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1、4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版1Pz*OFrdFdFrMsin : 力臂力臂dFrM 对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 F 一力矩一力矩 M 用来描述力对刚体用来描述力对刚体的转动作用的转动作用0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFF4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版2zOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF （1）若力若力 不在转动平面内，把力分不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向
2、的两个分量解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 F其中其中 对转轴的力矩对转轴的力矩为零，故为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩zFF4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版3O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM （3）刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiM4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版4 例例1 中国长江
3、三峡大坝是世界上最大的中国长江三峡大坝是世界上最大的水利工程，其总装机容量水利工程，其总装机容量22 500 MW，坝体，坝体挡水前沿总长挡水前沿总长2 335 m，坝体总高坝体总高185 m，正，正常蓄水高度常蓄水高度175m. 假设水面与三峡大坝表面假设水面与三峡大坝表面垂直，如图所示垂直，如图所示. 求正常蓄水时，水作用在求正常蓄水时，水作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点 Q 且与且与 x 轴平行的力矩轴平行的力矩 .QyOx4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七
4、版5 解解 设水深设水深h，坝长，坝长L，在坝面上取面积，在坝面上取面积元元 ，作用在此面积元上的力，作用在此面积元上的力yLAdd ypLApFdddyOhxyAdydQyOxL4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版6)(0yhgpp令大气压为令大气压为 ，则，则 0pyLyhgpAPFd)(dd0hyLyhgpF00d)(代入数据，得代入数据，得N109 . 311FyOhxyAdyd2021gLhLhpL4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与
5、流体运动物理学第七版7QyOyydFdhFyMdd 对通过点对通过点Q的轴的力矩的轴的力矩FdyLyhgpFd)(d0hyLyhgpyM00d)(3206121LhgLhp代入数据得代入数据得mN1041231 .M4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版iFOzimiriFiF 质量元质量元 受受外外力力 、内内力力 ,由牛顿第二定律由牛顿第二定律iFim二二 转动定律转动定律iiiiamFFiiiiiirmamFFttt质量元的切向运动方程为质量元的切向运动方程为2ttiiiiiirmrFrF两边各乘以两边各
6、乘以 ri ，得，得84-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版又因又因 ，故上式为，故上式为对所有质元，由上式可得对所有质元，由上式可得)(2ttiiiiiirmrFrF0tiirF)(2tiiiirmrF合外力矩合外力矩M转动惯量转动惯量JJM 这样有这样有94-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反
7、成反比比转动定律转动定律.JM 讨论讨论MJ（1）ddMJJt（2）（3） =常量常量0M104-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版11三转动惯量三转动惯量 J 的的意义：意义：转动惯性的量度转动惯性的量度 . 转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm22iirmJmrJd2对刚体上质元连续分布有对刚体上质元连续分布有4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版12v 质量离散分布质量离散分布22222112jjjjrmrmrmrmJ
8、J 的计算方法的计算方法 v 质量连续分布质量连续分布VrmrrmJVjjjdd222 ：质量元：质量元md ：体积元：体积元Vd4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版13刚体的转动惯量与以下三个因素有关：刚体的转动惯量与以下三个因素有关：（3）与转轴的位置与转轴的位置有关有关（1）与刚体的体密度与刚体的体密度 有关；有关；（2）与刚体的几何形状与刚体的几何形状( (及体密度及体密度 的分的分布布) )有关；有关；说说 明明4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体
9、运动刚体转动与流体运动物理学第七版142mdJJCO四四 平行轴定理平行轴定理 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对其质心轴的转动如果对其质心轴的转动惯量为惯量为 ，则对任一与则对任一与该轴平行该轴平行，相距为相距为 的的转轴的转动惯量转轴的转动惯量CJmddCOm4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版15飞轮的质量为什么大飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？都分布于外轮缘？竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚
10、体转动与流体运动物理学第七版16( (2) ) 为瞬时关系为瞬时关系 ( (3) ) 转动中转动中 与平动中与平动中 地位相同地位相同amFJM ( (1) ) , 与与 方向相同方向相同 JM M说明说明 转动定律应用转动定律应用JM 4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版17 解解: 设细棒的线密设细棒的线密度为度为，质量元，质量元dm对定对定轴的转动惯量轴的转动惯量 例例 2 有一质量为有一质量为m，杆长，杆长 l 的均匀细长的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的
11、转动惯量量.rrmrJddd2222201d2d12lCmJJrrmllordmdrrOO所以有所以有4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版1822( )213CLJJmmLordmdrrOOAA 利用平行轴定理，可求得通过细棒端利用平行轴定理，可求得通过细棒端点且与棒垂直的轴线点且与棒垂直的轴线 AA的转动惯量的转动惯量4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版19 例例3 质量为质量为mA的物体的物体A 静止在光滑水静止在光滑水
12、平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为索跨过一半径为R、质量为、质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为，并系在另一质量为mB 的物体的物体B上，上，B 竖竖直悬挂直悬挂滑轮与绳索间无滑动，滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计轴承间的摩擦力可略去不计( (1) )两物体的两物体的线加速度为多少？线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的水平和竖直两段绳索的张力各为多少？张力各为多少？( (2) ) 物体物体 B 从静止落下距从静止落下距离离 y 时，其速率是多少时，其速率是多少？4-2 4-2 力矩力矩 转动定
13、律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版20解解 ( (1) ) 用用隔离法分隔离法分别对各物体作受力分析，别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系取如图所示坐标系ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCF4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版21amFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra yOT2FBPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四
14、章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版222CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF解得：解得：4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版23如令如令 ，可得，可得BABAT2T1mmgmmFF （2） B由静止出发作匀加速直线运动，由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率为下落的速率为2/22CBABmmmgymayv0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量
15、第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版24稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动试计算细杆转动到与竖直线成动试计算细杆转动到与竖直线成 角时角时的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例4一长为一长为 l 、质量质量为为 m 匀质细杆竖直放置，匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链其下端与一固定铰链O相相接，并可绕其转动接，并可绕其转动由于由于此竖直放置的细杆处于非此竖直放置的细杆处于非m,lOgm4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四
16、章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版25 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ 得得sin23lgNFm,lOgm4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版26ttdddddd由角加速度的定义由角加速度的定义对上式积分，利用初始条件，对上式积分，利用初始条件，ddNFm,lO)cos1 (3lg解得：解得：lgdsin23d有有gm4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量
17、第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版27 讨论讨论 一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为滑轮质量为m，绳下端挂一物体，物体所受，绳下端挂一物体，物体所受重力为重力为P, 滑轮的角加速度为滑轮的角加速度为1，若将物体去，若将物体去掉而以与掉而以与P相等的力直相等的力直接向下拉绳子，滑轮接向下拉绳子，滑轮的角加速度的角加速度2 将将( (A) ) 不变不变 ( (B) ) 变小变小( (C) ) 变大变大( (D) ) 无法判断无法判断1 12 2RRP4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量第四章第四章 刚体转动与流
18、体运动刚体转动与流体运动物理学第七版28解解JPRJPR22选选（C）T11TF RJF R JT21PF又12RRP本章目录本章目录第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版294-1 4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律4-4 4-4 力矩做功力矩做功 刚体定轴转动的刚体定轴转动的 动能定理动能定理4-0 4-0 教学基本要求教学基本要求* *4-5 4-5 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动选择进入下一节：选择进入下一节：本章目录本章目录第四章第四章 刚体转动与流体运动刚体转动与流体运动物理学第七版30选择进入下一节：选择进入下一节：* *4-8 4-8 万有引力的牛顿命题万有引力的牛顿命题* *4-6 4-6 刚体的进动刚体的进动* *4-9 4-9 经典力学的成就和局限性经典力学的成就和局限性* *4-7 4-7 流体流体 伯努利方程伯努利方程