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1、第一章第一章 有理数有理数1.11.1 有理数的有关概念有理数的有关概念知识点知识点 1. 1.正数、负数正数、负数1.定义（1）正数：像，这样大于 的数（ “ ”通常省略不写）叫正数。（2）负数：像，这样在正数前加上“ ”的数叫负数，负数小于0。2.正负数的意义（1）具有相反意义的量正数与负数的引入是为了在实际问题中区分表示相反意义的量。为了用数表示具有相反意义的量，我们把某种量的一种意义规定为正的，而把与它相反的一种意义，规定为负的。负数是根据实际需要而产生的。（2）具有相反意义的量的表述：描述一对具有相反意义的量的词语一般是一对反义词，如上升与下降，增加与减少，盈利与亏损，收入与支出等。
2、（3）属性既不是正数，也不是负数。它是一个非负、非正的数，正、负数以 为界，规定: 是最小的自然数。知识点知识点 2. 2.有理数及其分类有理数及其分类有理数的分类按不同的标准有以下四种：（1）按有理数的定义分类：正整数整数负整数有理数正分数分数负分数（2）按有理数的性质分类：正有理数正整数正分数有理数负整数负有理数负分数知识点知识点 3. 3.数轴及其三要素数轴及其三要素1.定义在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。2.数轴的画法（1）画一条水平的直线。（2）在直线上适当选取一点为原点。（3）通常规定从原点向右为正方向，用箭头表示出
3、来（箭头标在画出部分的最右边） 。（4） 根据需要， 选取适当的长度为单位长度， 从原点向右每隔一个单位长度取一个点， 依次标为 ， 从原点向左，用类似方法依次标出，如图所示。知识点知识点 4. 4.相反数相反数11.定义像 与， 与， 与这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，把其中一个数叫做另一个数的相反数。0 的相反数仍是 0。2.相反数的性质相反数的特性：若 ， 互为相反数，则；反之，若，则 ， 互为相反数。3.相反数的几何意义在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点的两侧，并且到原点的距离相等。如图所示，与互为相反数，与 互为相反数。知识点知识点 5. 5.绝对值绝对值定义内容一
4、个数 的绝对值就是数轴上表示数 的点与原点的距离符号表示数 的绝对值记作，读作 的绝对值绝对值的代数意义用式子可表示为：，一个正数的绝对值是它本身；绝对值的代数意义一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是，或，如图所示，在数轴上表示的点与原点的距离是，即的绝对值是 ，记作；在数轴上表示 的点与原点的距离是 ，即 的绝对值是 ，记作；表示 的点与原点的距离是 ，即。一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越绝对值的几何意义远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小课堂练习课堂练习1.如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（）2. 先向南走，再向南走的意义是（）
5、先向南走，再向南走先向南走，再向北走先向北走，再向南走先向南走，再向北走3. 我们把一种意义的量规定为正的（如收入元规定为元） ，把另一种和它意义的量规定为负的（如支出元规定为元） ，于是就产生了正数和负数。4.下列说法正确的是（）非负有理数就是正有理数正整数和负整数统称为整数5.把下列各数分别填在相应的大括号里。零表示没有，是有理数整数和分数统称为有理数， ， ，（1）正整数：；2（2）正分数：（3）负整数：（4）负分数：（5）整数：（6）有理数：6.以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（）；7.已知点 和点 在同一数轴上，点 表示数，点 和点 相距四个单位长度，则点 表示的数是。8.用数轴
6、上的点表示下列各数，并比较这些数的大小。， ，9.的相反数是（）10.下列各对数中，互为相反数的是（）和和和和11. 的绝对值是（）12.数轴上表示的点与间的距离叫做的绝对值，记作。13.绝对值不大于 的整数有。14.如图，数轴上有 ， ， ， 四个点，其中表示互为相反数的点是（）点 与点点 与点点 与点点 与点15.已知甲数的绝对值是乙数的绝对值的 倍，且在数轴上表示这两个数的点位于原点的两侧，两点之间的距离是 ，求这两个数。1.21.2 有理数的四则运算有理数的四则运算知识点知识点 1. 1.有理数的加法有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。2.有理数加法
7、法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两数相加得 。（3）一个数同 相加仍得这个数。知识点知识点 2. 2.有理数的加法运算律有理数的加法运算律3加法交换律有理数的加法运算律文字语言符号语言文字语言符号语言两个数相加，交换加数的位置，和不变三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变加法结合律知识点知识点 3. 3.有理数的减法有理数的减法1.定义已知两个有理数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做有理数的减法。减法是加法的逆运算。2.有理数减法法则减
8、去一个数， 等于加这个数的相反数。 把有理数的减法利用相反数变成加法进行运算， 即。知识点知识点 4. 4.有理数的乘法有理数的乘法1.定义求两个有理数积的运算叫做有理数的乘法。2.乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数与 相乘，都得 。3.乘法法则的推广（1）几个不等于 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时。积为正；（2）几个数相乘，如果其中有因数为 ，那么积等于 ；（3）几个不等于 的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘。知识点知识点 5. 5.倒数倒数1.定义乘积为 1 的两个数互为倒数。一个正数的倒
9、数仍是正数，一个负数的倒数仍是负数， 没有倒数。2.倒数的特性：若 ， （，）互为倒数，则；反之，若，则 ， 互为倒数。知识点知识点 6. 6.有理数的乘法运算律有理数的乘法运算律. .内容用数学符号表示示例乘法交换律两个数相乘，交换因数的位置，积相等三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加乘法结合律乘法分配律知识点知识点 7. 7.有理数的除法有理数的除法1.定义已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。2.法则：4有理数的除法法则 1：除以一个不等于 的数，等于乘这个数的倒数。即。
10、有理数的除法法则 2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 除以任何一个不等于 的数，都得 。课堂练习课堂练习1.如果，且，那么的值是（）2.计算：（1）（2）或3.计算的结果是（）4.计算：（1）（2）5.下列说法正确的是（）两个数之差一定小于被减数减去任何数，差都是负数6.计算：（1）减去一个负数，差一定大于被减数减去一个正数，差一定大于被减数（2）7. 如果两数之积为负数，且它们的和是负数，那么（）这两个数都是正数这两个数都是负数两个数异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值两个数异号，且负数的绝对值大于正数的绝对值8. 下列变形不正确的是（）9.计算：5（1）10.下列各组数中互
11、为倒数的是（）和（2）和和11.已知， 互为相反数， ， 互为倒数， 表示的点到原点的距离为 ，求的值。12.若两个有理数的商是负数，那么这两个数一定（）都是正数13.计算：都是负数符号相同（2）符号不同（1）（）14.计算：（1）（2）1.31.3 有理数的乘方有理数的乘方知识点知识点 1. 1.有理数的乘方及表示方法有理数的乘方及表示方法1.求几个相同因数的积的运算叫做乘方， 乘方的结果叫做幂。 在中，叫做底数，叫做指数， 读作 的 次方（或 的 次幂） 。2.乘方的意义：表示 个 相乘。知识点知识点 2. 2.有理数乘方的计算法则有理数乘方的计算法则（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂
12、是正数。例如：，。（2）正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是0。例如：，。课堂练习课堂练习1.关于，下列说法正确的是（）是底数， 是幂是底数， 是幂是底数， 是指数是底数， 是指数2.观察下列各式：，。根据你所发现的规律可知的末位数字为（）3.将下列各式写成乘方的形式：（1）；（2）；64.（1）平方等于它本身的数有；（2）立方等于它本身的数有；（3）一个数的平方等于 64，那么这个数是；（4）一个数的立方等于 64，那么这个数是。5.计算：（1）（2）1.41.4 科学计数法、近似数科学计数法、近似数知识点知识点 1. 1.科学计数法科学计数法把一个数表示成的形式（其中， 为整数
13、） ，这种计数的方法叫做科学计数法。知识点知识点 2. 2.近似数近似数近似数就是与准确数很接近的数。知识点知识点 3. 3.有效数字有效数字一个近似数，从左边第一个不是 的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。例如，有四个有效数字： ， ， ， ；有四个有效数字： ， ， ， 。课堂练习课堂练习1.2015 年我市财政计划安排社会保障和公共卫生等支出约1 820 000 000 元支持民生幸福工程， 该数据用科学计数法表示为（）元元2.写出下列用科学计数法表示的数的原数：；。3.下列说法正确的是（）元元；近似数与的精确度相同近似数万和近似数的精确度相同近似数和近似数的精确度相同近似数万和近似数的精确度相同4.已知地球距离月球表面约为383 900 千米，那么这个距离用科学计数法表示（精确到千位）为（）千米千米5.用四舍五入法按要求取近似值。（1）（精确到个位） ；千米千米（2）（精确到千位） 。7