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1、第二节 平面图形的面积n一、直角坐标系情形n二、极坐标系情形n三、小结xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12一、直角坐标系情形xxxx x 例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 2 2 计计算算由
2、由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？x例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和
3、直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有连续导数，具有连续导数，)(ty 连续连续.例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭
4、圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 设由曲线设由曲线)( r及射线及射线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( 在在, 上连续，且上连续，且0)( xo d d 面积元素面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA 二、极坐标系情形)( r例例 5 5 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积.解解由对称性知总面积由对称性知总面
5、积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A例例 6 6 求心形线求心形线)cos1( ar所围平面图形的所围平面图形的面积面积)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）三、小结
6、思考题思考题 设曲线设曲线)(xfy 过原点及点过原点及点)3 , 2(，且，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与与x轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积是另一条平围成的面积是另一条平行线与行线与y轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积的两围成的面积的两倍，求曲线方程倍，求曲线方程.思考题解答思考题解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 两边同时对两边同时对 求导求导xyxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 , 2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为所以所求曲线为.223xy