《§52 二元函数的极值.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§52 二元函数的极值.ppt（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、, 5.1 偏导数, 5.2 二元函数的极值, 5.3 条件极值,学习目标,教学建议,第五章 多元函数微分学,一. 二元函数的极值,二. 最大值与最小值的应用问题,三. 最小二乘法,5.2 二元函数的极值,一. 二元函数的极值,(1)若有,设函数 在点 及其邻近有定义, 是其中异于 的任意一点:,则称 是函数,的极大值点,称 是函数 的极大值.,(2)若有,则称 是函数,的极小值点,称 是函数 的极小值.,函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点; 函数的极大值与极小值统称为函数的极值.,例如,对函数,是其极大值点,点,是极大值.,这是因为在点 及其邻近,对异于点 的任意一点 ,都有,又如,
2、是其极小值点,对函数,点,是其极小值.,这是因为在点 及其邻近,除原点 以外的函数值均为正:,若函数 在点 偏导数存在且,是极值点,则,通常把满足条件 的点 称为函数 的驻点 .,注意,若函数 存在偏导数,则函数的极值只能在驻点取得.但驻点并不都是极值点.,例如,函数,点 是其驻点,且 .但点 不是极值点.,因为在点 的邻近,当 时,函数 取正值 ,当 时,函数 取负值 ,若函数 在点 及其邻近具有一阶和二阶连续偏导数,且满足,记,(1) 当 时,点 是函数的极值点:,(i) 若 (或 ),则点 是函数 的极大值点;,(ii) 若 (或 ),则点 是函数 的极小值点;,(2) 当 时,点 不是
3、函数 的极值点;,(3) 当 时,不能判定点 是否为函数 的极值点.,(4) 求出函数的极值.,求 的二 阶偏导数,并计算 其在驻点处 、 、 的值；,若是,再按 (或 )的 符号判定是极大值点 还是极小值点.,确定函数的全部驻点;,练习1,解,(1)求函数的偏导数,并解方程组确定驻点.,求函数,的极值.,由,(2) 算出二阶偏导数在驻点的值.,因,对于点,对于点,练习1,解,求函数,的极值.,对于点,对于点,(3) 判定驻点是否为极值点:,且,是极大值点.,故点,极大值为,案例1,二.最大值与最小值的应用问题,才能使所用材料最少?,分析,利用函数的极值可以求函数的最大值与最小值.,对于实际应
4、用问题,若已经知道或能够判定函数在其定,箱子的容积一定,而使所用材料最少,这就是使箱子的,解,依题设,设箱子的长为 ,宽为 ,高为 .,则,于是,箱子的表面积,案例1,解,设箱子的长为 ,宽为 ,高为 .,于是,箱子的表面积,这是求二元函数的极值问题.,由,可解得,依实际问题可知,箱子的表面积一定存在最小值.而在函数的定义域,取最小值.,内有唯一的驻点 .,综上,当箱子的长为,子所用的材料最少.,宽为,高为,该案例表明,在容积一定的长方体中,时,做箱,立方体的表面积最小.,练习2,解,某工厂生产甲、乙两种产品,出售单价分别为10元与9元.,问:甲、乙两种产品的产量分别为多少时,可使该工厂的总利
5、润最大?,(元).,用 表示生产 单位的产品甲与生产 单位的产品乙所获得的总利润.依题设,总收益函数,于是,有,练习2,续解,由,可解得,依题设,该问题有最大利润,而总利润函数有唯一驻点,最大的总利润为,故甲、乙两种产品的产量分别120和80时,总利润最大.,练习2,续解,由,可解得,的值进行判定:,且,所以驻点,数取最大值的点.,为极大值点,且唯一,练习3,解,于是,利润函数为,而产品的价格,试求使利润最大的两种要,素的投入水平、产出水平和最大利润,分别为,由极值存在的必要条件,有,解上述方程组得,练习3,续解,设生产函数为,试求使利润最大的两种要,素的投入水平、产出水平和最大利润,依题设,
6、该问题应该有最大利润,而函数有唯一驻点,故当两种,时,利润最大.,此时,产出水平,要素的投入量分别为,案例2,三. 最小二乘法,数据来找出变量间函数关系的近似表达式,这种近似 表达式称为经验公式.,如何根据实验数据确定变量间的函数关系?,在生产实践和科学实验中,常常需要根据实验数据,经验公式,设在一实际问题中两个相依的量,和,经测定得到,对数据:,案例2,如何根据实验数据确定变量间的函数关系?,若这 个点大致呈直线分布,案例2,总偏差 看作以 和 为自变量的二元函数,由极值存在的必要条件,有,所应满足的线性方程组为,点击此处,链接到8.2.,练习4,已知某商店的商品销售利润,关系可用线性函数近似描述.现有如下统计资料(单位:万元),试求该线性函数.,商品进货额,商品销售利润,设所求的线性函数为,解,为了用最小二乘法计算,由已知的10对数据可算出下表中数据:,和,练习4,续解,425,128.5,6446,20373,由表得,练习4,续解,由表得,于是,故,商品进货额,商品销售利润,与,之间的线性函数为,