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1、课程主讲人：第第5章章 映射单元和数值积分映射单元和数值积分有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院问题问题1：形状规则单元离散化复杂结构面临困难形状规则单元离散化复杂结构面临困难有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院问题问题2：整体坐标系下单元积分计算困难整体坐标系下单元积分计算困难TdeeVVKB DB单元刚度积分计算单元刚度积分计算等效等效结点结点载荷计算载荷计算TbdeeVVPN fTSdeeSSPN t12,( , )eeni uNaNNNaN12neeBaBBBa00iiiiiNxNyNNyxB单元位移插值单元位移插值应变列向量
2、应变列向量有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院解决途径：解决途径：形状规则单元形状规则单元曲边或曲面单元曲边或曲面单元映射变换映射变换局部坐标系局部坐标系整体坐标系整体坐标系母单元母单元子子单元（映射单元）单元（映射单元）完成计算容易完成计算容易适应复杂结构外形适应复杂结构外形( , , ),( , , ),( , , )xyzxfyfzf ( , , ) ( , , )x y z坐标变换坐标变换有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院一次变换一次变换二次变换二次变换1）一维单元变换）一维单元变换母单元母单元子单元子单元子单元子单元子单元子单元1( )miiixNx11( )( )
3、miiimiiixNxyNy111( )( )( )miiimiiimiiixNxyNyzNz一维一维二二维维三三维维有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2）二维单元变换）二维单元变换一次变换一次变换二次变换二次变换母单元母单元子单元子单元11( , ) ,( , )mmiiiiiixNxyNy 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院3）三维单元变换）三维单元变换一次变换一次变换二次变换二次变换母单元母单元子单元子单元111( , , ) ,( , , ),( , , )mmmiiiiiiiiixNxyNyzNz 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院坐标变换形式：坐标变换
4、形式：mimiiiiimiiizNzyNyxNx111),(,),(,),(位移位移插值式：插值式：niniiiiiniiiwNwvNvuNu111),(,),(,),(111( ) ,( ) ,( )nnniiiiiiiiiuNuvNvwNw11( , ) ,( , )nniiiiiiuNuvNv 11( , ) ,( , )mmiiiiiixNxyNy 111( ) ,( ),( )mmmiiiiiiiiixNxyNyzNz有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院等参变换等参变换次参变换次参变换超参变换超参变换：用于位移插值的结点；：用于坐标变换的结点：用于位移插值的结点；：用于坐标变
5、换的结点iiNNmn,等参单元等参单元mn 次次参单元参单元mn 超超参单元参单元有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院TdeeVVKB DBTTddeeeVSvSPN fN t1）单元计算）单元计算形状函数用局部坐标描述形状函数用局部坐标描述),(iN应变矩阵中的导数相对于整体坐标求导应变矩阵中的导数相对于整体坐标求导12neeBaBBBa积分针对整体坐标积分针对整体坐标所有子单元的母单元相同，通过变换所有计算在母单元上进行。所有子单元的母单元相同，通过变换所有计算在母单元上进行。矩阵求导变换矩阵求导变换积分变换积分变换有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1）单元计算）单元计算
6、12neeBaBBBa00iiiiiNxNyNNyxB矩阵求导变换矩阵求导变换积分变换积分变换TTdd deeeVAVt x yKB DBB DBTTTTddd ddeeeeeVSAlVSt x yt lNNNNPftft有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2）导数之间的变换）导数之间的变换雅可比矩阵雅可比矩阵yyNxxNNyyNxxNNiiiiiiiiiiNxyNxNNxyyxyxyJ11( , )( , )niiiniiixNxyNy 1111( , )( , ),( , )( , ),nniiiiiinniiiiiiNNxxxxNNyyyy iiNxNyJ等参变换等参变换( ,
7、)( , )iiNN 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院可计算可计算Bi1iiiiNNxNNy J11yyxxJJxyxyJ1111=nniiiiiinniiiiiiNNxyNNxy1=yyxyxyxx（）有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院例：例：四边形四边形4 4结点单元结点单元)1)(1 (41iiiN)1 (41),1 (41iiiiiiNN111(1)41(1)4iiiiiiiiNNxNNy JJ441144114411441111(1)(1)4411(1)(1)44iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiNNxyxyxyNNxyxyxy J1441
8、14411111(1)(1)44111(1)(1)44iiiiiiiiiiiiiiiiyyxxyyxx JJJ444411111111(1)(1) (1)(1)4444iiiiiiiiiiiiiiiixyxy J有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院3）面积微元和边界微元的变换）面积微元和边界微元的变换面积微元积分面积微元积分dd dA Jdddxy ijdddxy ijdddd dd dxyxyA （）J有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院22 1/2dd()() ddxylL 1 母单元上载荷作用边母单元上载荷作用边子单元上载荷作用边子单元上载荷作用边或：或：22 1/2dd
9、()() dd(1)xylL 在计算边界力的等效结点载荷时，线积分计算表达式在计算边界力的等效结点载荷时，线积分计算表达式取决于取决于子单子单元整体结点编号与母单元结点编号之间的对应关系。元整体结点编号与母单元结点编号之间的对应关系。边界微元积分边界微元积分有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院4）母单元中的积分计算）母单元中的积分计算Td deeAt x yKB DBTbd deeAft x yNPTSdeelt lPN t1 (-1,-1)2 (1,-1)3 (1,1)4 (-1, 1)将所有子单元刚度矩阵和等效结点载荷的积分计算变换将所有子单元刚度矩阵和等效结点载荷的积分计算变换到
10、同一个母单上完成。到同一个母单上完成。如何进行积分计算？如何进行积分计算？数值积分数值积分11T11d dt N f J1T1d(1)tL N t11T11( , )( , )( , )d dt BDBJ有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院n结点结点三角形单元三角形单元1321LLL令：令：21,LL31L面积坐标不独立面积坐标不独立12312311(,) ,(,)nniiiiiixN L L L xyN L L L y12(,)iN L L12312311(,) ,(,)nniiiiiiuN L L L uvN L L L v有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院111222i
11、iiiiiiiNxyNNNLLLxxNNNNxyyyLLLJ112iiiiNNLxNNyL J212111221212111=yyyyLLLLxyxyxxxxLLLLLLLL（）JJ微分变换微分变换有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院积分变换积分变换1T11T1212122100d d(,)(,)(,) ddeeALt x yL LL L tL LL L KB DBBDBJ体积力产生的等效结点载荷体积力产生的等效结点载荷单元刚度矩阵单元刚度矩阵假设已知面载荷作用于假设已知面载荷作用于2-3边边（L1=0）1TTS210dd(0)eeSStL LLPN tN t22 1/2122()()
12、 (0)xyLLLL111TTb2100dddeLeVf vtL L PNN f J有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院例：例：三角形三角形3 3结点结点单元单元31 1223313123231311223313123231()()()()iiiiiixN xN xN xN xxx Lxx LxyN yN yN yN yyy Lyy Ly1113132223231122=xyLLxxyydcxxyydcxyLLJ21121122 11 22111yyLLccddxxd cd cLLJJ有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1122312,1NLNLNLL 331122121212
13、1,0;0,1;1,1NNNNNNLLLLLL 31212331212311223333112200000010000002NNNxxxcccNNNdddyyyAdcdcdcNNNNNNyxyxyxB22 1/22222232311122()() ()() =(0)xyLxxyydcLLL有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院000iiiiiiNrNzNNzrNrB11( , ) ,( , )nniiiiiirNrzNz 12eenuw uNaNNNa12rzeenrzurwzuwzrurBBBaBa 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院iiiiiiNrzNNrrNrzNNzz
14、J1111=nniiiiiinniiiiiiNNrzrzrzNNrzJ111=zzzzrzrzrrrr（）JJ1iiiiNNrNNzJ有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院dddd dd drzrzA （）JTT11TT11dd d d2d d2( , )d deeeeVVSVrr zr r zr KB DBB DBB DBB DBJ22 1/2dd()() ddrzlL 1 11TTTb11d2d d2d deeeVSVr r zr PN fN fN f J1TTTS1d2d2d(1)eeeSlSr lrL PN tN tN t1122F222nrrrFFPFFiriizFFF集中载荷
15、集中载荷有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1231(,)niiirN L L L r1231(,)niiizN L L L z12,LL31L12(,)iN L L112iiiiNNLrNNzLJ212111221212111=zzzzLLLLrzrzrrrrLLLLLLLL（）JJ有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1122F222nrrrFFPFFiriizFFF集中载荷集中载荷TTTdd d d2d deeeeVVAVrr zr r zKB DBB DBB DB111T1212121221002(,)(,) (,)(,) ddLL LL L r L LL LL L BD
16、BJ111TTTb2100d2d d2ddeeLeVAVr r zrL L PN fN fN f J1TTTS210d2d2d(0)eeeSlSr lrL LLPN tN tN t22 1/2122()() (0)xyLLLL有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1）单元计算）单元计算12neeBaBBBa矩阵求导变换矩阵求导变换积分变换积分变换TdeeVVKB DBTTddeeeVSVSPN fN t000000000iiiiiiiiiiNxNyNzNNyxNNzyNNzx B有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2）导数之间的变换）导数之间的变换zzNyyNxxNNzzNyyN
17、xxNNzzNyyNxxNNiiiiiiiiiiii雅可比矩阵雅可比矩阵可计算可计算BixyzxyzxyzJ111( , , )( , , )( , , )niiiniiiniiixNxyNyzNz 111111111nnniiiiiiiiinnniiiiiiiiinnniiiiiiiiiNNNxyzxyzNNNxyzxyzxyzNNNxyzJiiiiiiiiiNxyzNNxxNNNxyzyyNxyzNNzzJ1iiiiiiNNxNNyNNzJ有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院3）体积微元和面积微元的变换）体积微元和面积微元的变换体积微元体积微元dddd,dddd,ddddxyzxy
18、zxyzijlijlijldd(dd )ddddddxxxyyyVzzz Jdd ddV J有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院母单元上载荷作用面母单元上载荷作用面子单元上载荷作用面子单元上载荷作用面面积微元面积微元1 1222 1/2ddd()()() d dd dSyzyzzxzxxyxyL 若子单元上的载荷作用面对应于母单元若子单元上的载荷作用面对应于母单元的边界面的边界面有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院111TT111dd d deeVV KB DBB DB J111TTb111dd d deeVV PN fN f J11TTS11dd d(1)eeSSL PN t
19、N t母单元上的积分表达式母单元上的积分表达式dddSL 子单元上载荷作用面也可以定义为母单元上的其它子单元上载荷作用面也可以定义为母单元上的其它面面，其它，其它微元面积可微元面积可以通过轮换以通过轮换 , , 得到：得到：222 1/2()()() (1)yzyzzxzxLxyxy 1dddS1dddS有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院14321LLLL体积坐标不独立体积坐标不独立令：令：321,LLL41L4144332211LNLNLLNLLNLLNLLNNiiiiiii4342,LNLNNLNLNNiiiiii121111TT321000ddddeLLLeVVL L L KB
20、 DBB DB J121111TTb321000ddddeLLLeVvL L L PN fN f J311TTS2300dddeLeSSL L L PN tN t123412341234111(,) ,(,),(,)nnniiiiiiiiixN L L L L xyN L L L LyzN L L L L z有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院dd d dV J0J0J二维问题二维问题dddddsin(d ,d )d dA Jdd dA Jddsin(d ,d )d d J当当d0,d0,sin(d ,d )0oror0J等参变换不能实现等参变换不能实现1iiiiNNxNNy J1ii
21、iiiiNNxNNyNNzJ有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院几何分析（平面几何分析（平面4结点单元为例）结点单元为例）123,4122,31234d0 d0 sin(d ,d )0 4:sin(d ,d )0 1,2,3:sin(d ,d )0总存在一点：总存在一点：这些单元这些单元不能实现不能实现等参变换等参变换有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院解的收敛条件：单元必须协调和完备。解的收敛条件：单元必须协调和完备。1）协调性）协调性 相邻边上有完全相同的结点，相邻单元公共边坐标和未知函数采相邻边上有完全相同的结点，相邻单元公共边坐标和未知函数采用相同的插值函数。用相同的插
22、值函数。2）完备性）完备性设设11( , ) ,( , )nniiiiiixNxyNy 1( , )niiiuNu ubcxdy1( , )niiivNv 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1( , )1niiN 满足完备性满足完备性要求要求1( , )(+)niiiiNbcxdy 1( , )niiiuNu ubcxdy111( , )( , )( , )nnniiiiiiiibNcNxdNy iiiubcxdy1( , )niiixNx 1( , )niiiyNy 等参单元满足收敛性等参单元满足收敛性要求要求有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院将将Lagrange单元或单
23、元或Serendipity单元中某些结点合并，但网格中单元中某些结点合并，但网格中仍然保留和原来单元相同的结点数，将这种把部分结点合并后仍然保留和原来单元相同的结点数，将这种把部分结点合并后的单元称为的单元称为退化形式退化形式。四边形四边形4结点单元退化为三角形单元结点单元退化为三角形单元结点结点3和和4合并在一起合并在一起有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院坐标变换坐标变换1 12233441 122343112233441122343()()xN xN xN xN xN xN xNNxyN yN yN yN yN yN yNNy退化单元的插值函数退化单元的插值函数123111(1)
24、(1),(1+ )(1),(1+ )442NNN由三角形单元插值函数推导可知，由三角形单元插值函数推导可知，形状函数对整体坐标的导数形状函数对整体坐标的导数11,22iiiiNNcdxAyA与用面积坐标与用面积坐标L L1 1、L L2 2、L L3 3得到的结果一致得到的结果一致有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院故故112233111(1)(1),(1+ )(1),(1+ )442NLNLNL进而可得进而可得应变矩阵应变矩阵3121233121231122333311220000001000=0002NNNxxxcccNNNdddyyyAdcdcdcNNNNNNyxyxyx与与三角
25、形单元三角形单元结果一致结果一致退化退化单元单元的的Jacobi矩阵矩阵312112231233NNNxyxyNNNxyJ有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院11223321213122131221(1)(1)01(1)(1)14(1)()(1)()1(2)()(2)()4xyxyxyxxyyxxxxxyyyyyJ2112321123(1)=()(1)(1+ )2()(1)(1+ )216xxyyyyyxxxJ在在=1的结点（合并的的结点（合并的3和和4结点）处，结点）处，Jacobi的行列式为零，即的行列式为零，即Jacobi矩阵是奇异的。但是，由前面的讨论可知，该单元为常应矩阵是奇
26、异的。但是，由前面的讨论可知，该单元为常应变单元，即计算应变时这一奇异性消失了。只要不考虑变单元，即计算应变时这一奇异性消失了。只要不考虑=1的结的结点点，就可以利用退化单元计算该三角形就可以利用退化单元计算该三角形3结点单元的形状函数的结点单元的形状函数的导数和积分。导数和积分。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院其它退化单元其它退化单元有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院根据线弹性断裂力学理论根据线弹性断裂力学理论，裂尖附近，裂尖附近21322112332211rbbrbtrararauiiiiiiii保留级数的第一项，裂尖附件的位移表达为保留级数的第一项，裂尖附件的位移表
27、达为2sin2)1 (223cos2cos)83(23sin2sin)87(24123sin2sin)89(23cos2cos)85(241III3III2III1KrEuKKrEuKKrEu有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院应力场应力场2sin212cos2123sin2sin1 2cos23cos2cos2sin21)(223cos2cos2sin23sin2sin1 2cos2123cos2cos22sin23sin2sin1 2cos21III31III23III12221133III22III11KrKrKKrKKrKKr裂纹尖端的应力具有奇异性裂纹尖端的应力具有奇异性1r
28、KI、KII和和KIII为应力强度因子为应力强度因子在裂纹尖端的应力为无穷大。在裂纹尖端的应力为无穷大。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院子单元子单元1-2边上任一点的坐标变换式边上任一点的坐标变换式1155222152( )( )( )11(1)(1)(1)22xNxNxNxxxx 边边1-2上各结点上各结点x方向的坐标方向的坐标x1=0，x5=h/4，x2=h22(1)(1)(1)424hhhx2/1x h在边在边1-2上任一点的位移插值表达式上任一点的位移插值表达式2010u 1/41/4结点奇异等参元结点奇异等参元12ddxuuxxhx 1r奇异性奇异性有限单元法基础 | 严
29、波重庆大学航空航天学院四边形四边形8结点单元结点单元三角形三角形6结点单元结点单元实际应用中无需修改程序，只需在离散结构时，实际应用中无需修改程序，只需在离散结构时，将裂尖附近单元的中间结点置于将裂尖附近单元的中间结点置于1/41/4处即可处即可。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院模拟基础开挖后变形的半无限域问题模拟基础开挖后变形的半无限域问题用无限元模拟边界用无限元模拟边界用传统有限元近似边界用传统有限元近似边界无无限元母单元与子单元的映射限元母单元与子单元的映射(1)11CQCCQQxxxN xN x 1,=20,1,CQPQxxxxxxx 假设映射关系假设映射关系有限单元法基础
30、 | 严波重庆大学航空航天学院可用可用Q和和P点的坐标表达坐标映射关系点的坐标表达坐标映射关系22(1)11QQPPQPxN xN xxx1QPQCNNNN 假设假设r是从是从C点开始度量点开始度量Crxx未知函数未知函数u用多项式近似用多项式近似230123uaaaa11QCQCCxxxxxxr 1111(1)11(1)11CQCQxxxyyy 扩展到二维扩展到二维有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院11TT11d dd deeAt x yt KB DBB DB J11TTb11d dd deeAt x yt PN fN f J1TTS1dd(1)eelt ltL PN tN t1
31、(-1,-1)2 (1,-1)3 (1,1)4 (-1, 1)如何进行积分计算？如何进行积分计算？数值积分数值积分yx子单元子单元母单元母单元有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院( )dbaf求积分求积分构造构造)(使使( )( ),(1,2,)iifin ( )d( )dbbaaf i: : 积分点积分点。积分点的数目和位置决定近似函数与原函数的近。积分点的数目和位置决定近似函数与原函数的近似程度，因而决定积分精度。似程度，因而决定积分精度。1）Newton-Cotes积分积分Lagrange多项式多项式(1)1( )( ) ( )nniiilf (1)1,()( ),()njnij
32、j iijlabi是积分区间上的等分点是积分区间上的等分点坐标坐标。有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院11( )d( )nbiinaifH fR积分精度积分精度余项余项作变换作变换)(1aab10)1()1()1(d)(,)(nininiilCCabHn-1阶阶NewtonCotes积分常数积分常数 若若F()是是n-1阶多项式，因阶多项式，因NewtonCotes积分精度为积分精度为n-1阶的，则积分结果是精确的。阶的，则积分结果是精确的。(1)1( )d( ) ( )dnbbniiaailf baniilHd)()1(积分加权系数，与被积函数无关，积分加权系数，与被积函数无关，只
33、与积分点个数和位置有关。只与积分点个数和位置有关。1( )d( )nbiiaifH f(1)1( )d ) ( )nbniiailf 1( )niiiH f有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院由由) 1, 1 , 0(, 0d )(niPbai确定确定 n 个积分点。个积分点。用用2n-1次多项式近似原函数次多项式近似原函数1(1)10( )( ) ( )( )nnniiiiiilfP 2）Gauss积分积分目的：目的：用用 n 个积分点获得更高的积分精度。个积分点获得更高的积分精度。构造构造n次多项式次多项式njjnP121)()()()(1(1)10( )d( ) ( )d( )d
34、nnbbbniiiiaaaiilfp =0(1)1( ) ( )dnbniiailf1( )niiiH fbaniilHd)()1(积分权系数积分权系数有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院（1）() 是是2n-1次多项式次多项式（2）i 不不是等间距是等间距（3）n 个个 Gauss积分点可达积分点可达 2n-1 阶精度阶精度21211( )d( )d( )nbbniinaaifRH fR 1( )d( )nbiiaifH f余项余项一维等参单元在自然坐标下的积分限一般为（一维等参单元在自然坐标下的积分限一般为（-1,1）1111( )d( )niiiIfH f1(1)1( )dnii
35、Hl与积分函数无关与积分函数无关有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院例：例：计算两点计算两点Gauss积分点的位置及积分权系数。积分点的位置及积分权系数。构造二次多项式构造二次多项式12( )()()p求积分点的位置求积分点的位置1-1( )d0,(0,1)ipi11212-111212-120()()d+2=0321()()d()03ii ：12121+=030 121=-0.57735026918962631=0.5773502691896263计算积分权系数计算积分权系数1111(1)(1)21112211111221( )d =d =1.0,( )d =d =1.0HlHl有限
36、单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院积分点数积分点数积分点坐标积分点坐标积分权系数积分权系数10.000 000 000 000 0002.000 000 000 000 00020.577 350 269 189 6261.000 000 000 000 000-0.577 350 269 189 6261.000 000 000 000 00030.774 596 669 241 4830.555 555 555 555 556-0.774 596 669 241 4830.555 555 555 555 5560.000 000 000 000 0000.888 888 888 88
37、8 88940.861 136 311 594 0530.347 854 845 137 454-0.861 136 311 594 0530.347 854 845 137 4540.339 981 043 584 8560.652 145 154 862 546-0.339 981 043 584 8560.652 145 154 862 54650.906 179 845 938 6640.236 926 885 056 189-0.906 179 845 938 6640.236 926 885 056 1890.538 469 310 105 6830.478 628 670 499
38、 366-0.538 469 310 105 6830.478 628 670 499 3660.000 000 000 000 0000.568 888 888 888 88960.932 469 514 203 1520.171 324 492 379 170-0.932 469 514 203 1520.171 324 492 379 1700.661 209 386 466 2650.360 761 573 048 139-0.661 209 386 466 2650.360 761 573 048 1390.238 619 186 083 1970.467 913 934 572 6
39、91-0.238 619 186 083 1970.467 913 934 572 691高斯积分点的坐标及权系数高斯积分点的坐标及权系数有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1）四边形单元）四边形单元11211( , )d dIf 11(,)pqnnijjjijHH f 111(, )dpnjjjH f 11(,)pqnnijjiijH H f 一维一维Gauss积分权系数积分权系数沿每个坐标方向的积分点数沿每个坐标方向的积分点数平面问题四边形单元平面问题四边形单元11TT1111( , )( , )( , )d d(,)(,)(,)pqnnepqpqpqpqpqtH Ht JKBDB
40、BDBJ11TTb1111d d(,)(,)pqnnepqpqpqpqtH Ht PN f JNf J1TTTS11dd( ,)( ,)(1)qeneqqqlqt ltLHCtL CC PN tN tNt有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院轴对称问题四边形单元轴对称问题四边形单元11T11T112( , )d d=2(,)(,) (,)(,)pqennpqpqpqpqpqpqrH Hr KB DBJBDBJ11Tb11T112d d=2(,)(,)(,)pqennpqpqpqpqpqrH Hr PN f JNfJ1TTS112d2( ,)( ,)(1)qneqqqqrLHCL CC P
41、N tNt有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2）六面体单元）六面体单元1113111111( , , )d d d(,)pqrnnnijmmjiijmIfH H H f 111T111T111d d d(,)(,)(,)pqrennnpqrrqprqprqppqrH H H KB DB JBDBJ111Tb111T111d d d(,)(,)pqrennnpqrrqprqppqrH H H PN f JNf J11TTS11T11dd d=( ,)( ,)(1)epqeSnnpqqpqppqSLH HCL CC PN tN tNt有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院1）三角形
42、单元）三角形单元HammerHammer积分积分111212321123001( ,)dd(,)qnLiiiiiIf L L LL LH f LL L 平面问题三角形平面问题三角形单元单元111T1212122100T1231231231(,)(,)(,) dd(,)(,)(,)qLeniiiiiiiiiiiL LL L tL LL LHLL LLL LtLL L KBDBJBDBJ111TTb21123123001dd(,)(,)qnLeiiiiiiiitL LHLL LtLL L PN f JNf J1TTS22201d=()()qneiiiiL LHLtL LPN tNt3121iiiL
43、LL 载荷作用于载荷作用于L1=0的边上，的边上，用一维用一维Gauss积分积分有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院轴对称轴对称问题三角形问题三角形单元单元111T121212122100T12312312312312(,)(,) (,)(,) dd2(,)(,) (,)(,)qLeniiiiiiiiiiiiiiL LL L r L LL LL LHLL LLL Lr LL LLL L KBDBJBDBJ111Tb2100T12312312312dd2(,)(,)(,)qLeniiiiiiiiiiirL LHLL Lr LL LLL L PN f JNfJ1TTS2222012d2()
44、 () ()qneiiiiirL LHLr LL LPN tNt载荷作用于载荷作用于L1=0上，上，用一维用一维Gauss积分积分有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院三角形单元数值积分点坐标和权系数三角形单元数值积分点坐标和权系数有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院2）四面体单元）四面体单元HammerHammer积分积分1211113123432112340001(,)ddd(,)qnLLLiiiiiiIf L L L LL L LH f LL LL 121111T321000T1234123412341ddd(,)(,)(,)qLLLeniiiiiiiiiiiiiiL L
45、LHLL L LLL L LtLL L L KB DB JBDBJ121111Tb321000T123412341ddd(,)(,)qLLLeniiiiiiiiiiL L LHLL L LLL L L PN f JNf J311TTS23234234001dd(,)(,)qnLeiiiiiiiiL L LHL L LL L L L PN tNt载荷作用于载荷作用于L1=0的面上，的面上，用三角形面积分用三角形面积分有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院四面体单元数值积分点坐标和权系数四面体单元数值积分点坐标和权系数有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院一一维等参单元刚度维等参单元刚
46、度阵积分：阵积分：如果插值函数如果插值函数 N 为为 p 次多项式，微分算子次多项式，微分算子 L 中的导数为中的导数为 m 阶阶则被积函数为则被积函数为 2(p-m) 次多项式。次多项式。ifconstJ选择选择Gauss积分点数积分点数 n=p-m+1，则，则积分精度为积分精度为2n-1=2(p-m+1)-1=2(p-m)+12(p-m)刚度矩阵精确积分（完全积分）刚度矩阵精确积分（完全积分）1T1deKB DB J有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院例：例：二维二维4结点单元结点单元n=p-m+1=2-1+1=22X2点可得精确积分点可得精确积分实际应用中实际应用中 p 可取决定
47、有限元精度的完全多项式的最高阶次。可取决定有限元精度的完全多项式的最高阶次。减缩积分（减缩积分（Reduced integration）：）：Gauss积分阶次低于被积函数所积分阶次低于被积函数所有项次精确积分所需阶次的积分方案。有项次精确积分所需阶次的积分方案。往往获得更高的积分精度。往往获得更高的积分精度。1(1)(1)4iiiN11T11d de KB DB J1, , , 1, , , 2, 2,积分分别沿积分分别沿和和两个方向积分两个方向积分每每个方向的最高阶次均为个方向的最高阶次均为2p=2，m=1二维问题刚度阵积分：二维问题刚度阵积分：11T11d de KB DB J分别考查沿
48、分别考查沿两个积分方向的阶两个积分方向的阶次次有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院常用单元积分阶次选择：常用单元积分阶次选择：完全积分完全积分2 2减缩积分减缩积分1 1完全积分完全积分3 3减缩积分减缩积分2 2完全积分完全积分2 2 2 减缩积分减缩积分1 1 1 完全积分完全积分3 3 3 减缩积分减缩积分2 2 2 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院引入位移边界条件后，引入位移边界条件后，0K或或 K 满秩。满秩。矩阵秩的性质矩阵秩的性质（1）,( )min()ifrkrk,BUAVBU A V（2）,( )( )( )ifrkrkrkCABCABT1gneiiiii
49、HKB DB JD: dXd, tr(D)=dBi: dXnf, tr(Bi)=d, 通常通常 d 1x1x3=3 奇异奇异2x8-3=13 1x4x3=12 奇异奇异（b）6x2-3=9 2 x1x3=6 奇异奇异13x2-3=23 2x4x3=12 （c）25x2-18=32 16 x1x3=4865x2-34=96 16x4x3=192（a）（b）（c）有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院悬臂梁问题悬臂梁问题单单 元元网格方案（高度方向个数网格方案（高度方向个数x长度方向个数）长度方向个数）1x62x124x128x24四边形四边形4结点结点0.1880.4780.4820.78
50、8四边形四边形8结点结点0.9810.9970.9981.001六面体六面体8结点结点0.2150.5030.1920.790六面体六面体20结点结点0.9670.9890.9760.9961）剪切自锁）剪切自锁单元单元完全积分完全积分梁挠度与理论解的比值梁挠度与理论解的比值4max44581 501 2.58 2.0 10123.0mmqlyEI 有限单元法基础 | 严波重庆大学航空航天学院弯矩作用下材料的变形弯矩作用下材料的变形弯矩作用下完全积分线性单元的变形弯矩作用下完全积分线性单元的变形积分点上的应力积分点上的应力220120结果结果不正确不正确产生这种伪剪切的原因是因为线性单元的边不