学中一个非常重要的概念，子代数是抽象代数学中一个非常重要的概念，通过研究子代数的结构和性质，可以得到原代数系通过研究子代数的结构和性质，可以得到原代数系统的某些重要性质。统的某些重要性质。如在群论中，通过研究子群可得群的某些性质。如在群论中，通过研究子群可得群的某些性质。注意：注意：在后面章节中，将会学习在后面章节中，将会学习半群、群、格、半群、群、格、布尔代数布尔代数等典型的代数系统。将子代数的概念应用等典型的代数系统。将子代数的概念应用到这些典型的代数系统，就会得到子半群、子群、到这些典型的代数系统，就会得到子半群、子群、子格、子布尔代
16、数。子格、子布尔代数。本讲稿第二十页，共七十八页2022/9/212022/9/21例例12.2.412.2.4 在代数系统在代数系统中，令中，令Q=5z|z Q=5z|z Z Z，证明证明是是的子代数。的子代数。分析分析 根据定义，只需证明两点：根据定义，只需证明两点：（1 1）Q Q是非空子集；（是非空子集；（2 2）“+”对集合对集合Q Q封闭。封闭。显然，集合显然，集合Q Q非空。对任意的非空。对任意的5z5z1 1，5z5z2 2QQ，有，有5z5z1 1+5z+5z2 2=5(z=5(z1 1+z+z2 2)Q)Q，因此因此“+”对集合对集合Q Q封闭。封闭。证明证明 略。略。本讲
17、稿第二十一页，共七十八页2022/9/212022/9/2112.3.1 12.3.1 二元运算律二元运算律例例12.3.112.3.1 设设“+”是定义在自然数集合是定义在自然数集合N N上的普通上的普通加法运算，试回忆加法运算，试回忆N N上的加法运算上的加法运算“+”满足哪些运满足哪些运算性质？算性质？分析分析 对对 a,b,cNa,b,cN，有，有(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)，即，即结合律结合律成立；成立；a+b=b+aa+b=b+a，即，即交换律交换律成立；成立；x,yNx,yN，如果，如果a+x=a+ya+x=a+y，则，则x=yx=y，即即消去律消
18、去律成立；成立；0N0N，0+0=00+0=0，即，即0 0是幂等元，但其他自然数不是幂等元，但其他自然数不是幂等元，即不满足是幂等元，即不满足幂等律幂等律。本讲稿第二十二页，共七十八页2022/9/212022/9/21结合律与交换律结合律与交换律定义定义12.3.112.3.1 设设A,是二元代数系统，如果对是二元代数系统，如果对任意的任意的a,b,cAa,b,cA，都有，都有 (a(a*b)b)*c ca a*(b(b*c)c)则称则称“*”在在A A上是上是可结合的可结合的，或称满足，或称满足结合律结合律。定义定义12.3.212.3.2 设设A,是二元代数系统，如果对是二元代数系统，
19、如果对任意的任意的a,bAa,bA，都有，都有a a*b bb b*a a则称则称“”在在A A上是上是可交换可交换的，或称满足的，或称满足交换律。交换律。本讲稿第二十三页，共七十八页2022/9/212022/9/21消去律消去律定义定义12.3.312.3.3 设设A,是二元代数系统，元素是二元代数系统，元素aAaA，（1 1）对任意）对任意x,yAx,yA，都有，都有 如果如果a a x=a x=a y y，那么，那么x=yx=y，则称则称a a在在A A中关于中关于“”是是左可消去元左可消去元；（2 2）对任意）对任意x,yAx,yA，都有，都有 如果如果x x a=y a=y a a
20、，那么，那么x=yx=y，则称则称a a在在A A中关于中关于“”是是右可消去元右可消去元；本讲稿第二十四页，共七十八页2022/9/212022/9/21消去律（续）消去律（续）（3 3）如果）如果a a既是既是A A左可消去元又是右可消去元，左可消去元又是右可消去元，则称则称a a是是A A的的可消去元可消去元；（4 4）若）若A A中所有元素都是可消去元，则称中所有元素都是可消去元，则称“”在在A A上可消去，或称上可消去，或称“”满足满足消去律消去律。本讲稿第二十五页，共七十八页2022/9/212022/9/21幂等律幂等律定义定义12.3.412.3.4 设设A,是二元代数系统，若
21、元素是二元代数系统，若元素aAaA，满足，满足 a a a=aa=a，则称则称a a是是A A中关于中关于“”的一个的一个幂等元幂等元，简称，简称a a为为幂幂等元等元。若。若A A中的每一个元素都是幂等元，则称中的每一个元素都是幂等元，则称“”在在A A中是中是幂等的幂等的，或称，或称“”满足满足幂等律幂等律。本讲稿第二十六页，共七十八页2022/9/212022/9/21幂等律幂等律设设“”是集合是集合A A上的二元运算，上的二元运算，aAaA，则，则a a aAaA，a a a a aAaA，,由此，可以归纳定义由此，可以归纳定义a a的正整数的正整数幂方幂方：a a1 1=a=a，a
22、a2 2=a=a a a，a a3 3=a=a2 2 a a，a an n=a an n 1 1 a a，对任意的正整数对任意的正整数n n，m m，有以下等式：，有以下等式：a an n a am m=a=an+mn+m，（a an n）m m=a=anmnm。本讲稿第二十七页，共七十八页2022/9/212022/9/21分配律分配律定义定义12.3.512.3.5 ：设：设“”、“”是集合是集合A A上的二元运算，上的二元运算，A,是一个代数系统，是一个代数系统，对对 a,b,ca,b,c S S，有，有（1 1）a(b*c)=(a b)*(a c)a(b*c)=(a b)*(a c)，
23、则称运算则称运算“”对对“*”在在S S上满足上满足左分配律左分配律(或第一分或第一分配律配律)；（2)2)(b*c)a=(b a)*(c a)(b*c)a=(b a)*(c a)，则称运算则称运算“”对对“*”在在S S 上满足上满足右分配律右分配律(或第二分或第二分配律配律)；（3)3)如果如果“”对对“*”既满足左分配律又满足右分配既满足左分配律又满足右分配律，则称律，则称”对对“*”在在S S上满足上满足分配律分配律。本讲稿第二十八页，共七十八页2022/9/212022/9/21吸收律吸收律定义定义12.3.612.3.6 设设“”、“”是集合是集合A A上的二元运算，上的二元运算，
24、A,是一个代数系统，如果对任意的是一个代数系统，如果对任意的x,yAx,yA，都有都有 x x (x (x y)=x y)=x，x x(x(x y)=xy)=x，则称则称“”和和“”满足满足吸收律吸收律本讲稿第二十九页，共七十八页2022/9/212022/9/21特殊元特殊元在代数系统中，有些元素有特殊性质，叫在代数系统中，有些元素有特殊性质，叫特殊元特殊元。例如在代数系统例如在代数系统N，其中，其中N N是自然数，是自然数，“”是普通加法，是普通加法，0 N 0 N，并且对任意的自然数，并且对任意的自然数x N x N，有，有 x x 0 0 0 0 x x x x 本讲稿第三十页，共七十
25、八页2022/9/212022/9/21幺元（单位元）幺元（单位元）定义定义12.3.712.3.7 设设A,是二元代数系统，是二元代数系统，（1 1）若存在）若存在eAeA，对任意，对任意aAaA，都有，都有 a a e=e e=e a=a a=a，则称则称e e是是A A中关于运算中关于运算“”的一个的一个幺元（单位元）幺元（单位元）（2 2）若存在）若存在e el lAA，使得对任意，使得对任意aAaA，都有，都有 e el l a=a a=a，则称则称e el l是是A A中关于运算中关于运算“”的一个的一个左幺元（左单位元）左幺元（左单位元）（3 3）若存在）若存在e er rAA，
26、使得对任意，使得对任意aAaA，都有，都有 a a e er r=a=a，称称e er r是是A A中关于运算中关于运算“”的一个的一个右幺元（右单位元）右幺元（右单位元）本讲稿第三十一页，共七十八页2022/9/212022/9/21例例12.3.5 12.3.5 下列代数系统是否存在幺元下列代数系统是否存在幺元(左幺元或右幺元左幺元或右幺元)，如果，如果存在计算之。存在计算之。（1 1），R R是实数集，是实数集，“+”是加法运算；是加法运算；（2 2）R,+，R R+是正实数集，是正实数集，“+”是加法运算；是加法运算；（3 3）P(AA),，其中，其中P(AA)P(AA)表示集合表示集
27、合A A上的所上的所有二元关系集合，运算有二元关系集合，运算“”表示关系的复合；表示关系的复合；（4 4）A,，其中，其中A=A=a,b,ca,b,c，二元，二元运算运算“”,“”,“”如表如表12.3.212.3.2、表、表12.3.312.3.3和和表表12.3.412.3.4分别所示。分别所示。是一样的是一样的。本讲稿第三十二页，共七十八页2022/9/212022/9/21例例12.3.512.3.5（续）（续）分析分析 可以直接通过定义计算幺元，即首先假设幺元存可以直接通过定义计算幺元，即首先假设幺元存在，然后计算之，最后验证所计算的元是否是幺元。在，然后计算之，最后验证所计算的元是
28、否是幺元。本讲稿第三十三页，共七十八页2022/9/212022/9/21例例12.3.512.3.5（续）（续）（1 1）设）设x x是是的幺元，则由定义，对任意的的幺元，则由定义，对任意的aRaR，有，有 x+a=ax+a=a，令令a=1a=1，有，有x+1=1x+1=1，则，则x=0 x=0，xRxR。这说明，如果这说明，如果的幺元存在，那么幺元必是的幺元存在，那么幺元必是0 0。对任意的对任意的aRaR，0+a=a+0=a0+a=a+0=a，即验证可得，即验证可得，0 0是是的幺元。的幺元。本讲稿第三十四页，共七十八页2022/9/212022/9/21例例12.3.512.3.5（续
29、）（续）（2 2）设）设x x是是R,+的幺元，对任意的的幺元，对任意的aRaR+，有，有 x+a=ax+a=a，让让a=1a=1，有，有x+1=1x+1=1，则，则x=0 x=0，但，但0 0 R R+。这说明这说明R,+不存在幺元。同理，左、右幺元也不存在幺元。同理，左、右幺元也不存在。不存在。本讲稿第三十五页，共七十八页2022/9/212022/9/21例例12.3.512.3.5（续）（续）（3 3）设）设X X是是 P 的幺元，对任意的的幺元，对任意的YPYP(AA)(AA)，有，有X X Y=YY=Y，让让Y=IY=IA A，则，则X X I IA A=I=IA A，又，又X X
30、 I IA A=X X，因此，因此X X=I IA A。这说明，如果这说明，如果P 的幺元存在，则幺元必的幺元存在，则幺元必是是I IA A。对任意的对任意的YPYP(AA)(AA)，I IA A Y Y=Y =Y I IA A=Y=Y，即验证可得即验证可得I IA A是是 P 的幺元。的幺元。本讲稿第三十六页，共七十八页2022/9/212022/9/21例例12.3.512.3.5（续）（续）（4 4）由于给出了运算表，因此可以根据运算表直）由于给出了运算表，因此可以根据运算表直接观察可得。接观察可得。解解（1 1）中的幺元是中的幺元是0 0；（2 2）R,+中无幺元；中无幺元；（3 3）
31、P(AA),中的幺元是恒等关系中的幺元是恒等关系I IA A；（4 4）A,中关于运算中关于运算“”有左幺元有左幺元a a和和b b，但无右幺元，因此无幺元，关于运算，但无右幺元，因此无幺元，关于运算“”无左幺元，但有右幺元无左幺元，但有右幺元b b和和c c，因此无幺元；关于运，因此无幺元；关于运算算“”有幺元有幺元a a。本讲稿第三十七页，共七十八页2022/9/212022/9/21结论结论（1 1）计算幺元可根据定义直接进行，即）计算幺元可根据定义直接进行，即首先首先假设假设幺元存在，并根据定义计算，幺元存在，并根据定义计算，然后然后进行验证。进行验证。（2 2）可以直接从运算表中看出
32、运算是否有左幺元）可以直接从运算表中看出运算是否有左幺元或右幺元。具体方法是：或右幺元。具体方法是：如果元素如果元素x x所在的行上的元素与行表头完全相所在的行上的元素与行表头完全相同，则同，则x x是一个左幺元；是一个左幺元；如果元素如果元素x x所在的列上的元素与列表头完全相所在的列上的元素与列表头完全相同，则同，则x x是一个右幺元；是一个右幺元；同时满足同时满足和和。本讲稿第三十八页，共七十八页2022/9/212022/9/21零元零元定义定义12.3.812.3.8 设设A,是一个二元代数系统，是一个二元代数系统，（1 1）若存在）若存在 A A，使得对任意，使得对任意aAaA，都
33、有，都有a a =a=a=，则称则称是是A A中关于运算中关于运算“”的一个的一个零元零元；（2 2）若存在）若存在 l lAA，使得对任意，使得对任意aAaA，都有，都有 l l a=a=l l，则称则称 l l是是A A中关于运算中关于运算“”的一个的一个左零元左零元；（3 3）若存在）若存在 r rAA，使得对任意，使得对任意aAaA，都有，都有a a r r=r r，则称则称 r r是是A A中关于运算中关于运算“”的一个的一个右零元右零元。本讲稿第三十九页，共七十八页2022/9/212022/9/21逆元逆元定义定义12.3.912.3.9 设设A,是二元代数系统，是二元代数系统，
34、e e是幺元，是幺元，aAaA，若存在一个元素，若存在一个元素bAbA，（1 1）使得：）使得：a a b=b b=b a=e a=e，则称则称a a可逆，并称可逆，并称b b是是a a的一个的一个逆元逆元，记为，记为a a 1 1；（2 2）使得：）使得：b b a=ea=e，则称则称a a左可逆，并称左可逆，并称b b是是a a的一个的一个左逆元左逆元，记为，记为a al l 1 1；（3 3）使得：）使得：a a b=e b=e，则称则称a a右可逆，并称右可逆，并称b b是是a a的一个的一个右逆元右逆元，记为，记为a ar r 1 1。本讲稿第四十页，共七十八页2022/9/2120
35、22/9/21定理定理12.3.112.3.1 设设A,是是一一个个代代数数系系统统，“”满满足足结结合合律律，aAaA，a a可逆，则可逆，则a a是是可消去元可消去元。证明证明 记幺元为记幺元为e e，a a的逆元为的逆元为a a 1 1，设，设x x、y y是是A A中的任中的任意元素，假设意元素，假设a a x=a x=a y y。由由a a x=a x=a y y，有，有a a 1 1 (a (a x)=ax)=a 1 1 (a (a y)y)，又结合律成立，所以有又结合律成立，所以有(a(a 1 1 a)a)x=(ax=(a 1 1 a)a)y y，即即e e x=e x=e y
36、y，可得，可得x=yx=y本讲稿第四十一页，共七十八页2022/9/212022/9/21定理定理12.3.212.3.2设设A,是二元代数系统，是二元代数系统，（1 1）如果）如果A,存在幺元，则幺元存在幺元，则幺元唯一唯一；（2 2）如果）如果A,存在幺元，则该幺元一定存在幺元，则该幺元一定是左、是左、右幺元右幺元；（3 3）如果）如果A,存在左、右幺元，则存在左、右幺元，则该左、右幺该左、右幺元相等元相等，且，且是幺元是幺元。本讲稿第四十二页，共七十八页2022/9/212022/9/21定理定理12.3.212.3.2（续）（续）证明证明（1 1）（）（反证法反证法）设）设S,*S,*
37、存在两个以上的幺元，存在两个以上的幺元，不妨假设不妨假设e e1 1，e e2 2是是S,*S,*的两个幺元，的两个幺元，则对则对 x x S S，x*ex*e1 1=e=e1 1*x=x*x=x，此时，取，此时，取x=ex=e2 2，有有e e2 2*e*e1 1=e=e1 1*e*e2 2=e=e2 2 则对则对 x x S S，有，有x*ex*e2 2=e=e2 2*x=x*x=x，此时，取，此时，取x=ex=e1 1，有有e e1 1*e*e2 2=e=e2 2*e*e1 1=e=e1 1 由由、可知可知e e1 1=e=e2 2，即即S,*S,*的幺元是唯一的。的幺元是唯一的。本讲稿
38、第四十三页，共七十八页2022/9/212022/9/21定理定理12.3.212.3.2（续）（续）（2 2）显然成立）显然成立（3 3）若）若e el l、e er r是是S,*S,*的左、右幺元，的左、右幺元，则对则对 x x S,S,有有e el l*x=x*x=x，此时，取，此时，取x=ex=er r，有，有e el l*e*er r=e=er r则对则对 x x S,S,有有x*ex*er r=x=x，此时，取，此时，取x=ex=el l，有，有e el l*e*er r=e=el l由由、可知可知e el l=e=er r，即左、右幺元相等；显然可得即左、右幺元相等；显然可得 e
39、=ee=el l。本讲稿第四十四页，共七十八页2022/9/212022/9/21定理定理12.3.3 12.3.3 设设 是二元代数系统，是二元代数系统，（1 1）如果）如果A,存在零元，则零元存在零元，则零元唯一唯一；（2 2）如果）如果A,存在零元，则该零元一定存在零元，则该零元一定是左、是左、右零元右零元；（3 3）如果）如果A,存在左、右零元，则存在左、右零元，则该左、右零该左、右零元相等，元相等，且且是零元是零元。分析分析 该定理的证明方法与定理该定理的证明方法与定理12.3.212.3.2证明相似。证明相似。证明证明 略。略。本讲稿第四十五页，共七十八页2022/9/212022
40、/9/21定理定理12.3.4 12.3.4 设设A,是二元代数系统，是二元代数系统，“”满足满足结合律结合律且设且设e e是幺元，则对任意的是幺元，则对任意的aAaA，（1 1）如果）如果a a存在逆元，则逆元存在逆元，则逆元唯一唯一；（2 2）如果）如果a a存在逆元，则该逆元一定存在逆元，则该逆元一定是左、右逆元是左、右逆元；（3 3）如果）如果a a存在左、右逆元，则存在左、右逆元，则该左、右逆元相等，该左、右逆元相等，且且是逆元是逆元。分析分析 该定理的证明方法与定理该定理的证明方法与定理12.3.212.3.2证明相似证明相似 本讲稿第四十六页，共七十八页2022/9/212022
41、/9/21定理定理12.3.412.3.4（续）（续）证明证明 （1 1）（反证法）设）（反证法）设aAaA存在逆元，且不唯一，存在逆元，且不唯一，不妨设不妨设a a1 1，a a2 2都是都是a a的逆元，则有的逆元，则有a a a a1 1=a=a1 1 a=e a=e，a a a a2 2=a=a2 2 a=e a=e，由于由于“”满足结合律，所以有满足结合律，所以有a a1 1=a=a1 1 e=a e=a1 1 (a (a a a2 2)=(a)=(a1 1 a)a)a a2 2=e e a a2 2=a=a2 2，即，即a a1 1=a=a2 2即即a a的逆元唯一；的逆元唯一；本
42、讲稿第四十七页，共七十八页2022/9/212022/9/21定理定理12.3.412.3.4（续）（续）（2 2）由逆元、左逆元和右逆元的定义直接可得；）由逆元、左逆元和右逆元的定义直接可得；（3 3）设）设aAaA的左、右逆元分别是的左、右逆元分别是a al l 1 1和和a ar r 1 1，则有，则有a al l 1 1 a=e a=e，a a a ar r 1 1=e=e，“”满足结合律，所以有满足结合律，所以有 a ar r 1 1 =e =e a ar r 1 1 =(a =(al l 1 1 a)a)a ar r 1 1 =a =al l 1 1 (a (a a ar r 1
43、1)=a =al l 1 1 e=a e=al l 1 1，所以，所以a a 1 1=a=ar r 1 1=a=al l 1 1本讲稿第四十八页，共七十八页2022/9/212022/9/21推论推论12.3.1 12.3.1 设设A,是二元代数系统，是二元代数系统，“”满足结合律，满足结合律，a,a,b bAA，（1 1）如果）如果a,ba,b分别有逆元分别有逆元a a 1 1,b,b 1 1，则，则 (a(a b)b)1 1=b b 1 1 a a 1 1；（2 2）如果）如果a a是左（或右）可逆的元素，则是左（或右）可逆的元素，则a a是左（右）是左（右）可消去的元素；可消去的元素；（
44、3 3）如果）如果a a是可逆的元素，则是可逆的元素，则a a是可消去的元素。是可消去的元素。本讲稿第四十九页，共七十八页2022/9/212022/9/21推论推论12.3.112.3.1（续）（续）分析分析 (1)(1)根据逆元的定义，只需证明根据逆元的定义，只需证明 (a(a b)b)(b(b 1 1 a a 1 1)=(b =(b 1 1 a a 1 1)(a (a b)b)=e =e；同理，同理，(2)(2)和和(3)(3)可以直接根据消去元的定义证明。可以直接根据消去元的定义证明。本讲稿第五十页，共七十八页2022/9/212022/9/21推论推论12.3.112.3.1（续）（
45、续）证明证明 (1)(1)由于由于“”满足结合律，所以有满足结合律，所以有(a (a b)b)(b(b 1 1 a a 1 1)=a =a (b (b b b 1 1)a a 1 1 =a =a e e a a 1 1=a =a a a 1 1=e=e，(b(b 1 1 a a 1 1)(a (a b)b)=b =b 1 1 (a(a 1 1 a)a)b b =b =b 1 1 e e b=b b=b 1 1 b=e b=e，即，即 (a(a b)b)1 1=b=b 1 1 a a 1 1。本讲稿第五十一页，共七十八页2022/9/212022/9/21推论推论12.3.112.3.1（续）（
46、续）（2 2）若）若a a是左可逆的元素，设左逆元为是左可逆的元素，设左逆元为a al l 1 1，则对，则对任意的任意的x,yx,yA,A,如有如有a a x=ax=a y y，则，则a al l 1 1 (a (a x)=a x)=al l 1 1 (a (a y)y)，即即 (a(al l 1 1 a)a)x=(a x=(al l 1 1 a)a)y y，e e x=e x=e y y，所以，所以x=yx=y则则a a是左可消去元。是左可消去元。同样可证，如果同样可证，如果a a是右可逆的，则是右可逆的，则a a是右可消去元。是右可消去元。（3 3）由）由(2)(2)和定理和定理12.3
47、.412.3.4直接可证。直接可证。本讲稿第五十二页，共七十八页2022/9/212022/9/21例例12.3.712.3.7设设G=fG=fa,ba,b(x)=ax+b|a0,a,bR(x)=ax+b|a0,a,bR，其中，其中R R是实数，是实数，“”是是G G上关于函数的复合运算上关于函数的复合运算 。（1 1）验证验证G,是代数系统；是代数系统；（2 2）如有幺元计算之；如有幺元计算之；（3 3）如有零元计算之；如有零元计算之；（4 4）如有幂等元，计算出这些幂等元；如有幂等元，计算出这些幂等元；（5 5）说明说明G G中的那些元有逆元，并计算这些元的逆中的那些元有逆元，并计算这些元
48、的逆元。元。本讲稿第五十三页，共七十八页2022/9/212022/9/21例例12.3.712.3.7（续）：封闭性（续）：封闭性分析分析 （1 1）要说明）要说明G,是代数系统，只需要说是代数系统，只需要说明明“”对对G G封闭，即说明对任意封闭，即说明对任意f fa,ba,b，f fc,dc,dGG，f fa,b a,b f fc,dc,dGG，又又 (f(fa,b a,b f fc,dc,d)(x)(x)=f=fc,dc,d(f(fa,ba,b(x)(x)=f =fc,dc,d(ax+b)=c(ax+b)+d(ax+b)=c(ax+b)+d =cax+bc+d=f =cax+bc+d=
49、fca,bc+dca,bc+d(x)(x)，即，即 f fa,b a,b f fc,dc,d=f=fca,bc+dca,bc+d，显然显然ca 0ca 0，故，故f fca,bc+dca,bc+dGG，所以所以“”对对G G是封闭的，即是封闭的，即G,G,是代数系统是代数系统。G=fG=fa,ba,b(x)=ax+b|a0,a,bR(x)=ax+b|a0,a,bR本讲稿第五十四页，共七十八页2022/9/212022/9/21例例12.3.712.3.7（续）：幺元（续）：幺元（2 2）不妨假设幺元是）不妨假设幺元是f fc,dc,dGG，则对，则对 f fa,ba,bGG，有，有f fa,b
50、a,b f fc,dc,d=f=fa,ba,b，又，又f fa,ba,b f fc,dc,d=f=fca,bc+dca,bc+d，则，则f fa,ba,b=f=fca,bc+dca,bc+d，因此，因此，xRxR，有，有f fa,ba,b(x)=ax+b=f(x)=ax+b=fca,bc+dca,bc+d(x)=cax+bc+d(x)=cax+bc+d，特别取特别取x=0,x=1x=0,x=1，可得，可得bc+d=b,ca=abc+d=b,ca=a。由于由于f fa,ba,b是是G G中的任意元，取中的任意元，取a=1a=1，b=2,b=2,可得可得 c=1,d=0c=1,d=0。G=fG=f