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1、第二十六章 二 次 函 数26.1 二次函数及其图象26.1.1 二 次 函 数 1.1.理解二次函数及其相关概念理解二次函数及其相关概念.(.(重点重点) )2.2.会辨别哪些函数是二次函数会辨别哪些函数是二次函数.(.(重点重点) )3.3.会用二次函数表示简单变量之间的关系会用二次函数表示简单变量之间的关系.(.(重点、难点重点、难点) )请用适当的函数关系式表示下列问题情境中的两个变量请用适当的函数关系式表示下列问题情境中的两个变量之间的关系之间的关系: :(1)(1)一石子投入平静的湖中央一石子投入平静的湖中央, ,激起的圆形波纹一圈圈向外传播激起的圆形波纹一圈圈向外传播, ,圆的面
2、积圆的面积S S与半径与半径r r之间的函数关系式为之间的函数关系式为_._.S=rS=r2 2(2)(2)某商店某商店1 1月份的利润是月份的利润是2 2万元万元,2,2、3 3月份利润逐月增长月份利润逐月增长, ,这两个这两个月利润的月平均增长率为月利润的月平均增长率为x,3x,3月份的利润为月份的利润为y,y,则则y y与与x x的关系式的关系式为为y=_=_.y=_=_.(3)(3)矩形的长是矩形的长是4cm,4cm,宽是宽是3cm,3cm,如果将其长增加如果将其长增加xcm,xcm,宽增加宽增加2xcm,2xcm,则面积增加到则面积增加到ycmycm2 2, ,则则y y与与x x的
3、关系式为的关系式为y=_=y=_=_._.2(1+x)2(1+x)2 22x2x2 2+4x+2+4x+2(4+x)(3+2x)(4+x)(3+2x)2x2x2 2+11x+12+11x+12【归纳归纳】 1.1.二次函数的定义二次函数的定义: :形如形如_的函数的函数, ,叫做二次函数叫做二次函数. .其中其中x x是自变量是自变量. .2.2.相关概念相关概念: :_是二次项系数是二次项系数, , _是一次项系数是一次项系数, _, _是常数项是常数项. .y=axy=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)a ab bc c ( (打打“”或或“
4、”) )(1)(1)函数函数y=axy=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数) )是二次函数是二次函数. .( )( )(2)(2)函数函数y=(x+1)y=(x+1)2 2-(x-1)-(x-1)2 2是二次函数是二次函数. .( )( )(3)(3)在函数在函数y=-2(x-2)y=-2(x-2)2 2中中, ,二次项的系数是二次项的系数是-2,-2,没有一次项没有一次项, ,常数常数项是项是-2.-2.( )( )（4 4）函数）函数y= y= 是二次函数是二次函数. .（ ）2xx知识点知识点 1 1 二次函数的有关概念二次函数的有关概念【例例1 1】下列
5、函数中，哪些是二次函数？下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=5x+1.(2)y=4x(1)y=5x+1.(2)y=4x2 2-1.(3)y=-(x-1)-1.(3)y=-(x-1)2 2. .(4)y=(x+2)(4)y=(x+2)2 2-x-x2 2.(5)y=2x.(5)y=2x2 2-x+ .-x+ .23x【解题探究解题探究】1.1.二次函数需满足哪三个条件？二次函数需满足哪三个条件？提示提示: :（1 1）关系式：函数关系式是关于自变量的整式）关系式：函数关系式是关于自变量的整式. .（2 2）系数：二次项系数不为零）系数：二次项系数不为零. .（3 3）次数：自变量的最高次数为）
6、次数：自变量的最高次数为2.2.2.2.根据二次函数关系式的要求可以判断根据二次函数关系式的要求可以判断_不是二次函数不是二次函数. .3.3.根据次数的要求可以判断根据次数的要求可以判断_不是二次函数不是二次函数. .4.4.综合综合1 1，2 2，3 3可以得到可以得到_是二次函数是二次函数. .（5 5）（1 1），（），（4 4）（2 2），（），（3 3）【互动探究互动探究】当二次项的系数为字母或含有字母的代数式时当二次项的系数为字母或含有字母的代数式时, ,能否直接判断其是否为二次函数能否直接判断其是否为二次函数? ?提示提示: :不能不能, ,若没有明确字母的取值若没有明确字母的
7、取值, ,需要对字母的取值进行讨需要对字母的取值进行讨论论. .【总结提升总结提升】二次函数判断的二次函数判断的“三步骤三步骤”知识点知识点 2 2 列二次函数关系式列二次函数关系式【例例2 2】某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园其中一边靠墙，另外三边用长为园其中一边靠墙，另外三边用长为30 m30 m的篱笆围成已知墙的篱笆围成已知墙长为长为18 m18 m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.x m.（1 1）若平行于墙的一边的长为）若平行于墙的一边的长为a ma m，直接写出，
8、直接写出a a与与x x之间的函数之间的函数关系式及其自变量关系式及其自变量x x的取值范围的取值范围. .（2 2）设苗圃园的面积为）设苗圃园的面积为y y，求，求y y与与x x之间的函数关系式，并指明之间的函数关系式，并指明函数的类型函数的类型. .（3 3）当这个苗圃园的面积为）当这个苗圃园的面积为88 m88 m2 2时，求时，求x x的值的值 【思路点拨思路点拨】应用矩形的周长、面积的计算公式应用矩形的周长、面积的计算公式, ,表示出函数表示出函数关系式关系式, ,求自变量的取值范围时求自变量的取值范围时, ,注意墙长注意墙长18m18m的限制条件的限制条件, ,求求x x的值时的
9、值时, ,注意自变量的取值范围注意自变量的取值范围. .【自主解答自主解答】(1)a=30-2x(6x15).(1)a=30-2x(6x15).(2)(2)设矩形苗圃园的面积为设矩形苗圃园的面积为y,y,则则y y与与x x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y=xa=x(30-2x)=-2xy=xa=x(30-2x)=-2x2 2+30 x.+30 x.所以所以y y是是x x的二次函数的二次函数. .(3)(3)把把y=88y=88代入函数关系式得代入函数关系式得-2x-2x2 2+30 x=88,+30 x=88,解得解得:x:x1 1=11,x=11,x2 2=4,=4,又因为又因为6
10、x15,6x15,所以所以x=4x=4不符合题意不符合题意, ,舍去舍去. .所所以以x=11.x=11.【总结提升总结提升】根据实际问题列二次函数关系式的根据实际问题列二次函数关系式的“三注意三注意”1.1.认真审题认真审题, ,明确题中关键词语的意义及几何图形的结构特征明确题中关键词语的意义及几何图形的结构特征. .2.2.分清题目中的自变量和函数的关系分清题目中的自变量和函数的关系. .3.3.依据常见问题中的数量关系及几何图形中的计算公式依据常见问题中的数量关系及几何图形中的计算公式, ,明确明确变量之间的关系变量之间的关系, ,列出关系式列出关系式. .题组一题组一: :二次函数的有
11、关概念二次函数的有关概念1.1.下列函数不属于二次函数的是下列函数不属于二次函数的是( )( )A.y=(x-1)(x+2)A.y=(x-1)(x+2)B.y= (x+1)B.y= (x+1)2 2C.y=2(x+3)C.y=2(x+3)2 2-2x-2x2 2D.y=1- xD.y=1- x2 2123【解析解析】选选C.C.把每一个函数式整理为一般形式，把每一个函数式整理为一般形式，A.y=(x-1)(x+2)=xA.y=(x-1)(x+2)=x2 2+x-2+x-2，是二次函数；，是二次函数；B.y= (x+1)B.y= (x+1)2 2= x= x2 2+x+ +x+ ，是二次函数；，
12、是二次函数；C.y=2(x+3)C.y=2(x+3)2 2-2x-2x2 2=12x+18=12x+18，是一次函数；，是一次函数；D.y=1- xD.y=1- x2 2=- x=- x2 2+1+1，是二次函数，是二次函数. .12121233【归纳整合归纳整合】二次函数的判断二次函数的判断所有的二次函数都可以化为所有的二次函数都可以化为y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a a，b b，c c是常数，是常数，a0a0）的形式）的形式. .若给出的函数关系式较复杂，则先化为一般若给出的函数关系式较复杂，则先化为一般形式，再根据二次函数的定义进行判断形式，再根据二次函数的定义进行判断.
13、 .2.2.下列函数：下列函数：y=2xy=2x1 1；y=y= ；y=xy=x2 2+8x+8x2 2；y= y= ；y= y= ；y= y= 中，其中中，其中y y是是x x的二次函数的是的二次函数的是_（填序号）（填序号）5x33x12xax【解析解析】y=2xy=2x1 1是一次函数；是一次函数；y=y= 是反比例函数；是反比例函数；y=xy=x2 2+8x+8x2 2是二次函数；因为是二次函数；因为y= y= 中中 不是整式，故不是整式，故y= y= 不是二次不是二次函数；函数；y= y= 是反比例函数；是反比例函数；y= y= 没有给出没有给出a0a0， 不是整式，不是整式，所以所
14、以y= y= 不是二次函数不是二次函数答案答案: :5x33x33x33x12xaxaxax3.3.在二次函数在二次函数y=-xy=-x2 2+1+1中中, ,二次项系数、一次项系数、常数项的二次项系数、一次项系数、常数项的和为和为. .【解析解析】根据题意根据题意, ,二次项系数、一次项系数、常数项分别是二次项系数、一次项系数、常数项分别是 -1,0,1,-1,0,1,其和为其和为:-1+0+1=0.:-1+0+1=0.答案答案: :0 04.4.请写出一个符合以下条件的请写出一个符合以下条件的y y关于关于x x的二次函数的关系式的二次函数的关系式: :(1)(1)二次项系数是一次项系数的
15、二次项系数是一次项系数的2 2倍倍, ,常数项为任意值常数项为任意值. .(2)(2)二次项系数为二次项系数为-5,-5,一次项系数为常数项的一次项系数为常数项的3 3倍倍. .【解析解析】答案不唯一答案不唯一, ,根据二次函数的定义确定关系式根据二次函数的定义确定关系式. .(1)y=4x(1)y=4x2 2+2x-1.+2x-1.(2)y=-5x(2)y=-5x2 2+3x+1.+3x+1.5.5.若函数若函数y=(my=(m2 2-1)x-1)xm m2 2-m-m为二次函数为二次函数, ,求求m m的值的值. .【解析解析】因为该函数为二次函数因为该函数为二次函数, ,所以所以解得解得
16、:m=2:m=2或或-1,-1,解得解得:m1:m1且且m-1.m-1.所以所以m=2.m=2.22mm2 ,m10 , 题组二题组二: :列二次函数关系式列二次函数关系式1.1.下列函数关系中下列函数关系中, ,可以看成二次函数可以看成二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)模型模型的是的是( () )A.A.在一定的距离内汽车行驶的平均速度与行驶时间的关系在一定的距离内汽车行驶的平均速度与行驶时间的关系B.B.我国人口年自然增长率为我国人口年自然增长率为1%,1%,这样我国人口总数与年份的关这样我国人口总数与年份的关系系C.C.竖直向上发射的信号弹竖直向上发射的信
17、号弹, ,从发射到落回地面从发射到落回地面, ,信号弹的高度信号弹的高度(h)(h)与时间与时间(t)(t)的关系的关系( (不计空气阻力不计空气阻力, ,其关系式为其关系式为h=vh=v0 0t-4.9tt-4.9t2 2, ,其中其中v v0 0为发射信号弹的初速度为发射信号弹的初速度) )D.D.圆的周长与圆的半径之间的关系圆的周长与圆的半径之间的关系【解析解析】选选C.A.C.A.距离一定距离一定, ,汽车行驶的平均速度与行驶的时间汽车行驶的平均速度与行驶的时间的积是常数的积是常数. .在距离一定时在距离一定时, ,平均速度与时间成反比例关系平均速度与时间成反比例关系; ;B.B.设原
18、来的人口是设原来的人口是a,xa,x年后的人口数是年后的人口数是y,y,则则y=a(1+1%)y=a(1+1%)x x, ,不是二不是二次函数关系次函数关系; ;C.C.竖直向上发射的信号弹竖直向上发射的信号弹, ,从发射到落回地面从发射到落回地面, ,信号弹的高度信号弹的高度h h与时间与时间t t的关系的关系( (不计空气阻力不计空气阻力) )是二次函数是二次函数; ;D.D.设半径是设半径是r,r,则周长则周长c=2r,c=2r,是一次函数关系是一次函数关系. .2.2.在半径为在半径为4cm4cm的圆中的圆中, ,挖去一个边长为挖去一个边长为xcmxcm的正方形的正方形, ,剩下部分剩
19、下部分面积为面积为ycmycm2 2, ,则关于则关于y y与与x x之间的函数关系式为之间的函数关系式为( () )A.y=xA.y=x2 2-4y-4y B.y=16-x B.y=16-x2 2C.y=16-xC.y=16-x2 2 D.y=x D.y=x2 2-4y-4y【解析解析】选选B.B.圆的面积是圆的面积是16cm16cm2 2, ,正方形的面积是正方形的面积是x x2 2cmcm2 2, ,则则y y与与x x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y=16-xy=16-x2 2. .3.3.把一根长为把一根长为50cm50cm的铁丝弯成一个长方形的铁丝弯成一个长方形, ,设这个长
20、方形的一设这个长方形的一边长为边长为xcm,xcm,面积为面积为ycmycm2 2, ,则则y y与与x x之间的函数关系式为之间的函数关系式为( () )A.y=-xA.y=-x2 2+50 x+50 x B.y=x B.y=x2 2-50 x-50 xC.y=-xC.y=-x2 2+25x+25x D.y=-2x D.y=-2x2 2+25+25【解析解析】选选C.C.设这个长方形的一边长为设这个长方形的一边长为xcm,xcm,则相邻另一边长为则相邻另一边长为(25-x)cm,(25-x)cm,则长方形的面积则长方形的面积y=x(25-x)=-xy=x(25-x)=-x2 2+25x.+2
21、5x.4.4.如图如图, ,ABCABC和和DEFDEF是全等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形,ABC=DEF ,ABC=DEF =90=90,AB=4cm,BC,AB=4cm,BC与与EFEF在直线在直线l上上, ,开始时开始时C C点与点与E E点重合点重合, ,让让ABCABC沿直线沿直线l向右平移向右平移, ,直到直到B B点与点与E E点重合为止点重合为止, ,设设ABCABC与与DEFDEF的重叠部分的重叠部分( (即图中阴影部分即图中阴影部分) )的面积为的面积为ycmycm2 2,CE,CE的长度为的长度为xcm,xcm,则则y y与与x x之间的函数关系式为之间的函数关
22、系式为. .【解析解析】由题意得由题意得, ,重叠的部分为等腰直角三角形重叠的部分为等腰直角三角形, ,且自变量的且自变量的取值范围是取值范围是0 x4,0 x4,所以所以y y与与x x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y= xy= x2 2. .答案答案: :y= xy= x2 2(0 x4)(0 x4)12125.5.用一根长为用一根长为800 cm800 cm的木条做一个长方形窗框，若窗框的宽为的木条做一个长方形窗框，若窗框的宽为x cmx cm，写出它的面积，写出它的面积y y与与x x之间的函数关系式，并判断之间的函数关系式，并判断y y是是x x的二的二次函数吗？次函数吗？【解析解析】由题意得，矩形的周长为由题意得，矩形的周长为800 cm,800 cm,矩形的长为矩形的长为 cmcm，y=xy=x =-x=-x2 2+400 x(0+400 x(0 x x400).400).y y是是x x的二次函数的二次函数. .8002x28002x2【想一想错在哪？想一想错在哪？】若函数若函数 是关于是关于x x的二次函数的二次函数, ,求求m m的值的值. .提示提示: :忽视了二次函数对二次项系数不为忽视了二次函数对二次项系数不为0 0的要求的要求. .2m2m 1ym3 xmx1