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1、, 6.1 矩阵的概念, 6.2 矩阵运算, 6.3 矩阵的初等行变换与矩阵的秩,学习目标,教学建议,第六章 矩阵与线性方程组, 6.4 线性方程组的消元解法,一. 非齐次线性方程组的消元解法,二. 线性方程组解的判定,6.4 线性方程组的消元解法,一. 非齐次线性方程组的消元解法,设含有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,若常数项 , , , 全为零,即,则称此方程组为齐次线性方程组.,齐次线性 方程组,增广矩阵,A,b,对于非齐次线性方程组AX=b ,bO. 和,齐次线性方程组AX=O.,要解决如下三个问题,(2) 若有解, 是否是唯一解?,(3) 如何求方程组的解?,用消元法解下列非
2、齐次线性方程组,方程组,增广矩阵,方程乘上数(-2)、(-1)加到方程和方程上, 得,(未完待续),案 例,解案例(方程组与增广矩阵对照演示),方程组,增广矩阵,把方程乘上 ,得,把上述矩阵的第3行乘上 ,得,(未完待续),解案例(方程组与增广矩阵对照演示),方程组,增广矩阵,交换方程和方程的位置,得,交换上述矩阵的第2行和第3行,得,(未完待续),方程组,增广矩阵,为消去方程未知量,将方程乘上数3加到方程上,得,将上述矩阵的第2行乘上数3加到第3行上,得,阶梯形 方程组,阶梯形矩阵,(未完待续),方程组,增广矩阵,(未完待续),将上述矩阵第3行分别乘上数2、(-1),加到第2行和第1行上,得
3、,将 代入前两个方程,即将方程分别乘上数2、(-1)加到方程和方程上,得,方程组,增广矩阵,(完),将 代入前一个方程,即将方程乘上数(-3)加到方程上,得,将上述矩阵第2行乘上数(-3)加到第1行上,得,原方程 组的解,简化阶梯形矩阵,唯一解,用消元法求解线性方程组过程对照,方程组,增广矩阵,解线性方程组:,(未完待续),练习1,(1)将线性方程组的增广,解,(未完待续),练习1,(1)将线性方程组的增广,续解,0=0.,(未完待续),练习1,续解,简化阶梯 形矩阵,(未完待续),练习1,续解,该方程组可写成,(完),练习1,续解,该方程组可写成,若取,则原方程组的解是,其中,为任意常数.,
4、原方程组有 无穷多组解,线性方程组的一般解,解线性方程组:,(未完待续),练习2,解,并对其施行初等行变换,化为阶梯形矩阵.,(完),练习2,续解,并对其施行初等行,变换,化为阶梯形矩阵.,矛盾方程,原方程组 无解,案例中:,A,原方程组 有唯一解,(未完待续),(完),A,练习1中:,原方程组有 无穷多组解,A,练习2中:,原方程组 无解,二. 线性方程组解的判定,设含有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,非齐次线 性方程组,或用矩阵表示,AX=b .,有解,这时,自由未知量的个数为n-r.,(1)当r=n(未知量的个数)时,有唯一解;,(2)当rn时,有无穷多解,方程组:,(未完待续)
5、,练习3,解,并对其施行初等,写出方程组,行变换.,解线性,(未完待续),练习3,续解,并对其施行初等,写出方程组,行变换.,(未完待续),练习3,续解,并对其施行初等,写出方程组,行变换.,原方程组有 无穷多组解,自由未知量的个数为53=2.,(未完待续),练习3,续解,并对其施行初等,写出方程组,行变换.,(完),练习3,续解,若取,则方程组的一般解为,其中,为任意常数.,原方程组有无穷多 组解,方程组:,(未完待续),练习4,解 (1),已知线性,(2)当方程组有解时,求出它,为什么?,的一般解.,(未完待续),练习4,续解 (1),方程组有解.,当,此时,(2),简化阶梯形矩阵,(完)
6、,练习4,续解 (2),所以原线性方程组有无穷多解,且含1个自由未知量.,因为,若取,则方程组的一般解为:,方程组有无穷多 组解,二. 线性方程组解的判定,设含有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,齐次线 性方程组,用矩阵表示,AX=O .,一定有零解,这时,自由未知量的个数为n-r(A).,(1)当r(A)=n(未知量的个数)时,仅有零解;,(2)当r(A)n时,有非零解,由此可知,当方程的个数m小于未知量个数n 时,方程组一定有非零.,r(A)n,r(A)=n,方程组:,(未完待续),练习5,解,解线性,所以方程组一定有非零解.,因为方程组中方程的个数3,小于未知量的个数4,A,(未完待续),练习5,续解,A,简化阶梯形矩阵,(完),练习5,续解,A,由上述简化阶梯形矩阵知,简化阶梯形矩阵,若取,则方程组的一般解为,其中,为任意常数.,原方程组有无穷多 组解,