《2022年椭圆及其性质知识点题型总结材料 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年椭圆及其性质知识点题型总结材料 .pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料椭圆知识清单1.椭圆的两种定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2122FFaa的动点 P 的轨迹，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|； （212FFa时为线段21FF，212FFa无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1 的正常数的点的轨迹， 即点集M=P| edPF，0e1 的常数。 （1e为抛物线；1e为双曲线）（利用第二定义, 可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）. 2 标准方程：（1）焦点在 x
2、 轴上，中心在原点：12222byax（ab0） ；焦点 F1（ c，0） ，F2（c，0） 。其中22bac（一个Rt三角形）（2）焦点在 y 轴上，中心在原点：12222bxay（ab0） ；焦点 F1（0，c） ，F2（0，c） 。其中22bac注意： 在两种标准方程中，总有ab0，22bac并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A0，B0，AB） ，当 AB 时，椭圆的焦点在x 轴上， AB 时焦点在y 轴上。3 参数方程： 焦点在 x 轴，sincosbyax（为参数）4 一般方程：)0,0(122BAByAx名师资料总结 - - -精品资料欢
3、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料5.性质： 对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222byax（ab0）有以下性质：坐标系下的性质：范围： |x|a，|y|b；对称性： 对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0） ；顶点：A1（-a，0） ， A2（a，0） ，B1（0，-b） ，B2（0，b） ，长轴 |A1A2|=2a，短轴 |B1B2|=2b；（a半长轴长，b半短轴长）；椭圆的准线方程：对于12
4、222byax，左准线caxl21:；右准线caxl22:对于12222bxay，下准线cayl21:；上准线cayl22:焦点到准线的距离cbccaccap2222（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称焦半径公式：P（x0， y0）为椭圆上任一点。|PF1|=左r=a+ex0，|PF2|=右r=a-ex0；|PF1|=下r=a+ey0，|PF2|=上r=a-ey0 caPFcaPFminmax,，左加右减，上减下加通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短 =ab22平面几何性质：离心率： e=2221ccbaa
5、a（焦距与长轴长之比）1 ,0；e越大越扁，0e是圆。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料焦准距cbp2；准线间距ca22两个最大角221max21221max21,ABAPAAFBFPFF焦点在 y 轴上，中心在原点：12222bxay（ab0）的性质可类似的给出。6焦点三角形 应注意以下关系：(1) 定义：r1r22a(2) 余弦定理：21r22r2r1r2cos(2c)2(
6、3) 面积：21FPFS21r1r2 sin212c| y0 |= c| y0 |=2tan2b ( 其中 P(00, yx) 为椭圆上一点，|PF1| r1，|PF2| r2，F1PF2)7. 共 焦 点 的 椭 圆 系 设 法 ： 把 椭 圆12222byax（ a b 0 ） 的 共 焦 点 椭 圆 设 为222221()xybab8. 特别注意： 椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关 , 而焦点坐标 ,准线方程 ,顶点坐标 ,与坐标系有关 . 因此确定椭圆方程需要三个条件: 两个定形条件a,b, 一个定位条件焦点坐标或准线方程. 9.弦 长 公 式 ：22121221111ABkxx
7、yykka1212bxxacx xa（a,b,c 为方程的系数考点解析考点一椭圆定义及标准方程题型 1: 椭圆定义的运用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例 1 . 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A的小球（小球的半径不计），
8、从点 A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）A4a B 2(a c) C2(a+c) D以上答案均有可能例 2.点 P 为为椭圆)0(12222babyax上一点， F1、F2是椭圆的两个焦点，试求：21PFPF取得最值时的P点坐标。题型 2 求椭圆的标准方程例 3. 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为244，求此椭圆方程. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 1
9、3 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料考点二椭圆的几何性质题型 1: 求椭圆的离心率（或范围）例 4. 在ABC中，3, 2| ,300ABCSABA若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e题型 2: 椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 5. 已知实数yx,满足12422yx,求xyx22的最大值与最小值考点三椭圆的最值问题题型 1: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值例 6. 椭圆191622yx上的点到直线l:09yx的距离的最小值为_题型 2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
10、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料1、的最值若 A 为椭圆内一定点（异于焦点），P 是 C 上的一个动点，F 是 C 的一个焦点， e 是 C 的离心率，求的最小值。例 7. 已知椭圆内有一点 A（2，1） ，F 是椭圆 C 的左焦点， P为椭圆 C 上的动点，求的最小值。2、的最值若 A 为椭圆 C 内一定点（异于焦点）， P为 C 上的一个动点， F是 C 的一个焦点， 求的最值。例 8 已知椭圆内有一点A（2，1） ，F 为椭圆的左焦点，P 是椭
11、圆上动点，求的最大值与最小值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料3、的最值若 A 为椭圆 C 外一定点，为 C 的一条准线， P为 C 上的一个动点，P 到的距离为 d，求的最小值。例 9. 已知椭圆外一点 A（5，6） ，为椭圆的左准线，P 为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。4、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例 10. 定长为的线段 AB 的两个端点分别在椭圆上
12、移动，求 AB 的中点 M 到椭圆右准线的最短距离。考点四直线与椭圆相交问题题型 1 直线与椭圆相交求弦长(1) 常用分析一元二次方程解的情况，仅有还不够，且用数形结合的思想。(2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但0 这一制约条件不同意。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料22121221111ABkxxyykka1212bxxacx xa（a,b,c 为方程的系数）
13、例 11.已知直线l过椭圆729822yx的一个焦点， 斜率为 2，l与椭圆相交于M、N 两点，求弦MN的长。题型 2“点差法”解题。 “设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。步骤： 1.设 A(x1,y1) B(x2,y2)分别代入椭圆方程；2.设),(00yxp为 AB 的中点。 两式相减，02022122122121)()(yaxbyyaxxbxxyy3.得出2121xxyyk注：一般的，对椭圆12222byax上弦AB及中点，M，有22abKKOMAB例 12.已知椭圆1222yx， 求斜率为2 的平行弦
14、的中点轨迹方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料考点五 .轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。2.代入法：一个是动点Q(x0,y0)在已知曲线F(x,y)=0 ，上运动，而动点P(x,y)与 Q 点满足某种关系，要求P 点的轨迹。其关键是列出P、Q 两点的关系式),(),(0yxyyy
15、xfxo3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。4.参数法：在x，y 间的方程F(x,y)=0 难以直接求得时，往往用)()(tyytfx(t 为参数 )来反映 x，y 之间的关系。常用的参数有斜率k 与角等。例 13：ABC的一边的的顶点是B(0,6) 和 C(0,-6)，另两边斜率的乘积是94，求顶点 A 的轨迹方程：考点六综合性问题，与平面向量结合（2011 四川卷理）（本小题满分12 分）椭圆有两顶点A(-1 ，0) 、B(1 ，0) ，过其焦点F(0，1) 的直线 l名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
16、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料与椭圆交于C、D两点，并与x 轴交于点 P直线 AC与直线 BD交于点 Q (I)当| CD | =322时，求直线l 的方程； (II)当点 P异于 A、B两点时，求证：OP OQ为定值。解：由已知可得椭圆方程为2212yx，设l的方程为1(0),yk xk为l的斜率则1212222222212122242122(2)2101221222kykxyyxxkkkxkxykxx xy ykk2422221212222
17、288889()()22(2)(2)2kkkxxyykkkkl的方程为21yx或21yx为所求（）当直线l与x轴垂直时与题意不符设直线l的方程为1ykx，(01)kk且，所以P点坐标为1(,0)k设11(,)C xy，22(,)D xy，由（）知12222kxxk，12212x xk，直线AC的方程为11(1)1yyxx，直线BD的方程为12(1)1yyxx将两直线方程联立，消去y得2112(1)11(1)yxxxyx因为121,1x x，所以11xx与21yy异号222222121122222121212(1)22(1)(1)(1)1()1(1)22(1)(1)(1)yxxxxxxxyxxx
18、xx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料22222211122()211122kkkkkkkk又22121212222(1)(1)2(1)1()1221kkkky yk x xk xxkkk11kk与12y y异号，11xx与11kk同号，1111xkxk，解得xk因此Q点坐标为0(,)k y，01(,0) (,)1OP OQkyk故OP OQ为定值（2013 四川卷理）（本小
19、题满分12 分）已知椭圆C：22221,(0)xyabab的两个焦点分别为12( 1,0),(1,0)FF，且椭圆C经过点41(,)33P（）求椭圆C的离心率；（）设过点(0, 2)A的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段MN上的点，且222211|AQAMAN，求点Q的轨迹方程解： (1) 由椭圆定义知，2a |PF1| |PF2| 2222414111223333，所以2a. 又由已知，c1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - -
20、 - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料所以椭圆C的离心率1222cea. (2) 由(1) 知，椭圆C的方程为22xy21. 设点Q的坐标为 (x，y) (1) 当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于 (0,1) ，(0 ，1)两点，此时点Q的坐标为350, 25. (2) 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2. 因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为 (x1，kx12) ，(x2，kx22) ，则|AM|2(1 k2)x12，|AN|2(1 k2)x22. 又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2. 由222211|AQAMAN，得2222221
21、2211111kxkxkx，即212122222212122211xxx xxxxxx. 将ykx2 代入22xy21 中，得(2k21)x2 8kx60. 由 (8k)24(2k21)6 0，得k232. 由可知，x1x22821kk，x1x22621k，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料代入中并化简，得2218103xk. 因为点Q在直线ykx2 上，所以2ykx，代入中
22、并化简，得10(y2)23x218. 由及k232，可知 0 x232，即x6, 0260,2. 又350, 25满足 10(y2)23x218，故x66,22. 由题意，Q(x，y) 在椭圆C内，所以1y1.又由 10(y2)2183x2有(y2)299,54且1y1，则y135, 225. 所以， 点Q的轨迹方程为10(y2)23x218，其中x66,22，y135,225. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -