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1、图像处理与识别图像处理与识别小波变换及应用l小波发展lHaar小波l小波去噪l展望小波发展小波发展l小波分析（Wavelets Analysis）是20世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种新的数学分析方法，它既具有丰富的数学理论意义，又具有广泛的工程应用价值。广泛应用在信号处理、图像处理、语音分析以及其他非线性科学领域.l小波分析是对傅立叶分析（Fourier Analysis）理论最辉煌的继承、总结和重大突破.小波与傅里叶的区别小波与傅里叶的区别l傅立叶分析中，以单个变量（时间或频率）的函数表示信号，因此，不能同时作时域频域分析.l小波分析中，利用联合时间尺度函数分析信号，通过平移和伸缩构造
2、小波基，由于小波同时具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以同时进行时频域分析.傅里叶变换傅里叶变换l这幅图可形象的表示傅里叶变换的不足之处。l如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。频率的四个成分。做做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱（幅值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平稳信号，我们从频谱上值谱）却非常一致。尤其是下边两个非平
3、稳信号，我们从频谱上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。样的，只是出现的先后顺序不同。可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。l短时傅里叶变换（STFT） l如果我们还想知道各个成分出现的时间 ？l一个简单可行
4、的方法就是加窗。把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再傅里叶变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。 l那么问题又来了？那么问题又来了？l我们选择多大的窗口合适呢？我们选择多大的窗口合适呢？l窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差。窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低。这也是一对不可兼得的矛盾体。我们不知道在某个瞬间哪个频率分量存在，我们知道的只能是在一个时间段内某个频带的分量存在。 l短时傅立叶变换(STFT)的核心就是加窗，然后滑动求得联合时频分布.当窗口函数g(t)确定后，STFT的时频窗口就固定不变，与频率无关. STFT是一种单一分
5、辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选定窗函数g(t) .我们不能同时获取信号绝对精准的时刻和频率。对于非稳信号，信号变化剧烈时，主频是高频，要求有较高的时间分辨率( 要小)，信号变化平缓时，主频是低频，要求有较高的频率分辨率(要小). STFT不能同时兼顾两者.小波分析是时间和频率的小波分析是时间和频率的局域变换，采用多分辨率局域变换，采用多分辨率分析的思想，非均匀地划分析的思想，非均匀地划分时频空间分时频空间.通过伸缩和平通过伸缩和平移对信号进行多尺度细化，移对信号进行多尺度细化，可以在不同尺度上来观察可以在不同尺度上来观察信号信号.对低频部分采取较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高
6、频对低频部分采取较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分采取较高的时间分辨率和较低的频率分辨率部分采取较高的时间分辨率和较低的频率分辨率.逐渐精细的时域步长，可以聚焦到被分析信号的任意细节，因而逐渐精细的时域步长，可以聚焦到被分析信号的任意细节，因而它比傅立叶分析更适合处理非平稳信号，被誉为它比傅立叶分析更适合处理非平稳信号，被誉为“数学显微镜数学显微镜”. 三角函数三角函数sin(nt)构成一组完备正交基，所以信号构成一组完备正交基，所以信号f(t)可以用三角函数表示可以用三角函数表示傅里叶变换傅里叶变换.lFourier_series_and_transform (1).gif 小波
7、函数能够构成一组完备正交基，所以信号小波函数能够构成一组完备正交基，所以信号f(t)也可以用小波函数表示也可以用小波函数表示小波变换小波变换.小波变换小波变换 如果e1(t), e2(t), e3(t), , en(t)构成一组完备正交基, 则任何信号f(t)可以表示成：)(.)()()(2211tektektektfnn 1)()(iiitektfn 那那么么如如果果，为什么叫小波？为什么叫小波？小波分析小波分析所用的波所用的波称为小称为小波，小波的能量有限，波，小波的能量有限，有限长且会衰减，有限长且会衰减，集集中在某一点附近中在某一点附近. 即即小波是一种能量在时域非常集中的波小波是一种
8、能量在时域非常集中的波. 小波对于分析瞬时时变信号非常有用小波对于分析瞬时时变信号非常有用. 它有效它有效地地从信号中提取信从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析息，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺度细化分析.l从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率，小波变换有两个变量：尺度a和平移量 。尺度a控制小波函数的伸缩，平移量 控制小波函数的平移。尺度就对应于频率（反比），平移量 就对应于时间。 l某一个尺度下乘出来的结果，就可以理解成信号所包含的当前尺度对应频率成分有多少。其实这样相乘积分也就是计算信号与基函数的相似程度。 则称(t)为一个小波母函数. 设函数 )
9、()()(21RLRLt ，若其FT满足条件: Rd | )( |2CWT（连续小波变换）（连续小波变换）(t) L1(R)意味着小波函数具有衰减性.(t) L2(R)意味着小波函数的能量有限.(t) 满足0)( dttR 意味着小波函数具有波动性.将母函数将母函数(t)作伸缩作伸缩(伸缩因子为伸缩因子为a)和平移和平移(平移因子为平移因子为b)变换，变换，a，bR，且，且a0，得到一个函数簇，得到一个函数簇a,b(t).称称a,b(t)为连续小波为连续小波.)(|)(21,abtatba式中的变量式中的变量a反映函数的尺度反映函数的尺度(或宽度或宽度)，变量，变量b检测沿检测沿t轴的平移位置
10、轴的平移位置. 为什么系数有个| a |2/1-？为了保证在不同尺度a时，)(. atb)(t的能量相同 。)(|)(21,abtatba(t)是母小波，是母小波，a,b(t)是由是由(t)作伸缩和平移得到的连续小波，对任意作伸缩和平移得到的连续小波，对任意信号信号f(t)L2(R)，有，有0,)()(|1,),(,adtabttfafbaWbaf2,)(),(1)(adadbtbaWCtfbaRRf 连续小波变换：连续小波变换：连续小波连续小波反反变换变换：其中，其中，a称称“尺度因子尺度因子”，b称称“平移因子平移因子”. RdC | )( |2连续小波变换的性质连续小波变换的性质线性线性
11、 平移平移 频域特性频域特性),(),()()(21AbAaWAbaWtAftgfg 等内积特性等内积特性能量守恒特性能量守恒特性 )(),()(),(),(, babafFttfbaWdttfCadadbtbaWRbaRRf 22,2|)(|)(| ),(| 具有可变的时间频率窗具有可变的时间频率窗),(),(),()()()(2121baBWbaAWbaWtBftAftffff ),(),()()(00tbaWbaWttftgfg 连续小波的窗口面积是不随参数连续小波的窗口面积是不随参数a，b而变化的，即时频而变化的，即时频窗口的形状变化，而窗口面积固定不变窗口的形状变化，而窗口面积固定不
12、变. CWT具有很大的冗余性，恢复信号的重构方式不是具有很大的冗余性，恢复信号的重构方式不是唯一的，小波函数也可以有很多选择，可以是非正交的唯一的，小波函数也可以有很多选择，可以是非正交的的小波。的小波。 为了减少冗余度，我们可以对尺度因子为了减少冗余度，我们可以对尺度因子a和平移因子和平移因子b按二进的方式进行离散化。按二进的方式进行离散化。相应的小波变换就是离散相应的小波变换就是离散小波变换小波变换.DWT（离散小波变换）（离散小波变换）Zkjktabtatjjkj ,)2(2)(|)(221, 进行二进制离散，得到离散小波变换：进行二进制离散，得到离散小波变换：f(tf(t) )的离散小
13、波变换为的离散小波变换为： RjjfdtkttfkjW)2()(2),(2 )(),()(f,tkjCtkjjkfW 其逆变换为：其逆变换为：离散小波变换的性质：离散小波变换的性质：u随随j j的变化，的变化，j,kj,k (t)(t)在频域上处于不同的频段，随在频域上处于不同的频段，随k k的变化，的变化， j,kj,k (t)(t)在时域上处于不同的时段，所以离散小波变换是一种信在时域上处于不同的时段，所以离散小波变换是一种信号的时间号的时间频率分析频率分析. .u尺度尺度j j增大时，增大时， j,kj,k (t)(t)在时域上伸展，在频域上收缩，中心频在时域上伸展，在频域上收缩，中心频
14、率降低，变换的时域分辨率降低，频域分辨率提高率降低，变换的时域分辨率降低，频域分辨率提高. .u每一个小波基函数每一个小波基函数j,kj,k (t)(t)对应一个小波系数对应一个小波系数W Wf f (j,k(j,k) )，在，在FTFT中，中，则是通过对时间的全域积分得到频谱函数则是通过对时间的全域积分得到频谱函数. .Zkjktabtatjjkj ,)2(2)(|)(221, 把全空间把全空间L2(R)按照分辨率按照分辨率(2j)先分解成一系列嵌套的闭子空间序先分解成一系列嵌套的闭子空间序列列(尺度空间尺度空间) Vj, jZ.如果满足下面五条，则称集合如果满足下面五条，则称集合Vj，jZ
15、为为L2(R)的一个多分辨分析的一个多分辨分析(MRA ).多分辨率分析多分辨率分析( MRA ) : 单调性单调性：1jjVV平移不变性：平移不变性：jjVktfVtf )()(二进制伸缩相关性：二进制伸缩相关性：jjjjVtfVtfVtf21)2(,)2()( 逼近：逼近：0),(2 jjVRLV(5)正交基存在性：存在正交基存在性：存在V0，使得，使得(t n)（nZ）是）是V0的正交基的正交基l由多分辨率分析的定义，多分辨率分析的一系列尺度空间是由同由多分辨率分析的定义，多分辨率分析的一系列尺度空间是由同一尺度函数在不同尺度下张成的，由于一尺度函数在不同尺度下张成的，由于Vj空间相互包
16、含，不具空间相互包含，不具有正交性有正交性。l下面讨论如何构造下面讨论如何构造L2(R)的正交小波的正交小波(t) 。由于由于Vj , jZ不是不是L2(R)的正交分解，所以不能从的正交分解，所以不能从j,k(t)得到得到L2(R)的规范正交的规范正交基，为了使基，为了使f(t)L2(R)中的函数能在新的正交基下展开，中的函数能在新的正交基下展开，MRA通过正交补的办通过正交补的办法，从法，从Vj , jZ构造出构造出L2(R)的正交小波子空间的正交小波子空间Wj, jZ，使得，使得L2(R)得到正得到正交分解交分解.12)( jjjjVWVWRL即即：L2(R)的塔式分解如下的塔式分解如下：
17、01010011,WWVWWVWV,)2(22ZkjktspanVjjj,)2(22ZkjktspanWjjj称称“小波空间小波空间”.称称“尺度空间尺度空间”.HaarHaar小波小波下边就用最简单的基函数Haar函数来举例：other, 010, 1)(ttZkkkktaktaktt)()()()(组合伸缩平移用这个来表示V0空间。若需要分析高频信号，则可以对haar小波进行二进压缩，再平移组合来近似模拟原始信号。即：Zkkkktaktaktt)2 ( )2 ()2 ()2 (组合伸缩平移若需要分析更高频信号，则可以对haar小波进行多次二进压缩，再平移来近似模拟原始信号。即Vj：用这个来
18、表示V1空间。 Zkjkjkjktaktaktt)2( )2()2()2(j组合伸缩平移根据实际频率情况来选择压缩大小，也就是选择j。频率越大，对应的j就越大，反之越小。由上三式可知，它们之间是有一定包含关系的：即jVVV10函数集：是Vj的一个标准正交基。Zkkj ),t2(22/ j图中的尖峰就表示噪声部分，也是我们想要去除的部分，随着j的增大，分辨率越高，)2(tj就越接近噪声成分，由haar小波可知，它所表示的宽度为j21所以，为了滤除噪声部分，我们需要很高的分辨率，也就需要很大的j，但在低频部分，我们不需要太高的分辨率，就可以表示信号，所以我们需要一种孤立的属于Vj的但不属于Vj-1
19、的尖峰函数，这就是小波函数.(t)是是V1的成员，可以表示成：的成员，可以表示成：Rlltatl),2()(t)与与V0正交，即对所有整数正交，即对所有整数k：小波函数的构造方法就是把小波函数的构造方法就是把Vj分解成分解成Vj-1及其正交补及其正交补.首先确定首先确定V0的正交补：因为的正交补：因为V0是由函数是由函数 (t)及其平移系列所构成，及其平移系列所构成，以希望以希望V0的正交补也是由某个函数的正交补也是由某个函数 (t)及其平移系列所构成及其平移系列所构成.0)2()(dtkttHaar小波函数：小波函数：11)2()(Vktatfkk当且仅当,2301aaaa 时f1(t)与V
20、0正交. 即f1(t)与每一个 (t-m)，mZ正交. 令W0是由下列函数构成的空间：Zkkkta)(说明当且仅当V1中某一函数具有形式时，该 函数与V0正交.RaktakZkk )( ZkkZkkktaktktatf)( )122()22()(221W0是V0的正交补，即V1=V0 W0) 12()2()(ttt Wj是由函数构成的空间.RaktakZkjk )2( jjjVWV1不断分解VjVj-1，得到002122111. . VWWWVWWVWVjjjjjjjj Wj是Vj的正交补，有Vj分解为V0与Wl的直和(0 l j).当当 l足够大时，足够大时，Wl表示的尖峰与信号中的噪声相似
21、表示的尖峰与信号中的噪声相似. 为了滤除为了滤除噪声，可以把这些项设定为噪声，可以把这些项设定为0，其余部分表示的信号与原信号，其余部分表示的信号与原信号非常相近，就可消除噪声。非常相近，就可消除噪声。Zlltatffjlj)2()(用阶梯函数 f j 近似表示原函数 f即对信号进行采样。Haar分解分解)()(21) 12( )()(21)2(tttttt)2()2(21) 12( )2()2(21)2(1111ttttttjjjjjjZlltatffjlj)2()(),2(;),2(ZkktspanVZkktspanWjjjjZkjjkZkjjkjktktaktktatf)2()2( )2
22、()2()(11211211212ZkjkZkjkjktaktatf) 122()22()(122偶部基部小波空间尺度空间1111221122 )2()2()2()2()(jjZkjkkZkjkkjfwktaaktaatfHaar重构重构) 12()2()(),12()2()(tttttt) 12()2()2(),12()2()2(11ttttttjjjjjjZkkkZkkktaktaktatf) 122()22()()(0000ttj 12Zkjjkktatf)2()(重构的目的就是把重构的目的就是把 f 重新表示成重新表示成)( 12)(2, )2()()(001100奇数偶数klakla
23、altaktatfkklZllZkk同理同理: )( 12)(20000111奇奇数数偶偶数数这这里里klbaklbabaakkkklll)( 12)(2, )2()(001100奇数偶数klbklbbltbktbwkkkZllZkkZllltawtf)2()(100;211100llllllabaaba，可可见见 Zkkktbw)2(11 )( 12)(211112奇奇数数偶偶数数这这里里klbaklbaakkkkl;211100llllllabaaba，可可见见Zllltawwtf)2()(2210012100 jwwwwff设设 )( 12)(21111奇奇数数偶偶数数这这里里klbak
24、lbaajkjkjkjkjljjWktbwVktafjZkjjkjZkk0)2( )(000这里总结：jZljjlVltaf)2(小波去噪小波去噪 一般地，一般地，有用有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频信号而噪声信号则通常表现为高频信号. 根据噪声与信号在不同尺度（不同频率）上的小波谱具有不同根据噪声与信号在不同尺度（不同频率）上的小波谱具有不同表现的特点，将噪声小波谱占主导地位的那些尺度上的噪声小波表现的特点，将噪声小波谱占主导地位的那些尺度上的噪声小波分量去掉，这样，保留下来的小波谱基本上就是分量去掉，
25、这样，保留下来的小波谱基本上就是原原信号的小波谱，信号的小波谱，然后利用小波重构算法恢复原信号然后利用小波重构算法恢复原信号.l小波去噪可以分为三个步骤小波去噪可以分为三个步骤:l信号分解：选择一个小波信号分解：选择一个小波基基函数并确定分解的层次，函数并确定分解的层次，对原始信号进行小波分解，则噪声部分通常包含在高对原始信号进行小波分解，则噪声部分通常包含在高频系数中频系数中.l量化处理：对小波分解每一层高频系数，选择一个门量化处理：对小波分解每一层高频系数，选择一个门限阈值进行阈值量化处理限阈值进行阈值量化处理.l信号重构：根据小波分解的低频系数和经量化处理后信号重构：根据小波分解的低频系
26、数和经量化处理后的高频系数，用小波重构算法进行信号的小波重构的高频系数，用小波重构算法进行信号的小波重构.original lenanoise lenaRestore lena展望展望 小波分析与神经网络都是新一代计算智能信息处理技术的主要小波分析与神经网络都是新一代计算智能信息处理技术的主要组成部分。小波变换是一个时间域和频率域的局部变换，利用对小组成部分。小波变换是一个时间域和频率域的局部变换，利用对小波函数的伸缩平移运算对信号进行不同尺度下的分析，可以有效地波函数的伸缩平移运算对信号进行不同尺度下的分析，可以有效地从信号中提取有用信息。它克服了传统傅里叶变换不能同时进行时从信号中提取有用
27、信息。它克服了传统傅里叶变换不能同时进行时频分析的缺陷，因而成为了非线性科学的前沿技术之一。人工神经频分析的缺陷，因而成为了非线性科学的前沿技术之一。人工神经网络是通过对人脑神经网络的合理抽象而形成的理论化模型，它可网络是通过对人脑神经网络的合理抽象而形成的理论化模型，它可以依靠自身对环境的自学习能力获取知识，并利用神经元之间的连以依靠自身对环境的自学习能力获取知识，并利用神经元之间的连接权值存储获取的知识。小波神经网络（简称小波网络）是小波分接权值存储获取的知识。小波神经网络（简称小波网络）是小波分析与神经网络相结合的产物，它可以一方面保持神经网络的多输入析与神经网络相结合的产物，它可以一方面保持神经网络的多输入并行处理能力、自学习能力、非线性映射和容错能力等，另一方面并行处理能力、自学习能力、非线性映射和容错能力等，另一方面将具有强数学基础的小波分析方便地应用于高维问题，有效地发挥将具有强数学基础的小波分析方便地应用于高维问题，有效地发挥二者的优势。二者的优势。lThank you ! ! !