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1、 5.3 概率5.3.1 样本空间与事件5.3.2 事件之间的关系与运算第五章统计与概率学习目标1.了解必然现象和随机现象，了解样本点和样本空间的概念及表示.2.了解不可能事件、必然事件及随机事件与样本点的关系，理解概率意义及性质.3.了解事件的包含关系，理解事件的和与积的含义及运算性质.4.了解互斥事件与对立事件的概念，掌握互斥事件概率的加法公式，会用对立事件求概率.重点：求样本空间及样本点，互斥事件与对立事件的概率.难点：理解事件之间的关系与运算，利用互斥事件的概率加法公式解题.知识梳理1. 样本点和样本空间我们把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验（简称为试验）.例如，
2、抛一枚硬币、掷一个均匀的骰子等，都可以看成随机试验.我们把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间（通常用大写希腊字母表示）.2.2.随机事件 (1) (1)随机事件的概念如果随机试验的样本空间为，则随机事件A是的一个非空真子集.而且若试验的结果是A中的元素，则称A发生；否则，称A不发生.显然，任何一个随机事件既有可能发生，也有可能不发生.任何一次随机试验的结果，一定是样本空间中的元素，因此可以认为每次试验中一定发生，从而称为必然事件；又因为空集不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中一定不发生，从而称为不可能事件.一般地，不可能事件、随机事件、必然事
3、件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，来表示.事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的维恩图来直观表示.特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件.(2)随机事件发生的概率事件发生的可能性大小可以用该事件发生的概率（也简称为事件的概率）来衡量，概率越大，代表越有可能发生.事件A发生的概率通常用P（A）表示.我们将不可能事件发生的概率规定为0，将必然事件发生的概率规定为1，即P（）0，P（）1.对于任意事件A来说，显然应该有P（）P（A）P（），因此P（A）应该满足不等式 0P（A）1.3. 事件的包含与相等一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”（或“B包含
4、A”），记作AB这一关系可用图表示.A B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件.如果A B，根据定义可知，事件A发生的可能性不比事件B发生的可能性大，直观上我们就能得到P（A）P（B）. 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作AB. 不难看出AB等价于A B且B A.AB也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充要条件.显然，当AB时，应该有P（A）P（B）.4.事件的和（并）给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并），记作A+B（或AB）.事件A与B的和
5、可以用如图所示的阴影部分表示.按照定义可知，事件A+B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生. 不难看出，A （A+B）且B （A+B），因此P（A）P（A+B）且P（B）P（A+B），而且，直观上可知P（A+B）与P（A）+P（B）的大小关系为P（A+B）P（A）+P（B）.5.事件的积（交）给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交），记作AB（或AB）.事件A与B的积可以用如图所示的阴影部分表示.图按照定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生.类比P（A+B）与P（A）的情况，得出P（AB）与P（A）的大小关系，以及P（AB）与P（B）的大
6、小关系：P（AB）P（A），P（AB）P（B）.事件的和、积可以类似地推广到有限多个的情形.7.事件的混合运算事件的三种运算：求两个事件的和，求两个事件的积，求一个事件的对立事件.因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算 题型一样本点和样本空间例1题将一颗骰子先后抛掷两次，求（1）一共有几个样本点；（2）“出现点数之和大于7”包含几个样本点.常考题型（方法（方法三三.树形图树形图法）法）：一颗骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图直接表示如图所示：（1）由图知，共36个样本点.（2）“点数之和大于7”包含15个样本点（已用“”标出）. 题型三互斥事件与对立事件的判断例32019河
7、北张家口校级月考某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列事件是否是互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.【解题提示】判断两个事件是否互斥，就是判断它们在一次试验中是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就是判断它们在一次试验中是否必有一个发生.【解】（1）由于事件C“至多订一种报”中有可能“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一
8、种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件.由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.（3）事件B“至少订一种报”中有可能“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，即事件B发生，事件D也有可能发生，故B与D不是互斥事件.（4）事件B“至少订一种报”中有如下可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”，事件C“至多订一种报”中有如下可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.（5）由（4）的分析，事件E“一种报也不订”是事件C的一种可能，所以事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件.【归纳总结】若事件A与事件B互为
9、对立事件，那么A、B为互斥事件，且AB为必然事件，所以P（AB）P（A）+P（B）1，即P（A）1-P（B）.应特别注意：两个事件互斥未必对立，但对立一定互斥.只有事件A，B互斥时，才有公式P（AB）P（A）+P（B）.P（A）+P（B）1，则事件A与事件B不一定对立，因为事件A与事件B不一定互斥.例如：掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P（A）+P（B）1.但是事件A与事件B不互斥，显然也不对立.训练训练题题3（1）2019浙江温州高一月考从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：恰有一个数是奇数和恰有一个数是偶数；至少
10、有一个数是奇数和两个数都是奇数；至少有一个数是奇数和两个数都是偶数；至少有一个数是奇数和至少有一个数是偶数.其中，为互斥事件的是（） A. B. C. D.（2）2019广东珠海高一检测一人在练习射击时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（） A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶小结1.1.随机试验的所有基本事件构成基本事件空间，基本事件空间中随机试验的所有基本事件构成基本事件空间，基本事件空间中作为作为 集合集合的所有非空真子集都是随机事件。的所有非空真子集都是随机事件。2 2. .随机事件的运算律类似于集合的运算律，学习是要经常的进行随机事件的运算律类似于集合的运算律，学习是要经常的进行对比对比才能正确地记忆它们的关系。才能正确地记忆它们的关系。3.3.从集合的角度讲，互斥事件的交集为空集，即两个事件的基本事件从集合的角度讲，互斥事件的交集为空集，即两个事件的基本事件没有公共部分。对立事件是特殊的互斥事件，两个互为对立事件的没有公共部分。对立事件是特殊的互斥事件，两个互为对立事件的概率的和等于概率的和等于1 1，反过来概率和为，反过来概率和为1 1的两个事件如果不是互斥事件，的两个事件如果不是互斥事件，就不是对立事件就不是对立事件。