春季讲义天津中考专题动态几何之定值问题教师版.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优质资料欢迎下载春季讲义天津中考专题动态几何之定值问题动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特别情形。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。本讲对定值问题进行探讨。探讨：（ 1）线段（和差）为定值问题。（ 2）面积（和差）为定值问题。（ 3）其它定值问题。一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例 1：（2021 黑龙江绥化8 分）如图，点 E 是矩形 ABCD 的对

2、角线BD 上的一点， 且 BE=BC ，AB=3 ，BC=4 ，点 P 为直线 EC 上的一点，且PQ BC 于点 Q ， PR BD 于点 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）如图 1，当点 P 为线段 EC 中点时，易证：PR+PQ=12 （不需证明）5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如图 2，当点 P 为线段 EC 上的任意一点（不与点 E、点 C 重合）时，其它条件不变，就（1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请赐予证明。如不成立，请说明理由（ 3）如图 3，当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，就PR 与 PQ 之间又

3、具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优质资料欢迎下载例 2：（ 2021 山东德州12 分） 如下列图，现有一张边长为4 的正方形纸片ABCD ，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点A 、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在 P 处，点 C 落在 G 处， PG 交 DC 于 H ，折痕为 E

4、F，连接 BP 、BH （ 1）求证： APB= BPH 。（ 2）当点 P 在边 AD 上移动时， PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论。（ 3）设 AP 为 x ，四边形 EFGP 的面积为S，求出 S 与 x 的函数关系式， 试问 S 是否存在最小值？如存在，求出这个最小值。如不存在，请说明理由【考点】 翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。【分析】（ 1）依据翻折变换的性质得出PBC= BPH ，进而利用平行线的性质得出APB= PBC 即可得出答案。（ 2）先由 AAS 证明 ABP QBP，从而由HL 得出 BCH

5、BQH ，即可得 CH=QH 。因此，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PDH 的周长 =PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。+x（ 3）利用已知得出EFM BPA，从而利用在Rt APE 中，（ 4 BE ）22=BE2，利用二次函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的最值求出即可。例 3：（ 2021 福建泉州12 分） 已知： A 、B 、C 不在同始终线上.（ 1）如点 A 、B、C 均在半径为R 的 O 上，i ）如图一，当A=45时， R=1，求 BOC 的度数和BC 的长度。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

6、学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优质资料欢迎下载ii ）如图二，当A 为锐角时，求证sin A=BC 。2R（ 2）.如定长线段 BC 的两个端点分别在MAN的两边 AM 、AN（ B 、C 均与点 A 不重合） 滑动， 如图三，当 MAN=60，BC=2 时，分别作BP AM ，CP AN ，交点为点P ，摸索究：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.【考点】 三

7、角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特别角的三角函数值，直角三角形中线性质。【分析】（ 1） i ）依据圆周角定理得出BOC=2 A=90，再利用勾股定理得出BC 的长。BCBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ii ）作直径CE，就 E=A ，CE=2R ，利用 sin A=sin E=BE2R，得出即可。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）第一证明点A、 B、P、C 都在 K 上，再利用sin A= BC2R，得出AP=BC43sin603（定值）即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可。二、面积（和差）为定值问题：典型

8、例题：例 1：（ 2021 湖北十堰3 分） 如图， O 是正 ABC 内一点， OA=3 ，OB=4 ，OC=5 ，将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，以下结论： BOA可以由 BOC 绕点 B 逆时针旋转60得到。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 O 与 O的距离为4。 AOB=15093。 S=6+33 。 SS6+其中正确的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结结论是【】四边形AOBOAOCAOB4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - -

9、- - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优质资料欢迎下载A BCD 【考点】 旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。例 2：（ 2021 广西玉林、防城港12 分） 如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形 AOCD 的顶点 A 的坐标是（ 0,4），现有两动点P、Q，点 P 从点 O 动身沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒 2 个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点 Q 从点 C 动身沿线

10、段CD （不包括端点C， D ）以每秒1 个单位长度的速度匀速向点D 运动 .点 P， Q 同时动身，同时停止，设运动时间为t 秒，当 t=2 秒时 PQ= 25 .（ 1）求点 D 的坐标，并直接写出t 的取值范畴。（ 2）连接 AQ 并延长交 x 轴于点 E,把 AE 沿 AD 翻折交 CD 延长线于点F,连接 EF，就 A EF 的面积 S 是否随 t 的变化而变化？如变化，求出S 与 t 的函数关系式。如不变化，求出S 的值 .（ 3）在（ 2）的条件下，t 为何值时，四边形APQF 是梯形？【考点】 动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相像三角形的判定和性质，梯形的

11、性质，解一元二次方程。【分析】（ 1）由勾股定理可求PC 而得点 C 的坐标，依据矩形的性质可得点D 的坐标。点 P 到达终点所需时间为 82=4 秒，点 Q 到达终点所需时间为41=4 秒，由题意可知，t 的取值范畴为：0 t 4。（2）依据相像三角形和翻折对称的性质，求出S 关于 t 的函数关系式，由于关系式为常数，所以 AEF 的面积 S 不变化， S=32。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精

12、心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优质资料欢迎下载（3）依据梯形的性质，应用相像三角形即可求解。例 3：（ 2021 江苏苏州 9 分） 如图，正方形 ABCD 的边 AD 与矩形 EFGH 的边 FG 重合，将正方形 ABCD以 1cm/s 的速度沿 FG 方向移动，移动开头前点 A 与点 F 重合 .在移动过程中，边 AD 始终与边 FG 重合， 连接 CG ，过点 A 作 CG 的平行线交线段 GH 于点 P，连接 PD.已知正方形 ABCD 的边长为 1cm，矩形 EFGH的边 FG、GH 的长分别为 4cm、3cm.设正方形移动时间为 x（ s），线段 GP

13、的长为 y（cm ），其中0 x 2. .5试求出y 关于 x 的函数关系式，并求出y =3 时相应 x 的值。记 DGP 的面积为S1， CDG 的面积为S2试说明S1 S2 是常数。当线段PD 所在直线与正方形ABCD的对角线 AC 垂直时，求线段PD 的长 .【考点】 正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特别角的三角函数值。【分析】（ 1）依据题意表示出AG 、GD 的长度，再由tanCGD=tanPAG 可解出 x 的值。（ 2）利用（ 1）得出的y 与 x 的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。（ 3）延长 PD 交

14、AC 于点 Q，然后判定 DGP 是等腰直角三角形，从而结合x 的范畴得出x 的值，在 Rt DGP 中，解直角三角形可得出PD 的长度。三、其它定值问题：典型例题：例 1：（ 2021 山东淄博4 分） 如图，将正方形对折后绽开（图是连续两次对折后再绽开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半这样的图形有【】A4 个B3 个C2 个D1 个【考点】 正方形的性质，折叠的性质，含30 度角的直角三角形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，三角形内角和定理。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - -

15、- - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优质资料欢迎下载例 2：（ 2021 四川绵阳14 分） 如图 1，在直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 在 y 轴正半轴上，二次函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=ax 2+ 16x +c 的图象 F 交 x 轴于 B 、C 两点， 交 y 轴于 M 点，其中 B（ -3，0），M （0，-1）。已知 AM=BC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

16、结（ 1）求二次函数的解析式。（ 2）证明：在抛物线F 上存在点D，使 A 、B、C、D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并恳求出直线 BD 的解析式。（ 3）在（ 2）的条件下，设直线l 过 D 且分别交直线BA 、BC 于不同的 P、 Q 两点， AC 、BD 相交于 N。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如直线l BD ，如图 1 所示，试求11BPBQ的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 l 为满意条件的任意直线。如图2 所示，中的结论仍成立吗？如成立，证明你的猜想。如不成立，请举出反例。【考点】 二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行

17、四边形、菱形的判定和性质，平行线间的比例线段关系，相像三角形的判定和性质，分式化简。【分析】 （ 1）利用待定系数法求出二次函数的解析式。（ 2）第一求出D 点的坐标，可得AD=BC且 AD BC，所以四边形ABCD是平行四边形。再依据 B 、D 点的坐标，利用待定系数法求出直线BD 的解析式。（ 3）本问的关键是判定平行四边形ABCD 是菱形。推出AC 直线l，从而依据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ 的长度，运算出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111BPBQ5。判定 PAD DCQ ，得到 AP.CQ=25 ，利用这个关系式对11111BPBQ5BPBQ进行分式的化

18、简求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值，结论为不变。练习题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.如图，将菱形纸片AB （ E） CD （ F）沿对角线BD （ EF）剪开，得到ABD 和 ECF，固定 ABD ，并把 ABD 与 ECF 叠放在一起可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优质资料欢迎下载（ 1）操作：如

19、图，将ECF 的顶点 F 固定在 ABD 的 BD 边上的中点处，ECF 绕点 F 在 BD 边上方左右旋转，设旋转时FC 交 BA 于点 H （H 点不与 B 点重合）， FE 交 DA 于点 G（ G 点不与 D 点重合）求证： BH.GD=BF 2（ 2）操作：如图，ECF 的顶点 F 在 ABD的 BD 边上滑动（ F 点不与 B 、D 点重合），且 CF 始终经过点 A ，过点 A 作 AG CE，交 FE 于点 G，连接 DG 探究： FD+DG=请予证明2. 如下列图，四边形OABC 是矩形点A 、C 的坐标分别为3，0 ，0，1，点 D 是线段 BC 上的动点 与可编辑资料 -

20、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结端点 B 、C 不重含 ，过点 D 作直线 y1xb 交折线 OAB 于点 E。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 记 ODE 的面积为S求 S 与 b 的函数关系式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1(2) 当点E 在线段OA上时，且tanDEO=2。如矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结O1A 1B1C1 摸索究四边形O1A 1B1C1 与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，如不交，求出该重叠部分妁面积。如转变请说明理由。3.如图，将 ABC 的顶点 A 放在

21、 O 上，现从AC 与 O 相切于点A （如图 1）的位置开头，将ABC 围着点 A 顺时针旋转，设旋转角为（ 0120），旋转后 AC ， AB 分别与 O 交于点 E,F，连接 EF（如图 2） . 已知 BAC=60 ， C=90， AC=8 ， O 的直径为8.1 在旋转过程中，有以下几个量：弦EF 的长 EF 的长 AFE 的度数点 O 到 EF 的距离 .其中不变的量是（填序号） 。2 当 BC 与 O 相切时，请直接写出的值，并求此时AEF 的面积 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x%T可编辑资料 - - - 欢迎下载