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1、1三角函数及其应用三角函数及其应用三角是代数与几何联系的三角是代数与几何联系的“桥梁桥梁” ，同时三角也是解决某些代数、几何问题的工具，同时三角也是解决某些代数、几何问题的工具 三角与代数三角与代数【例例 1】求证：求证：20720sin31证明：证明：证法证法 1：由：由，)2, 0(,sinxxx207 99sin20sin由由，)6, 0(,3sin xxx31 93 9sin20sin 证法证法 2：，设，设，则，则，2320sin420sin360sin3x20sin023343 xx设设，2334)(3xxxf21, 0312)(2xxxf 函数函数单调区间单调区间，)(xfy )
2、21,()21,21(),21(又又 ，及，及，2120sin00231274)31(f02757. 13)207(f 20720sin31【补充补充】求证：求证：9210tan61【练习练习】，求证：，求证：Nn2n321cos31cos21cosn证明：证明：，121 31 1110nn，kk11sin0nkkkk kkk, 3 , 2,) 1)(1(111sin11cos2222 )11()45 43()34 32()23 21()1cos31cos21(cos2 nn nn n，2)32(211 21nn2321cos31cos21cosn【例例 2】为锐角为锐角的三个内角，求证：的三
3、个内角，求证：CBA,ABC233sinsinsin2CBA证法证法 1：因为：因为在区间在区间上为上凸函数，由琴生上为上凸函数，由琴生(Jensen)不等式得不等式得xysin)2, 0(，233 3sin3sinsinsinCBACBA又由又由得，得，)2, 0(,2sin xxx2)(2sinsinsinCBACBA证法证法 2：CBACBABACBAsin2sin2sin2cos2sin2sinsinsin.233)46(332)2sin1)(2sin33(332)2sin1 (2cos2)2sin1 (2cos24322CCCCCC为锐角为锐角的三个内角，不妨设的三个内角，不妨设，C
4、BA,ABCCBA ，CBACBA,2cos2cos,22CBACBA CCBACBABACBAsin2cos2sin2sin2cos2sin2sinsinsin2sincos1sin2cos22CCCC【练习练习】为锐角为锐角的三个内角，求证：的三个内角，求证：CBA,ABC23coscoscos1CBA证明：证明：CBABACBAcos2cos2cos2coscoscosCBAcos2cos2，23 23)21 2(sin22sin212sin222CCC2)(cos2cos2)2cos(2cosBABABA，2cos2cos2coscosBABABA 2BA，2)(BA ，2cos2)(
5、cos2cosCBABA3 ，CCCBABABAsin2cos2sin22cos2cos2coscos 1cossincoscoscosCCCBA【例例 3】已知已知，求证：，求证：1),1 , 0(,cabcabcba433 1111222cc bb aa证明：证明：方法方法 1：由已知：由已知，可设，可设，1),1 , 0(,cabcabcba2tan,2tan,2tanCcBbAa其中其中为锐角为锐角的三个内角，则的三个内角，则，CBA,ABCAAAaasin212tan12tan122 ，BBBbbsin212tan12tan122 CCCccsin212tan12tan122 原不等
6、式等价于原不等式等价于，证法见例，证法见例 2233sinsinsin2CBA方法方法 2：，)()()(122cbcabaacab cabaa bcacabaa aa ，222111cc bb aa )()(2 cbcaba只需证只需证，即，即433 )()(21cbcaba2)()(938cbcaba由由，可知，可知，1),1 , 0(,cabcabcba3cba只需证加强不等式只需证加强不等式，)()(9)(8cbcabacabcabcba即即，)2 ( 9)3 ( 8222222222222bcacabcbcabaabcbcacabcbcabaabc即即，由均值可知显然成立，由均值可知
7、显然成立abc6bcacabcbcaba222222【练习练习】已知已知，求证：，求证：abccbacba , 0,231111111 222 cba提示：设提示：设，原不等式等价于，原不等式等价于CcBbAatan,tan,tan23coscoscos1CBA【变式变式】已知已知，求证：，求证：1), 0(,cabcabcba231111 222 ccbbaa4提示：设提示：设，原不等式等价于，原不等式等价于2tan,2tan,2tanCcBbAa23 2sin2sin2sin1CBA（或将（或将分别替换为分别替换为将变为上面练习将变为上面练习 ）cba,cba1,1,1【例例 4】设设，且
8、，且，求乘积，求乘积的最大值和最小值的最大值和最小值12zyx2zyxzyxcossincos)12,245.(832 46cos142cos1cos21cos)sin(21cos)sin()sin(21cossincos2 zyxzzzyxzyxyxzyx)12,3.(81 432cos142cos1cos21)sin(cos21)sin()sin(cos21cossincos2 zyxxxzyxzyzyxzyx【练习练习】设设是三角形的三个内角，求证：是三角形的三个内角，求证：，并，并CBA,3233sin3sin3sin2CBA确定其中的等号何时成立确定其中的等号何时成立解析：不妨设解析
9、：不妨设，则，则，从而，从而， 60A120CB180)(23|230CBCB由此可得由此可得再由再由，得到，得到)(23cos)(23cosCBCB0)(23sinCB，)(23cos)(23sin2)(23cos)(23sin2CBCBCBCB即即，)(3sin3sin3sinCBCB于是于是，2)(3sin3sin3sin3sin3sinCBACBA为使为使，23sin3sin3sinCBA必须满足必须满足，这是不可能的，这是不可能的，1)(3sin3sinCBA0)(23sinCB从而从而23sin3sin3sinCBA 另一方面，由另一方面，由可知，可知， 60A)(23cos)(2
10、3sin23sin3sin3sin3sinCBCBACBA)(23sin23sinCBAAA23cos23sinAA23cos) 123(sin233)23sin1)(323sin3(312)23sin1)(123(sin2AAAA323)46(31245当且仅当当且仅当, 1)(23cos),23sin1 ()323sin3(CBAA即即时，等号成立时，等号成立20,140CBA【例例 5】对于任意的正数对于任意的正数、及、及三内角三内角 A、B、C，xyzABC总有：总有：CxyBzxAyzzyxcos2cos2cos2222 证明：证明：0)sinsin()coscos(sinsin2s
11、insin)coscos(coscos2coscoscos2)coscos(cos2cos2cos2),(22222222222222222BzCyCyBzxCByzBzCyCyBzxCByzCyBzAyzzyCyBzxCxyBzxAyzzyxzyxf CxyBzxAyzzyxcos2cos2cos2222【补充补充】求证：求证：02cos22cos22cos2222CxyBzxAyzzyx 【变式变式】求证：求证：)(21coscoscoszxy yzx xyzCzByAx求证：求证：23coscoscosCBA求证：求证：CabBcaAbccbacos2cos2cos2222求证：求证：C
12、BABACACBCBAcossinsin2cossinsin2cossinsin2sinsinsin222求证：求证：)(21coscoscoscab bac abcCcBbAa【练习练习】给定正整数给定正整数，求最小的正数，求最小的正数，使得对于任何，使得对于任何，ni), 2 , 1)(2, 0(ni只要只要，就有，就有不大于不大于2 212tantantannnncoscoscos21解析：解析：11当当时，时，2 , 1n33n当当时，时，1n33cos,2tan11当当时，时，设设，则，则，2n, 2tantan21x12tanx4tan22xx411 11 tan11 tan11c
13、oscos22 1221 6xx xxxxxxxxxx45345214545242411 112 设设，则，则，31, 0(451txx34123411 1122ttxx，当，当即即时取等号时取等号21coscos332 411 11 xx2x212当当时，时，3n1 n 先证先证 1coscoscos21nn不妨设不妨设，n321 要证明要证明式成立，只要证式成立，只要证，2coscoscos321，故，故2 212tantantannn22tantantan321，2sin1sin1cos2 2i ii，3232 2232sinsin22sinsin2coscos，32 22 12 32
14、2212 tantan81cos1,tantan8tan，32 22 32 223232 2232 1sinsincoscos8sinsintantan8tantancos ) sinsincoscos811 (sinsin2coscoscos32 22 32 2232321 ，2coscoscos3211sinsincoscos832 22 32 22)tan1)(tan1 (secsectantan832 22 32 22 32 227tantan32 22若若式成立，则式成立，则式成立式成立7ABCP若若式不成立，即式不成立，即，从而，从而，7tantan32 2227tantan22
15、12，从而从而式得证式得证32coscos2121322coscoscos321现证现证为最小的为最小的1 n事实上，若事实上，若，则取，则取，从而存在，从而存在10n11na, 2 , 1)2, 0(nii使得使得，) 1, 2 , 1(1tan,cos2 niaaaii122) 1(2tan nnnaa从而从而，但，但2 212tantantannn，12121coscoscoscoscoscosnn当当时，最小的正数时，最小的正数为为3n1n综上所求最小正数综上所求最小正数 )3( , 1)2 , 1( ,33nnnn 【练习练习】设设，求证：，求证：8, 0, 0, 0abccba21
16、111111cba三角与几何三角与几何 【例例 6】已知点已知点 P 是锐角是锐角ABC 内一点，使得内一点，使得PAB=PBC=PCA求证：求证：CBAPABcotcotcotcot 证明：证明：证法证法 1：设：设，PAB=PBC=PCA=则则zPCyPBxPA, cos2222xccxycos2222yaayz cos2222zbbzx，)(cos2222cxbzaycba又又，)(sin21cxbzaySABCABCScba4cot222 ，RabccbaRabcacb CC BB AACBA4422sincos sincos sincoscotcotcot222222 8，RabcC
17、abSABC4sin21CBAPABcotcotcotcot证法证法 2：由角元式赛瓦（：由角元式赛瓦（Ceva）定理得）定理得，1)sin(sin )sin(sin )sin(sin CBA ，1)coscot)(sincoscot)(sincoscot(sinCCBBAA01)cos(cot)coscossin(cot)cossinsin(cot)sin(23ACBACBAA由由，CBACBACBACBAsinsinsinsincoscoscossincoscoscossin 得得CBACBACBACBAcoscoscos1cossinsinsincossinsinsincos 0)1)c
18、os(cot)sin(cot)1)cos(cot)sin(23AAAA，0)1)(cot1)cos(cot)sin(2AA，0)1)cos(cot)sin(AACBACBACBACBACBA AAcotcotcotsinsinsincossinsinsincossinsinsincos sin1)cos(cot证法证法 3：（平面几何证法）略：（平面几何证法）略 【练习练习】设设 P 为为ABC 内或边界上一点，点内或边界上一点，点 P 到三边的距离为到三边的距离为 PD、PE、PF求证：求证： )(2PFPEPDPCPBPABPFCPEBPFCPEBPFCPECBPEPFCBPEPFPFPE
19、CBPEPFPFPEEFAPAsinsin)coscos()sinsin(sinsin2coscos2)cos(2sin222222，ABPFACPEPAsinsin sinsin同理同理，BCPDBAPFPBsinsin sinsinCAPECBPDPCsinsin sinsin)(2)sinsin sinsin()sinsin sinsin()sinsin sinsin(PFPEPDBA ABPFCA ACPECB BCPDPCPBPA【补充补充】为锐角为锐角的垂心，的垂心，为垂足，为垂足，HABCFED,求证：（求证：（1）垂足）垂足的周长的周长；DEF)(21coscoscoscbaC
20、cBbAa（2）为垂足为垂足的内心；的内心；HDEF （3）九点圆半径为外接圆半径的一半。）九点圆半径为外接圆半径的一半。提示：（提示：（1），ABCAEFAABAE aEFcosABCPDEF9)(21)coscos)(cos(31coscoscoscbaCBAcbaCcBbAa（切比雪夫不等式）（切比雪夫不等式）或由排序不等式可得或由排序不等式可得AcCbBaCcBbAacoscoscoscoscoscos BcAbCaCcBbAacoscoscoscoscoscos)(21coscoscoscbaCcBbAa（2）；BBEFBED2（3）RAAa AEFR2sincos )2sin(20
21、【例例 7】半径为半径为的圆内接六边形的圆内接六边形 ABCDEF 中，中，AB=CD=EF=R，M、N、T、分别为分别为R BC、DE、FA 中点，求证：中点，求证：MNT 为正三角形为正三角形证明：设证明：设，则，则,2DOE2,2BOCFOA 90coscoscos3sincoscoscoscos)150cos(coscos2coscos)60cos(coscos2coscoscos22222222222222222222RRRRRRRRRRMONOMONONOMMN同理同理coscoscos3sincoscoscoscos2222222RRRRNTcoscoscos3sincoscos
22、coscos2222222RRRRTM只需证：只需证：，即，即22NTMNsincoscoscossincoscoscos22即即sincoscossincoscos22cos1 22cos1只需证只需证)sin(cos22cos2cos)sin(cos2)sin()sin(22cos2cos，同理，同理，MNT 为正三角形为正三角形NTMN TMNT 【练习练习】AB 为圆为圆 O 的弦，的弦，C、D 分别为弦分别为弦 AB 的三等分点，的三等分点，M、N 分别为劣弧分别为劣弧上的三等分上的三等分AB点，点，MC、ND 交于点交于点 P，求证：，求证：APBAOB3 提示：提示：，建系证明直线，建系证明直线与与斜率相等斜率相等APOMAPBAOB/3APOMMTNFDBEAC22210PNMDCOBA