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1、精品名师归纳总结椭圆学问清单1.椭圆的两种定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面内与两定点F1,F2 的距离的和等于定长2a 2aF1F2的动点 P 的轨迹,即点集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M=P| |PF 1|+|PF2|=2a,2a|F1F2| 。（ 2aF1F2时为线段F1F2 ,2aF1 F2无轨迹）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中两定点 F1, F2 叫焦点,定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和肯定直线的距离的比是小于1 的正常数的点的轨迹, 即点集可编辑资料 -
2、- - 欢迎下载精品名师归纳总结PFM=P|de, 0e 1 的常数。（ e1为抛物线。 e1为双曲线）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（利用其次定义 , 可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化,定点为焦点,定直线为准线）.x2y 22 标准方程： （1）焦点在 x 轴上,中心在原点：1（ a b 0）。a2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点 F（ c, 0）,F （ c, 0 ）。其中2 2Rt 三角形）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12cab（一个22（ 2）焦点在 y 轴上,中心在原点：yx1（ a b 0）。
3、a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点 F1（ 0, c）, F2（0, c）。其中 ca2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意： 在两种标准方程中,总有 a b 0,cab并且椭圆的焦点总在长轴上。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （ A 0, B 0, A B）,当 A B 时,椭圆的焦点在x 轴上, A B 时焦点在 y 轴上。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3 参数方程： 焦点在 x 轴,ya cos bsin（ 为参数）可编辑资料 - - - 欢迎
4、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结224 一般方程： AxBy1 A0, B0x 2y2（ ab 0）有以下性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 性质： 对于焦点在 x 轴上,中心在原点：坐标系下的性质： 范畴： |x| a, |y| b。221ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 对称性： 对称轴方程为 x=0 , y=0 ,对称中心为O（0, 0）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 顶点：A （1-a,0）,A 2（a,0）,B （10,-b）,B（20,b）,长轴 |A 1A2 |=2a,短轴 |B1
5、B 2|=2b。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ a 半长轴长, b半短轴长） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 椭圆的准线方程：对于 x2y1 ,左准线 l: x22aa。右准线 l: x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b 21c2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 2x2对于a 2b 21,下准线l1 : ya 2。上准线ca 2l 2 : yc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结焦点到准线的距离p222a
6、cac2b（焦参数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ccc椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称 焦半径公式： P（x 0, y0）为椭圆上任一点。 |PF1|= r左 =a+ex0,|PF2|= r右 =a-ex0 。|PF1 |=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r下 =a+ey0, |PF2|= r上 =a-ey0减下加PF maxac,PF minac,左加右减,上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 通径： 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径,通2b 2径最短 =a平面几何性质：2
7、cc2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 离心率： e=是圆。21aaa（焦距与长轴长之比）0,1。e 越大越扁, e0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 焦准距 pb 2。准线间距c2a 2c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 两个最大角F1PF 2maxF1B2 F2 ,A1PA2maxA1B2 A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2焦点在 y 轴上,中心在原点：2a6. 焦点三角形 应
8、留意以下关系：1定义： r 1 r 2 2ax1 （ a b 0）的性质可类似的给出。2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 余弦定理：r 2 r 2 2r 1r 2cos 2 c 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 面积：S PF1F 2 1 r 1r 2 sin21 2c|y0 |= c |y0 |=2b 2 tan2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 其中 P x0, y0 为椭圆上一点, |PF 1| r 1, |PF 2| r
9、 2,F1PF2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结27. 共 焦 点 的 椭 圆 系 设 法 ： 把 椭 圆 xa222y1 （ a b 0 ） 的 共 焦 点 椭 圆 设 为2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xya2b21b2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 特殊留意： 椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关 , 而焦点坐标 , 准线方程 , 顶点坐标 , 与坐标系有关 . 因此确定椭圆方程需要三个条件: 两个定形条件a,b, 一个定位条件焦点坐标或准线方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢
10、迎下载精品名师归纳总结9. 弦 长 公 式 ： AB1k 2x1x211k 2y1y21k 2abx1x2acx1x2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（a,b,c 为方程的系数考点解析考点一椭圆定义及标准方程题型 1: 椭圆定义的运用例 1 . 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点动身的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、 B 是它的焦点,长轴长为 2a,焦距为 2c,静放在点 A 的小球（小球的半径不计） ,从点 A 沿直线动身,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是（ ）A 4a B 2a cC 2a+
11、cD以上答案均有可能yPCDOxAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2例 2.点 P 为为椭圆2ay1a2b 2b0Q上一点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,试求：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PF1PF2 取得最值时的 P 点坐标。题型 2 求椭圆的标准方程例 3. 设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此焦点与长轴上较近的端点距离为4 2 4,求此椭圆方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点二 椭圆的几何性质0题型 1: 求椭圆的离心率（或范畴）可
12、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4.在 ABC 中, A30 ,|AB |2, S ABC3 如以 A, B 为焦点的椭圆经过点C ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就该椭圆的离心率 e题型 2: 椭圆的其他几何性质的运用（范畴、对称性等）x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5.已知实数x, y 满意 4122, 求 xy2x的最大值与最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点三 椭圆的最值问题题型 1:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值22xy1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6. 椭圆 16
13、9题型 2.上的点到直线 l:xy90 的距离的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、的最值如 A 为椭圆内肯定点（异于焦点） ,P 是 C 上的一个动点, F 是 C 的一个焦点, e 是 C 的离心率,求的最小值。例 7. 已知椭圆内有一点 A （ 2, 1）, F 是椭圆 C 的左焦点, P 为椭圆 C上的动点,求的最小值。2、的最值如 A 为椭圆 C 内肯定点（异于焦点） ,P 为 C 上的一个动点, F 是 C 的一个焦点, 求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的最值。例 8 已知椭圆内有一点 A （2, 1）, F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上动
14、点,求的最大值与最小值。3、的最值如 A 为椭圆 C 外肯定点,为 C 的一条准线, P 为 C 上的一个动点, P 到 的距离为 d,求的最小值。例 9. 已知椭圆外一点 A （ 5,6）, 为椭圆的左准线, P 为椭圆上动点,点P到 的距离为 d,求的最小值。4、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例 10. 定长为的线段 AB 的两个端点分别在椭圆上移动,求 AB 的中点 M 到椭圆右准线的最短距离。考点四 直线与椭圆相交问题题型 1 直线与椭圆相交求弦长(1) 常用分析一元二次方程解的情形,仅有仍不够,且用数形结合的思想。(2) 弦的中点,弦长等,利用根与系数的关系式,但0 这一制约条件
15、不同意。b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB12kx1x211k2y1y21k 2ax1x2cx1x2aa （ a,b,c 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方程的系数）例 11.已知直线 l 过椭圆8 x29 y 272 的一个焦点, 斜率为 2,l 与椭圆相交于M 、N 两点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求弦 MN 的长。题型 2“点差法”解题。 “设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹,过定点弦的中点轨迹,过定点且被定点平分的弦所在直线方程,用“点差法”来求解。0步骤： 1.设 Ax
16、 1,y1 Bx 2,y2分别代入椭圆方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结102. 设y1y2p x0 , y0 为 AB 的中点。 两式相减,b 2 xx2 b2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x1x2a 2 yy2 a2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 得出 ky1y2x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2注：一般的,对椭圆xa 2y1上弦 AB 及中点, M ,有2b 2K ABb 2K OM2a可编辑资料 -
17、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 12.已知椭圆 x2y21 , 求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点五 .轨迹问题这一问题难,但是解决法特别多,有如下几种。1. 直接法：依据条件,建立坐标系,设动点x , y,直接列出动点所应满意的方程。2. 代入法：一个是动点Qx 0,y0在已知曲线Fx,y=0 ,上运动,而动点 Px,y 与 Q 点满意某种关系,要求P 点的轨迹。其关键是列出P、 Q 两点的关系式x0f x, yyoy x, y3. 定义法：通过对轨迹点的分析,发觉与某个圆锥曲线的定义相符,就通过这个定义求出方程。可编辑资料 -
18、- - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 参数法：在 x, y 间的方程Fx,y=0难以直接求得时,往往用来反映 x, y 之间的关系。常用的参数有斜率k 与角等。x f ty ytt 为参数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13： ABC 的一边的的顶点是B0,6 和 C0,-6 ,另两边斜率的乘积是轨迹方程：考点六 综合性问题,与平面对量结合（2022 四川卷理）（本小题满分 12 分）椭圆有两顶点 A-1 , 0 、B1 , 0 ,过其 焦点 F0 , 1 的直线l 与椭圆交于 C、D 两点,并与 x 轴交于点 P直线 AC
19、与直线 BD交于点 Q4 ,求顶点 A 的9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(I) 当| CD | =32 时,求直线 l 的方程。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(II) 当点 P 异于 A、 B 两点时,求证：OP OQ为定值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由已知可得椭圆方程为2yx21 ,设 l 的方程为 y1 2k x0, k 为l 的斜率就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结
20、ykx122k 2 x 22 kx10x1x 22 k2y1y 22k42k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx 2112 k 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 xx 2 yy 28 k 288k 4x1 x222k8k 29k 22y1 y222kk2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12122k 2 22k 2 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l 的方程为 y2 x1 或 y2 x1 为所求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
21、名师归纳总结设直线 l 的方程为ykx1 , k0且k1 ,所以 P 点坐标为 1 ,0 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 Cx, y ,D x , y ,由（）知 xx2k1, x x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122122k 21 22k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 AC 的方程为 yy1x x111 ,直线 BD 的方程为 yy1x1 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将两直线方程联立,消去y 得 x1x1y2 x1 y1 x21 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 1x , x
22、1 ,所以 x1 与 y2异号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12x1y12222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x1 2y 2 x1122 x 2 x111x11x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1y1 x2122 x1 x 211x11x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2k1k 2212 k1k 22 k1k1 2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22k2k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
23、名师归纳总结1212又 y yk 2 x xk x1x 2 121k 1k 22k 21k 2k1 k 22k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k1 与k1y1 y2 异号, xx1 与 k1k1 同号,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1kx1k1 ,解得 xk1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 Q 点坐标为 k , y0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OPOQ1 , 0 kk , y0 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 OP OQ 为定值（2022 四川卷理）（本小题满分 12 分）可编辑资料 -
24、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222已知椭圆 C ： xyab1, ab0 的两个焦点分别为F1 1,0, F2 1,0 ,且椭圆 C 经过可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P 点4 , 1 33（）求椭圆 C 的离心率。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）设过点A0, 2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结211| AQ |2| AM|2| AN |2,求点 Q 的轨迹方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
25、总结解： 1 由椭圆定义知,2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a | PF1| | PF2| 41141122 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 a2 .3333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由已知, c 1.所以椭圆 C的离心率 ec12 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2 由1 知,椭圆 C的方程为2222x y 1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设点 Q的坐标为 x,y (1) 当直线 l 与 x 轴垂直时,直线l 与椭圆 C交于 0,1,0 , 1 两点,此时点 Q的坐标为可编辑资
26、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0, 235.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线l 的方程为 y kx2.由于 M, N在直线 l 上,可设点 M, N的坐标分别为 x1, kx12 , x2, kx2 2 ,222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就| AM| 1 k x1 , | AN| 1 k x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又| AQ| x y 2 1 k x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由,得
27、211222| AQ | AM| AN |211,222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1kx1kx11kx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结211xx22 x x即121 2 . x2x 2x 2x 2 x 212122x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将 y kx 2 代入y 1 中,得2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222 k 1 x 8kx 6 0. 由 8 k 242 k21 6 0,得 k2 3 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由可知, x1 x28k 2k 2, x1x216,2k 21
28、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代入中并化简,得218. x10 k 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于点 Q在直线 ykx 2 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 ky2 ,代入中并化简,得10 y 2 2 3x2 18.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由及 k2 32,可知 0x2 32,即 x6 , 02 0,6.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22又 0, 235满意 10 y 2 3x 18,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5故 x6 ,6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22由题意, Q x, y 在椭圆 C内, 所以 1 y1.又由 10 y 2 2 18 3x2 有 y 2 29 , 954且 1 y1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 y 1 , 235.25所以, 点 Q的轨迹方程为 10 y 2 2 3x218,其中 x6 ,6,y1 , 235.2225可编辑资料 - - - 欢迎下载