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1、问题问题: :什么叫多项式的因式分解什么叫多项式的因式分解?判断下列变形过程，哪个是因式分解？判断下列变形过程，哪个是因式分解？ (1) (x-2)(x-2)=x2- 4 (2) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x (3) 7m-7n-7=7(m-n-1) (4) 4x2- =(2x+ )(2x- )9y213y113y把一个把一个化成几个化成几个积积的形式的形式,这种这种变形变形叫做把这个多项式叫做把这个多项式因式分解因式分解把下列各式因式分解：把下列各式因式分解：(1) ax - ay(2) 9a2 - 6ab+3a(3) 3a(a+b)-5(a+b)(4) -4x2+8ax+2
2、x问题：问题：你学了什么方法进行分解你学了什么方法进行分解因式？因式？提公因式法提公因式法= a( x y )=3a(a-2b+1)=(a+b)(3a-5)=-2x(2x-4a-1)1). (2+a)(a-2); 2). (-4s+t)(t+4s)3). (m+2n)(2n- m) 4). (x+2y)(x-2y)观察以上式子是满足什么乘观察以上式子是满足什么乘法公式运算？法公式运算？看谁做得最快看谁做得最快最正确！最正确！计算：计算：(1)a2-4(2)t2-16s2(3)4n4-m4(4)x2-4y2平方差公式：平方差公式：a - b = (a+b)(a-b)整式乘法整式乘法因式分解因式分
3、解两个数的平两个数的平方差，等于方差，等于这两个数的这两个数的和与这两个和与这两个数的差的积数的差的积(a+b)(a-b) = a - b平方差公式：平方差公式：平方差公式因式分解特征：平方差公式因式分解特征：(1)左边左边是两部分是两部分相减相减(即即两项异号两项异号)(2)左边左边的两部分都可写成的两部分都可写成某数某数(或式或式)的平方的平方22ba )(baba(3)右边右边是是两数之和两数之和与与这两数之差这两数之差的的积积下列多项式能否用平方差公式来分下列多项式能否用平方差公式来分解因式？解因式？(1) x2 + y2(2) x2 - y2(3) -x2+y2(4) -x2 - y
4、2 判断判断(5) a23(6) a2-39n3c438xy22)(49.0b 填空：填空：22)(25m22)(169c22)(4x22)(36a26)(81n222)(64yx224)(100qp2x5m6a0.7bqp210(9)4(a+2)2 = (10)9(a - 1)2= 22(a+2) 23(a-1)你能将多项式你能将多项式x2-4分解因式吗分解因式吗?5(11) 25 =( )2 (12) 7 =( )2 7对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式(1) m - 16 (2) 4x - 9ym - 16= a - b = ( a + b)
5、( a - b )4x - 9y=( )-( )m - 4=( m + 4)( m - 4)2x3y =(2x+3y)(2x-3y)公式归纳公式归纳能运用平方差公式进行因式分解的能运用平方差公式进行因式分解的式子的特点：式子的特点： 左边应是一个二项式（如：左边应是一个二项式（如： ）2251b 二项式的每项（不含符号）都可以写成平方二项式的每项（不含符号）都可以写成平方的形式。的形式。这两项的符号不同（这两项的符号不同（ 如：如： ）22425yx 符合上述特点的式子，可以用平方差公式符合上述特点的式子，可以用平方差公式分解因式。分解因式。4.运用平方差分解因式，还给某些运算带来方运用平方差
6、分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此法，进行便，故应善于运用此法，进行简便计算简便计算。5.在因式分解时，若多项式中有公因式，在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提应先提取公因式，再考虑运用平方差公式分解因式。取公因式，再考虑运用平方差公式分解因式。 一般地，如果一个多项可以转化为一般地，如果一个多项可以转化为a2-b2的形的形式，那么这个多项式就可以用平方差公式式，那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式。如分解因式。如(1) 4( a + b) - 25(a - c)2x2x3 3-8x=2x(x-8x=2x(x2 2-4)-4)=2x(x+2)(x-2)=2x(x+2)(x-
7、2)例例1.把下列各式分解因式把下列各式分解因式（1）16a- 1 ( 2 ) 4x- mn ( 3 ) x - y 925116( 4 ) 9x + 4m2解：解：1）16a-1=(4a) - 12 =(4a+1)(4a-1)解：解：2） 4x- mn =(2x) - (mn) =（2x+mn)(2x-mn)（5 5）x x2 2y y4 4-9-9=(xy=(xy2 2) )2 2-3-32 2=(xy2+3)(xy2-3)解解:3)原式原式=)4153)(4153(yxyx解解: 4)原式原式 =4m2 - 9x 2 =(2m)2 - (3x)2 =(2m+3x)(2m-3x)利用平方差
8、公式把下列各式分解因式 42x21a29y224yx 2294yx 236m224925qp 1362n2291xa 221681. 0ba 判断)(22yxyxyx（ ） )4)(4(422yxyxyx（ ）=(x+2)(x-2)=(3+y)(3-y)=(1+a)(1-a)=(2x+y)(2x-y)=(6+m)(6-m)=(2x+3y)(2x-3y)=(5p+7q)(5p-7q)=(6n+1)(6n-1)=(0.9a+4b)(0.9a-4b)=(a+ x)(a- x)3131把下列各式因式分解把下列各式因式分解1)( x + z )- ( y + z )2)4( a + b) - 25(a
9、- c)3)4a - 4a4)(x + y + z) - (x y z )1.解：解：原式原式=(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z) =(x+y+2z)(x-y)2.解：解：原式原式=2(a+b)-5(a-c) =2(a+b)+ 5(a-c)2(a+b)- 5(a-c) =(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)3.解：解：原式原式=4a(a-1)=4a(a+1)(a-1)4.解：解：原式原式=(x+y+z)+(x-y-z)(x+y+z)- (x-y-z) =2 x ( 2 y + 2 z) =4 x ( y + z )温馨提示：能提公因式的，要先温馨提示：能提公因式的，要先提公因式
10、，再进行下一步的分解。提公因式，再进行下一步的分解。用平方差公式进行简便计算用平方差公式进行简便计算:1）38-37 2) 213-873) 229-171 4) 91891)、752)、378003)、232004)、8099分解因式分解因式:xx823=2x(x-2)(x+2)解：原式解：原式=2x(x2-4)当多项式的各当多项式的各项有公因式时项有公因式时,通常先提出这通常先提出这个公因式个公因式,然后然后进行因式分解进行因式分解运用公式法分解因式运用公式法分解因式:(1) -9x2+4y2 (2) 64x2-y2z2(3) a2(a+2b)2-4(x+y)2 (4) (a+bx)2-1
11、(5) (x-y+z)2-(2x-3y+4z)2创新与应用创新与应用已知已知:x+ y =7, x-y =5,求代数式求代数式 x 2- y2-2y+2x 的值的值.=(2y+3x)(2y-3x)=(8x+yz)(8x-yz)=(a2+2ab+2x+2y)(a2+2ab-2x-2y)=(a+bx+1)(a+bx-1)=(3x-4y+5z)(-x+2y-3z)解：解：x 2- y2-2y+2x=(x 2- y2) +(2x-2y)=(x+y)(x-y)+2(x-y)=(x-y)(x+y+2)x+y=7,x-y=5 原式=5(7+2)=45小结： 1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式 可运用
12、平方差公式分解因式。 2.公式a - b = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也 可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再 进一步分解因式。 4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简， 直到不能再分解为止。1. 若a=101,b=99,求a2-b2的值.2. 若x=-3,求20 x2-60 x的值.3. 1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?4. 若若n是整数是整数,证明证明(2n+1)2-(2n-1)2是是8的的倍数倍数.巩固练习：巩固练习：1.选择题：选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是
13、（下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ） A. 4X+y B. 4 x- (-y) C. -4 X-y D. - X+ y2) -4a +1分解因式的结果应是分解因式的结果应是 （ ） A. -(4a+1)(4a-1) B. -(2a 1)(2a 1) C. -(2a+1)(2a+1) D. -(2a+1)(2a-1)DD3.x2-64因式分解为因式分解为( ).(A)(x-16)(x+4); (B) (x-32)(x+32); (C) (x+16)(x-4); (D) (x-8)(x+8). 4. 64a8-b2因式分解为因式分解为( ).(A) (64a4-b)(a4+b); (B) (16a2-b)(4a2+b);(C) (8a4-b)(8a4+b); (D) (8a2-b)(8a4+b).DC2. 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：1）18-2b 2) x4 1 解：解：2)原式原式=(x+1)(x+1)(x-1)1)原式原式=2(9-b2)=2(3+b)(3-b)作业作业:因式分解因式分解(1)x2-25; (2)9x2-y2(3)25-16x2; (4)9a2-2b41 (5)9(m+n)2-(m-n)2; (6)(a+b)2-1 (7)2x3-8x; (8)(a-1)+b2(1-a)09. 0 xy41)9(3 (10)a5-a