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1、精选优质文档-倾情为你奉上2014年江苏高考数学试题数学试题参考公式:圆柱的侧面积公式:S圆柱=cl, 其中c是圆柱底面的周长，l为母线长.圆柱的体积公式:V圆柱=Sh,其中S是圆柱的底面积，h为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1已知集合，则 【答案】2已知复数(i为虚数单位)，则z的实部为 【答案】213右图是一个算法流程图，则输出的n的值是 【答案】54从这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 【答案】5已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是 【答案】6为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中
2、60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100 cm【答案】247在各项均为正数的等比数列中，若，则的值是 【答案】48设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是 【答案】9在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为 【答案】10已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是 【答案】11在平面直角坐标系xOy中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是 【答案】12如图，在平行四边形ABCD中，已知，则的值是 【答案】2213已知是定义在
3、R上且周期为3的函数，当时，若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是 【答案】14若的内角满足，则的最小值是 【答案】二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15(本小题满分14 分)已知，（1）求的值；（2）求的值【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力. 满分14分.（1）， ；（2） 16(本小题满分14 分)如图，在三棱锥中，分别为棱的中点已知（1）求证：直线PA平面DEF；（2）平面BDE平面ABC【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面
4、以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.（1）为中点 DEPA平面DEF，DE平面DEF PA平面DEF（2）为中点 为中点 ，DEEF， DE平面ABCDE平面BDE， 平面BDE平面ABC17(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；（2）若，求椭圆离心率e的值【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力. 满分14分.（1），椭圆方程为（2）设焦点关于
5、x轴对称，三点共线，即，即联立方程组，解得 C在椭圆上，化简得，, 故离心率为18(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分.解法一：(1)
6、如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC的斜率k BC=tanBCO=.又因为ABBC，所以直线AB的斜率k AB=.设点B的坐标为(a,b)，则k BC= k AB=解得a=80，b=120. 所以BC=.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0d60).由条件知，直线BC的方程为，即由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以即解得故当d=10时,最大，即圆面积最大. 所以当OM = 1
7、0 m时，圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图，延长OA, CB交于点F.因为tanBCO=.所以sinFCO=，cosFCO=.因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tanFCO=.CF=,从而.因为OAOC，所以cosAFB=sinFCO=，又因为ABBC，所以BF=AF cosAFB=，从而BC=CFBF=150.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MDBC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，OM=d m(0d60).因为OAOC，所以sinCFO =cosFCO，故由(1)知，sinCFO =所以.因为O和A到圆M上任意一
8、点的距离均不少于80 m,所以即解得故当d=10时,最大，即圆面积最大.所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.19(本小题满分16分)已知函数其中e是自然对数的底数（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在，使得成立试比较与的大小，并证明你的结论【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1），是上的偶函数（2）由题意，即，即对恒成立令，则对任意恒成立，当且仅当时等号成立（3），当时，在上单调增令，即在上单调减存在，使得，即设，则当时，单
9、调增；当时，单调减因此至多有两个零点，而当时，；当时，；当时，20(本小题满分16分)设数列的前n项和为若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.（1）当时，当时，时，当时，是“H数列”（2）对，使，即取得，又，（3）设的公差为d令，对，对，则，且为等差数列的前n项和，令，则当时；当时；当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数
10、，因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”的前项和，令，则对，是非负偶数，即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”因此命题得证.数学(附加题)21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分) 如图，AB是圆O的直径，C、 D是圆O 上位于AB异侧的两点 证明:OCB=D.本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分.证明：因为B, C是圆O上的两点，所以OB=OC. 故OCB=B. 又因为C, D是圆O上位于AB异
11、侧的两点， 故B，D为同弧所对的两个圆周角， 所以B=D. 因此OCB=D.B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵，向量，为实数，若，求的值【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.，由得解得C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线交于两点，求线段AB的长【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.直线l：代入抛物线方程并整理得交点，故D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)已知x0, y0
12、,证明：(1+x+y2)( 1+x2+y)9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.证明：因为x0, y0, 所以1+x+y2，1+x2+y，所以(1+x+y2)( 1+x2+y)=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，随机变量X表示中的最大数，
13、求X的概率分布和数学期望22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.（1）一次取2个球共有种可能情况，2个球颜色相同共有种可能情况取出的2个球颜色相同的概率（2）X的所有可能取值为，则X的概率分布列为X234P故X的数学期望23(本小题满分10分)已知函数，设为的导数，（1）求的值；（2）证明：对任意的，等式成立23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.(1)解：由已知，得于是所以故(2)证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，即，类似可得，.下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.(i)当n=1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立, 即.因为，所以.所以当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.令，可得().所以().专心-专注-专业