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1、, 7.1 随机事件, 7.2 事件的概率及概率的加法公式, 7.3 概率的乘法公式与事件的独立性,学习目标,教学建议,第七章 概率的基本知识及其应用, 7.4 随机变量与离散型随机变量, 7.5 连续型随机变量, 7.6 随机变量的数字特征,一. 数学期望(均值),7.6 随机变量的数字特征,二. 方差,三.常见分布的期望和方差,引言,随机变量的分布能完整地描述随机变量的概率性质,但一般情况下随机变量的分布比较难以得到.,比如,可用某个学生多次考试的平均分数和与全班平均分数的偏离程度来代表该生的学习成绩.,在许多实际问题中,我们往往并不需要知道有关随机变量分布的完整信息,只要知道它的某些特征
2、就够了.,常把描述随机变量取值的“平均数”和“偏离程度”等这样的一些量叫做随机变量的数字特征.,案例1,试问哪个学生数学成绩好些？,70,80,90,3,5,5,2,2,3,案例1 分析,乙学生的平均成绩,一. 数学期望(均值),乙学生的平均成绩,案例1 分析(续),则,定义7.8,各自的相应概率为权(即占的比重)的加权平均值.,与其相应的概率 乘积之和,称为随机变量 的数学期望,记作,练习1,的数学期望为,(元),100000元的概率为0.001,赔偿10000元的概率为0.005,赔偿5000元的概率为0.05,赔偿1000元的概率为0.1,若不计其他费用,保险公司预期平均从每个被保人身上
3、盈利100元,试问每年应向每个被保险人收取保险费多少元?,保险公司对机动车进行保险.设已知每年对保险人赔偿,(元),练习1,100000元的概率为0.001,赔偿10000元的概率为0.005,赔偿5000元的概率为0.05,赔偿1000元的概率为0.1,若不计其他费用,保险公司预期平均从每个被保人身上盈利100元,试问每年应向每个被保险人收取保险费多少元?,保险公司对机动车进行保险.设已知每年对保险人赔偿,(续),练习2,其它.,解,二. 方 差,案例2,其使用寿命(h)的概率分布如下( 表示甲厂生产的显像管的使用寿命, 表示乙厂生产的显像管的使用寿命):,案例2 分析,案例2 分析(续),
4、结果表明,甲、乙两厂显像管的平均使用寿命的相等.,那么这两个厂显像管的质量是否完全相同?,案例2 分析(续),占80%,占60%,但离差有正有负.,为,的离差.,定义7.9,的附近时,方差较小,否则,方差较大.即方差越小,说明随机变量,附近,对产品质量而言,产品的质量越,的取值越集中于,稳定.,记作,称为 的方差.,即,称为 的均方差或标准差.,则,离散型,则 的方差为,连续型,求案例2 的方差,练习2,类似地,可求得,由于,由于,所以,该结论与上述分析结果一致.,所以甲厂显像管的质量比乙厂稳定.,二. 方 差,数学期望(均值)刻画了随机变量平均取值状况,而方差则描述了随机变量取值的分散程度,
5、这两个量反映了随机变量重要的概率特征,称为随机变量的数字特征.,取值在其中心附近离散程度的一个数字特征.,变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征.,通过方差,可以判断均值相同的随机变量的取值情况.,它是刻划随机变量,它反映了随机,练习3,试比较下列两项目的投资风险.,经济情况,繁荣,正常,衰退,概率,A项目预期报酬率,B项目预期报酬率,0.3,0.4,0.3,90%,15%,-60%,15%,20%,10%,B项目的期望报酬率为:,A项目的期望报酬率为:,(未完待续),经济情况,繁荣,正常,衰退,概率,A项目预期报酬率,B项目预期报酬率,0.3,0.4,0.3,90%,15%,-60%,15%,20%,10%,B项目的方差为:,A项目的方差为:,在两项目期望报酬率相同的情况下, A项目的方差大,即报酬率不稳定,故投资A项目的风险比项目B大.因此,应选择项目B.,(完),三. 常见分布的期望和方差,求两点分布的期望和方差.,练习4,故,则,两点分布的分布列为,同样可以求出,练习5,解,均匀分布的密度函数为,其它.,于是,因为,(未完待续),练习5,续解,均匀分布的密度函数为,其它.,因为,所以,(完),同样可以求出,