矩阵及其运算教学课件.ppt

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1、 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于 , 2 , 1,njiaij 系数系数 n,ibi21 常数项常数项 nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2. 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四城市之间开辟了若干航线城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的如图所示表示了四城市间的航班图航班

2、图,如果从如果从A到到B有航班有航班,则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接 A 与与B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站发站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班.为了便于计算为了便于计算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一个数表就得到一个数表:1111111000000000这个数表反映了四城市间交通联接情况这个数表反映了四城市间交通联接情况.ABCDABCD 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaa

3、a212222111211称为称为 矩阵矩阵. .简称简称 矩阵矩阵. .nm nm 记作记作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为简记为 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩阵矩阵nmA,.,简简称称为为元元的的元元素素个个数数称称为为这这Anm 元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.主对角线主对角线副对角线副对角线例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵

4、,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 例如例如 2222222613i是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为称为行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量) ).行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶nnA.nA方阵方阵. .也可记作也可记作,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为称为列矩阵列矩阵( (或或列向量列向量).). 称为称为( (或或）. n 00000021（3）形如形如 的方阵的方阵, ,OO不全为不全为0 （4）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，

5、 零零矩阵记作矩阵记作 或或 . .nm nmo o注意注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如记作记作 .,21ndiagA (5)方阵方阵 100010001nEE称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）. . 同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念OO 1. 1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时, ,称为称为同同型矩阵型矩阵.全为全为1 2. 2.两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且并且对应元素相等对应元素相等,即即 ijijbBaA与与 , 2 , 1;, 2

6、, 1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作BA与与.BA 例如例如 9348314736521与与为为同型矩阵同型矩阵.例例1之之个个变变量量与与个个变变量量mnyyymxxxn,2121间的关系式间的关系式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的的到到变变量量表表示示一一个个从从变变量量mnyyyxxx,2121线性变换线性变换.为常数为常数其中其中ija .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA112

7、222111211系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. .若线性变换为若线性变换为 nnxyxyxy,2211称之为称之为恒等变换恒等变换. . nnxyxyxy,2211对应对应 100010001 单位阵单位阵. .线性变换线性变换 .cossin,sincos11yxyyxx 对应对应 cossinsincosXYO yxP, 111, yxP这是一个以原点为中心这是一个以原点为中心旋转旋转 角的角的旋转变换旋转变换. 例例2 设设,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已已知知 解解,BA . 2, 3, 2 zyx(1

8、)(1)矩阵的概念矩阵的概念 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列的一个数表列的一个数表行行nm(2) 特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 ;nm 行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵; ;零矩阵零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021矩阵与行列式的有何区别矩阵与行列式的有何区别? ? 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个矩阵仅仅是一个数表数表，它的行数和列数可以不同，它的行数和列数可以不

9、同.、定义、定义 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为nm ,bB,aAijij ABBA 说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 2 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112

10、113 ., 04BABAAA ,ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A1 1、定义、定义.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 规规定定为为或或的的乘乘积积记记作作与与矩矩阵阵数数, AAA ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的统称为矩阵的线线性运算性运算. .（设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数） ,nm BA、定义、定义 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积记作并把此乘

11、积记作.ABC 设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB例例222263422142 C22 16 32 816设设 415003112101A 121113121430B例例2 2?故故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才

12、能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘. 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在.、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; ;4AEAAE 若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m注意注意矩阵不满足交换律，即：矩阵不满足交换律，即：,BAAB .BAABkkk 例例 设设 1111A 1111B则则,0000 AB,2222 BA.

13、BAAB 故故但也有例外，比如设但也有例外，比如设,2002 A,1111 B则有则有, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 例例3 3 计算下列乘积：计算下列乘积： 21322 1 解解 213221 12 22 12 22 13 23 .634242 3213332312322211312113212bbbaaaaaaaaabbb 解解332222112bababa 321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbabababa 321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb331221111bababa =33

14、3223113bababa 解解 0010010010012A.002012222 .001001kAA求求设设 例例4 4 00100100201222223AAA 32323003033 由此归纳出由此归纳出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 用数学归纳法证明用数学归纳法证明当当 时，显然成立时，显然成立.2 k假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，nk 1 nk ,001001000211211 nnnnnnnnnnnnAAA所以对于任意的所以对于任意的 都有都有k .00021121 kkkkkkkkkkkA ,00102111111 nnnnnnnnnn 定义定义 把

15、矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . AAA例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB、转置矩阵、转置矩阵转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 例例5 5 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB解法解法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 2、方阵的行列式、

16、方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A则则. 2 运算性质运算性质 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 3、对称阵与伴随矩阵、对称阵与伴随矩阵定义定义设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 称为称为对称阵对称阵.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A为对称阵为对称阵例如例如 6010861612.称称为为反反对对称称的的则则矩矩阵阵如如果果AAAT 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相对称阵的元素以

17、主对角线为对称轴对应相 等等.说明说明例例6 6 设列矩阵设列矩阵 满足满足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且阵阵是是对对称称矩矩证证明明阶阶单单位位矩矩阵阵为为证明证明 TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET .是对称矩阵是对称矩阵H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 例例7 7 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.nA证明证明TAAC 设设 TTTAAC 则则AAT ,C 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.,TAAB

18、设设 TTTAAB 则则AAT ,B 所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.22TTAAAAA ,22BC 命题得证命题得证.定义定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性质性质.EAAAAA 证明证明 ,ijaA 设设 ,ijbAA 记记则则jninjijiijAaAaAab 2211,ijA 称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.A4 4、共轭矩阵、共轭矩阵定义定义当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的共轭矩阵的共轭

19、矩阵. ijaA ijaija ijaA AA故故 ijAAA ijA .EA 同理可得同理可得 nkkjkiaAAA1 ijA ijA .EA ;2AA .3BAAB 运算性质运算性质 ;1BABA （设（设 为复矩阵，为复矩阵， 为复数为复数,且运算都是可行的）且运算都是可行的）:BA, 矩阵运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与伴随矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵

20、相乘且矩阵相乘不满足交换律不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算进行加法运算.注意注意 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同不同.问等式问等式阶方阵阶方阵为为与与设设,nBA BABABA 22成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?答答 ,22BABBAABABA 故故 成立的充要条件为成立的充要条件为 BABABA 22.BAAB , 111 aaaa,11EAAAA 则矩阵则矩阵 称为称为 的可逆矩阵或逆阵的可逆矩阵或逆阵.A1 A在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，0 a有有

21、aa11 a其中其中 为为 的倒数，的倒数，a （或称（或称 的逆）；的逆）； 在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，E单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1，A那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，1 A如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是是可逆可逆的，并把矩阵的，并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.nAB,EBAAB BAnA, ,使得使得.1 AA的逆矩阵记作的逆矩阵记作例例 设设,21212121,1111 BA,EBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB说明说明

22、若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.AA若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，BCA则有则有,ECAACEBAAB 可得可得EBB BCA ABC .CCE 所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即A.1 ACB例例 设设,0112 A.的逆阵的逆阵求求A解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵, dcbaBA则则 dcbaAB0112 1001 100122badbca利用待定系数法利用待定系数法 , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因为又因为 0112 2110 0112 2110,1001 所以所以.211

23、01 AABAB定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 ,11 AAAA0 A证明证明若若 可逆，可逆，A.EAAA 11使使即即有有, 11 EAA故故. 0 A所所以以.的的伴伴随随矩矩阵阵为为矩矩阵阵其其中中AA ,0时时当当 A,0时时当当 A nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAaAaAann 1112121111AAaAaAannnnnnnn 2211, AAAAOOEAAAAA ,EAAAAAA .1AAA 按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕证毕.,0,0非非奇奇异异矩

24、矩阵阵称称为为时时当当称称为为奇奇异异矩矩阵阵时时当当AAAA 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义.为为非非奇奇异异矩矩阵阵是是可可逆逆阵阵的的充充要要条条件件是是由由此此可可得得AA, 1 EBA, 0 A故故,1存在存在因而因而 A于于是是EBB BAA1 ABA1 EA1 .1 A证证毕毕 .,1 ABEBAEAB则则或或若若推论推论证明证明 .,1111AAAA 且且亦亦可可逆逆则则可可逆逆若若逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质 且且可可逆逆则则数数可可逆逆若若, 0,2AA 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,3ABBA 1111 ABBAA

25、BAB1 AEA,1EAA .111 ABAB证明证明 1ABB1 1 A .111 AA TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA .,0,10kkAAEAA 定定义义时时当当另另外外证明证明 为为正正整整数数k .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A .,4AAAAT 且且亦亦可可逆逆则则可可逆逆若若TT1 1 .AA,A115 则则有有可可逆逆若若证明证明EAA 111 AA.AA11 因此因此有有为整数时为整数时当当, 0 A, AAA . AA 例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. . 343122321A解解343122321 A, 0 .1存在存在 A,

26、2341211 A, 3331212 A同理可得同理可得, 2, 6, 6, 223222113 AAAA, 2, 5, 4333231 AAA,222563462 A得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 ,331212321 A.1151531132 B解解331212321 A010430321 .,?,矩阵矩阵求出其逆求出其逆若可逆若可逆是否可逆是否可逆下列矩阵下列矩阵BA例例2 2010430321 0143 4 , 0 .A可可逆逆所所以以, 3332111 A, 4312212 A, 5311213 A.A,A,A,A,A,A341103333231

27、232221 同同理理可可求求得得 33231332221231211111AAAAAAAAAAAAA. 315404133411151531132 B由由于于, 0 .B不不可可逆逆故故,130231,3512,343122321 CBA例例3 3 设设.CAXBX 使满足使满足求矩阵求矩阵解解, 02343122321 A, 013512 B.,11都存在都存在 BA,111253232311 A且且,25131 BCAXB 又又由由1111 CBAAXBBA.11 CBAX于是于是11 CBAX 251313023111125323231E证证明明, 022 EAA由由 EEAA2 得得

28、, 0 AEEAA 212 EAA.,2,:, 022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例4 4 2513202011.41041012 .可可逆逆故故A1 A022 EAA又又由由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可可逆逆故故2 EAEA34121 且且.43AE .211EAA 12 EA , 13412 EAEA ;5104023211120111112 X .1125103241230111111120111113 X ;412341511 X解解矩矩阵阵方方程程例例5 5 4123415141514151

29、11X得得 41231154.642817 解解 412341511X给方程两端左乘矩阵给方程两端左乘矩阵,41511 412341511XE 5104023211120111112 X1112011111510402321 X给方程两端右乘矩阵给方程两端右乘矩阵,1120111111 得得 1125103241230111111120111113X.9144682592 给方程两端左乘矩阵给方程两端左乘矩阵,1230111111 251121131112510324251121131.471202121529307513 11123011111112510324123011111 X得得给方

30、程两端右乘矩阵给方程两端右乘矩阵,1230111111 714121,61ABAABAA且且oo.B求求ABABAA61 ABAEA61 EBEA61 .611 EAB解解:,满满足足关关系系设设三三阶阶矩矩阵阵BA例例6 611000100017000400026 16000300016 16000300016 610003100016.100020006 116 EAB, 0! 5 A因因由由伴伴随随矩矩阵阵法法得得,1AAA 解解.1存在存在故故 A.50000040000030000020000011 AA求求已已知知 例例7 7 432100000532100000542100000543100000543251!.51000004100000310000021000001 逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质. 0 A逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法 ;21AAA 利利用用公公式式逆矩阵逆矩阵 存在存在1 A ;1 待定系数法待定系数法 .3下一章介绍下一章介绍初等变换法初等变换法?,11 BAYBYABAXBAXA是是否否有有唯唯一一解解矩矩阵阵方方程程是是否否有有唯唯一一解解那那么么矩矩阵阵方方程程可可逆逆若若.1的的唯唯一一性性决决定定的的这这是是由由于于是是的的 A答答