第四章-4.3.1-第1课时-等比数列的概念及通项公式.pptx

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1、第四章等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式第一页，编辑于星期五：十九点 十七分。学习目标XUE XI MU BIAO1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.第二页，编辑于星期五：十九点 十七分。内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练第三页，编辑于星期五：十九点 十七分。1知识梳理PART ONE第四页，编辑于星期五：十九点 十七分。知识点一等比数列的概念1.定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的 都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫

2、做等比数列的 ，通常用字母q表示(q0).2前比同一个公比第五页，编辑于星期五：十九点 十七分。思考为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?答案由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.第六页，编辑于星期五：十九点 十七分。知识点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2ab.思考当G2ab时，G一定是a，b的等比中项吗？答案不一定，如数列0,0,5就不是等比数列.第七页，编辑于星期五：十九点 十七分。知识点三等比数列的通项公式若等比数列an的首项为a1，公比为q，则an (nN*).a1qn1第八页，编

3、辑于星期五：十九点 十七分。知识点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列an的公比为q，则ana1_ am_ .其中当中m1时，即化为.qn1qnmlqn第九页，编辑于星期五：十九点 十七分。1.数列1，1,1，1，是等比数列.()2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列.()3.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.()4.常数列一定为等比数列.()思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU第十页，编辑于星期五：十九点 十七分。2题型探究PART TWO第十一页，编辑于星期五：十九点 十七分。一、等比数列中的基本运算例1在

4、等比数列an中：(1)a11，a48，求an；解因为a4a1q3，所以8q3，所以q2，所以ana1qn12n1.第十二页，编辑于星期五：十九点 十七分。(2)an625，n4，q5，求a1；故a15.第十三页，编辑于星期五：十九点 十七分。(3)a2a518，a3a69，an1，求n.又an1，第十四页，编辑于星期五：十九点 十七分。反思感悟等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.第十五页，编辑于星期五：十九点 十七分。跟踪训练1在等比数列an中：(1)若它的前三项分

5、别为5，15,45，求a5；所以a5405.第十六页，编辑于星期五：十九点 十七分。(2)若a42，a78，求an.2532n第十七页，编辑于星期五：十九点 十七分。二、等比中项的应用例2如果1，a，b，c，9成等比数列，那么b_，ac_.39解析因为b是1，9的等比中项，所以b29，b3.又等比数列奇数项符号相同，得b0).第十九页，编辑于星期五：十九点 十七分。跟踪训练2在等比数列an中，a116，a48，则a7等于A.4 B.4 C.2 D.2解析因为a4是a1与a7的等比中项，即6416a7，故a74.第二十页，编辑于星期五：十九点 十七分。三、等比数列通项公式的推广及应用例3在等比数

6、列an中.(1)已知a34，a716，且q0，求an；122n第二十一页，编辑于星期五：十九点 十七分。又q0，a1q.由2(anan2)5an1得，2an(1q2)5qan，an0，2(1q2)5q，a1q，且an为递增数列，第二十二页，编辑于星期五：十九点 十七分。反思感悟(1)应用anamqnm，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q0.第二十三页，编辑于星期五：十九点 十七分。跟踪训练3已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7等于A.21 B.42 C.63 D.84解析设等比数列an的公

7、比为q，则由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142.第二十四页，编辑于星期五：十九点 十七分。四、灵活设元求解等比数列问题例4(1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是_.45第二十五页，编辑于星期五：十九点 十七分。解析(1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a1，aq1，aq24，aq313成等差数列.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.第二十六页，编辑于星期五：十九点 十七分。(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，

8、后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.第二十七页，编辑于星期五：十九点 十七分。所以a3216.所以a6.由题意知第4个数为12q6.故所求的四个数为9,6,4,2.故所求得的四个数为9,6,4,2.第二十八页，编辑于星期五：十九点 十七分。反思感悟几个数成等比数列的设法推广到一般：奇数个数成等比数列设为第二十九页，编辑于星期五：十九点 十七分。(2)四个符号相同的数成等比数列设为推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.第三十页，编辑于星期五：十九点 十七分。跟踪训练4在2和20之间插入两个数

9、，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为第三十一页，编辑于星期五：十九点 十七分。a2a200，解得a4或a5.第三十二页，编辑于星期五：十九点 十七分。3随堂演练PART THREE第三十三页，编辑于星期五：十九点 十七分。1.在等比数列an中，若a24，a532，则公比q应为12345第三十四页，编辑于星期五：十九点 十七分。123452.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是1，16的等比中项，则ab等于A.6 B.6 C.12 D.12ab6.第三十五页，编辑于星期五：十九点 十七分。3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为A.4 B

10、.8 C.6 D.3212345解析由等比数列的通项公式得，12842n1,2n132，所以n6.第三十六页，编辑于星期五：十九点 十七分。123454.等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则an等于A.(2)n1 B.(2n1)C.(2)n D.(2)n解析设公比为q，则a1q48a1q，又a10，q0，所以q38，q2，又a5a2，所以a20，a50，从而a10，即a11，故an(2)n1.第三十七页，编辑于星期五：十九点 十七分。5.在等比数列an中，a12，a38，则数列an的公比为_，通项公式为an_.123452当q2时，ana1qn12(2)n1(2)n；当q2时，

11、ana1qn122n12n.(2)n或2n第三十八页，编辑于星期五：十九点 十七分。1.知识清单：(1)等比数列的概念.(2)等比数列的通项公式.(3)等比中项的概念.(4)等比数列的通项公式推广.2.方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法.课堂小结KE TANG XIAO JIE第三十九页，编辑于星期五：十九点 十七分。3.常见误区：(1)x，G，y成等比数列G2xy，但G2xyx，G，y成等比数列.(2)四个数成等比数列时设成 aq，aq3，未考虑公比为负的情况.(3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错.第四十页，编辑于星期五：十九点 十七分。4课时对点

12、练PART FOUR第四十一页，编辑于星期五：十九点 十七分。1.在数列an中，若an13an，a12，则a4为A.108 B.54 C.36 D.18基础巩固12345678910111213141516解析因为an13an，所以数列an是公比为3的等比数列，则a433a154.第四十二页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910 11 1213141516所以a4与a8的等比中项为a64.第四十三页，编辑于星期五：十九点 十七分。解析a1a21，a3a49，q29.q3(q3舍去)，a4a5(a3a4)q27.3.在等比数列an中，an0，且a1a21，a3a49，则a4a5的

13、值为A.16 B.27 C.36 D.8112345678910111213141516第四十四页，编辑于星期五：十九点 十七分。4.数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn的连续三项，则数列bn的公比为设数列an的公差为d，则d0，所以(a12d)2a1(a16d)，所以a12d，12345678910111213141516第四十五页，编辑于星期五：十九点 十七分。A.22n1 B.2n C.22n1 D.22n312345678910111213141516由等比数列的定义知数列an是以2为首项，4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，得an24n122n1.第

14、四十六页，编辑于星期五：十九点 十七分。6.若an为等比数列，且a3a44，a22，则公比q_.123456789101112131415161或2第四十七页，编辑于星期五：十九点 十七分。7.已知an是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，且a1_，d_.解析a2，a3，a7成等比数列，1(a12d)2(a1d)(a16d)，即2d3a10.又2a1a21，3a1d1.12345678910111213141516第四十八页，编辑于星期五：十九点 十七分。8.已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an_.解析由已知可得(a1)2(a1)(a4)，解

15、得a5，所以a14，a26，12345678910111213141516第四十九页，编辑于星期五：十九点 十七分。1234567891011 12131415169.在等比数列an中，a332，a58.(1)求数列an的通项公式an；第五十页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910111213141516所以 q12. 当 q12时，ana3qn33212n328n； 第五十一页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910111213141516第五十二页，编辑于星期五：十九点 十七分。1234567891011121314151610.在等比数列an中：(1)已知a

16、32，a58，求a7；所以q24，所以a7a5q28432.第五十三页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910111213141516(2)已知a3a15，a5a115，求通项公式an.解a3a1a1(q21)5，a5a1a1(q41)15，所以q213，所以q24，所以a11，q2，所以ana1qn1(2)n1.第五十四页，编辑于星期五：十九点 十七分。11.已知a，b，c，d成等比数列，且曲线yx22x3的顶点是(b，c)，则ad等于A.3 B.2 C.1 D.2综合运用解析y(x1)22，b1，c2.又a，b，c，d成等比数列，adbc2.12345678910111213

17、141516第五十五页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910111213141516第五十六页，编辑于星期五：十九点 十七分。解析方法一a3，a5的等比中项为a4，a42.12345678910111213141516第五十七页，编辑于星期五：十九点 十七分。方法二a3a54(a41)，a1q2a1q44(a1q31)，解得q2，12345678910111213141516第五十八页，编辑于星期五：十九点 十七分。123456789101112 13 14151613.(多选)已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c2成等比数列，则a等于A.2 B.2 C.8 D.

18、 8故a2或a8.第五十九页，编辑于星期五：十九点 十七分。1234567891011121314151614.若数列an的前n项和为Sn，且an2Sn3，则an的通项公式是_.an3(1)n1解析由an2Sn3得an12Sn13(n2)，两式相减得anan12an(n2)，anan1(n2)，又a13，故an是首项为3，公比为1的等比数列，an3(1)n1.第六十页，编辑于星期五：十九点 十七分。拓广探究12345678910111213 14151615.已知在等差数列an中，a2a416，a11，a21，a41成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为

19、_.275或8第六十一页，编辑于星期五：十九点 十七分。解析设公差为d，由a2a416，得a12d8，由a11，a21，a41成等比数列，得(a21)2(a11)(a41)，化简得a1d1或d0，当d3时，an3n1.由题图可得第10行第11个数为数列an中的第92项，a923921275.当d0时，an8，a928.12345678910111213141516第六十二页，编辑于星期五：十九点 十七分。1234567891011121314151616.设数列an是公比小于1的正项等比数列，已知a18，且a113,4a2，a39成等差数列.(1)求数列an的通项公式；第六十三页，编辑于星期五

20、：十九点 十七分。12345678910111213141516解设数列an的公比为q.由题意，可得an8qn1，且0q1.由a113,4a2，a39成等差数列，知8a230a3，所以64q308q2，第六十四页，编辑于星期五：十九点 十七分。12345678910111213141516(2)若bnan(n2)，且数列bn是单调递减数列，求实数的取值范围.解bnan(n2)(n2)24n，由bnbn1，得(n2)24n(n3)23n，即n1，所以(n1)min2，故实数的取值范围为(，2).第六十五页，编辑于星期五：十九点 十七分。本课结束更多精彩内容请登录：第六十六页，编辑于星期五：十九点 十七分。