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1、概念理解教学的关键在于概念理解教学的关键在于“度度”溧阳市戴埠初级中学溧阳市戴埠初级中学 刘刘 静静 初中阶段是学生数学能力形成的关键期，是学生从算术思维到代数思维、从形象思维想抽象思维的过度期。小学数学强化了算法，但算理强化不够。很多学生都会求两个数的最大公约数，但是对为什么要求最大公约数却知之甚少。初中很多知识小学都学过，高中还要进一步学习，我们怎样把握概念理解的“度”，这已成为初中数学概念教学的特点，使初中数学概念教学呈现出独特的策略。新课程标准下对数学概念描述，改变了旧教材中刻板的知识结构体系和严谨的数学概念体系，不再特别关注概念表现形式，而是注重强调要关注概念的实际背景与形成过程，帮
2、助学生克服学习概念时只会死记硬背的学习方式，这给初中数学概念教学提供了思路。一、初中数学概念的特点分析 正确理解初中数学概念的特点是我们把我“度”的关键。因此，教师要关注数学概念的理解，帮助学生抓住该年度特点，真正理解概念的本质是学好数学的关键。在多年的教学中,我也分析了许多大大小小的概念的构成,总结出初中数学概念具有如下特点. 1、数学概念的承上启下、数学概念的承上启下 很多概念都是基于小学数学概念的进一步深化。比如,小学学习了分数、同分母分数想加减、异分母相加减和分数的基本性质.初中阶段在有理数引入后,分数的概念有了扩展,虽然分数运算法则没有变化,但是运算的数域发生了变化,导致学生解题困难
3、。代数式之后还要学习分式及其运算.这些知识对学生来说是不是新知识呢?这是一个值得研究的问题.高中生在实数和复数、抽象函数引入后,分数的概念又有所变化和引申。 可见,初中数学概念教学必须充分以小学数学概念的理解为基础,以有助于高中深化为目标,把握好概念教学的深度。 2、定义表现的形象直观、定义表现的形象直观 由于初中生逻辑思维能力还不够，所以初中数学概念主要是以形象、通俗的语言方式进行表达，而不是严格的数学定义。 比如，代数式的概念只说“像。的叫代数式”，到底什么方面像呢？概念并没有明确，只能靠直观感受。再如，“方程是含有未知数的等式“等概念都比较形象、直观。这种定义易于理解，但却不适合严格论证
4、。另外，初中数学中还存在大量的不定义概念，这些概念都是日常语言的固化，数学中没有给出明确的定义而直接使用的。比如，相交、点、数等。 可见，初中数学概念不能像严格数学概念那样全面分析概念的内涵和外延。它既有严格的数学语言表述，又有个别表述不严谨的现象，所以要把握好概念教学的难度。 3、概念体系的初步形成、概念体系的初步形成 初中数学概念已经初步建立了相互联系。比如，三角形、四边形、多边形等，只有理解了三角形的概念，才能理解其他的同类型概念。通过各种数学对象的性质将小学不同的概念连接起来。 比如，平行四边形、矩形、菱形和正方形等概念，通过逻辑分析，获得这些概念的内涵的包含关系和外延的被包含关系。再
5、比如，加减法实现了等价相互转换，字母、参数、变量、未知数等概念也趋于统一。 可见，初中概念教学应强化概念之间的联系，但要把握好概念系统化的适度。 4、数学语言的独立发展、数学语言的独立发展 初中阶段初步形成了比较严格的数学语言，特别是几何图形、几何证明、几何变换和代数运算等。几何证明语言通常是“因为。所以。”，这些内容都有比较规范的表述要求，学生表述逐渐要求体现简洁规范，言必有据等数学语言表达的特点。教学时要把握好语言表达、尺规操作和逻辑证明的适度要求。二、初中数学概念理解教学的策略 “度”是一个哲学概念。做任何事都有过犹不及的问题。因此，数学教学也要有个适度原则。初中阶段数学概念的教学时学生
6、数学能力形成的关键期。为了适度把握概念教学的内容和要求，体现初中数学概念的特点，教师应该建立整体观念，把握教学过程中的“度”，促进学生逻辑思维的快速发展。 1、根据学生的水平，明确数学概念的理解程度、根据学生的水平，明确数学概念的理解程度 根据初中数学概念有不同的要求和不同的表述，因此教学时要具体分析不同概念的教学内容和深度要求。理解数学概念就是使学生明确概念“是什么”、“为什么”、“怎么说”和“怎么做”等内容。 如，读一“数轴”这个概念，可以这样引导学生理解。（1）数轴是什么？（是一条直线，有原点、正方向、单位长度的直线。）（2）为什么要用数轴？（直观表示数的大小和顺序，实现数与形的相互表示
7、。）（3）怎样交流或表述与数轴相关的知识与技能？（数与点的对应关系，大小关系的 几何表示，几何语言与代数语言的转换等。）（4）完成数轴的有关操作。（画一条数轴，确定一个数在数轴上的位置，确定合理的单位，确定数的大小的方法等。） 这就是对数轴这个概念的适度理解，但如果要求所有学生都会把一个无理数表示在数轴上，则是理解的过度要求了。 当然，同一个概念在不同学段出现时都会有不同程度的要求。比如，加法小学就学，初中也学，甚至博士也要学加法。这是因为加法的对象和意义是不断变化的。概念的层次不仅表现在对象的变化，有时也表现在难度要求、知识链接和抽象程度等方面。比如，数轴与数的关系是基本要求，用数轴研究数的
8、性质是重点，用数的性质研究几何问题，或者用数轴研究函数变化则是更高的要求。 所以，教师教学概念时要根据学生的实际水平和特点，注意概念的理解程度，让学生跳一跳，够得到，又不能无度地增加难度，让学生无所适从、无从下手。根据这一要求，教师必须由浅入深、化难为易，逐步抓住问题的实质，这不仅体现数学发展的规律，而且是学生渐进学习的关键。2、根据概念的逻辑关系，控制概念内涵与外延的讲解程度、根据概念的逻辑关系，控制概念内涵与外延的讲解程度 概念的内涵是指该概念所具有的本质属性的总和。概念的定义是本质属性中的一个决定性属性组，类似于线性空间的基底的作用。一般来说，数学概念的定义都是短短几句话，较为简练。但是
9、，它包含了丰富的内涵和外延。例如，“平行线”的决定性属性组就是“两条直线，在同一平面内不相交”，它决定平行线的所有性质。所以讲清概念的关键在于定义的理解。 例如，在教学“线段的垂直平分线”的定义时，就要指导学生抓住下列的要点。 （1）它是一条直线；（2）这条直线通过线段的中点； （3）这条直线垂直于线段。 其中（1）指出了它“是什么”图形，（2）（3）指出了它是“怎么样”的图形。 通过这样的划分，学生对概念的逻辑关系就清清楚楚、一目了然。 概念的外延是指该概念所包含的对象的总和。也有一类概念时利用外延来定义的。例如，“数”这个概念的外延是所有数的集合，它包括正数、0、负数；如果纠结无限不循环小
10、数或者实数的性质就过了。“三角形”这个概念的外延是所有三角形的集合，它包括锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。这类概念必须通过对外延的理解来全面把握它所表现的对象。 理解概念就是让学生讲清楚这个概念的内涵和外延分别是什么，能够比较准确地判断概念都包括哪些对象，以及这些对象都具有哪些性质。只有弄清这两个问题，才能对该概念有切实的掌握，也有助于培养学生思维的广度和深度，提高学生的逻辑思维能力。但如果不控制概念内涵与外延的讲解程度，就会出现一些似是而非的问题。比如，“a+b=b+a是不是方程”和”x+y=5是方程还是函数“之类的问题。3、根据概念定义的表述特点，确定概念的分析深度、根据概念定义的表述
11、特点，确定概念的分析深度 概念是反映客观事物本质属性的思维形式，概念是通过定义描述的。因此，讲授概念时，要帮助血红素剖析定义的表述。但是由于初中数学概念具有一定的不严密性，所以在剖析定义时，一定要根据定义的性质把握适当的分析深度。比如，较严格的内涵定义，重点分析大小概念的差别。 例如，在教学“等腰三角形”时，要使嘘声紧紧地抓住它与一般三角形的区别，强调是一种特殊的三角形，特殊在“有两条边相等。但对于代数式、无理数、函数等不够严格的概念，要关注概念的实际背景与形成过程，重点学习一种语言的表述方法，不要过分强调概念边界的清晰。 可见，初中学生正处在从形象直观到严谨逻辑过度的关键时期，教学时要根据定
12、义的表述特点，把握好概念的分析深度，既要注意通过严谨的逻辑语言训练提升逻辑思维能力，又要注意不能过高地要求学生进行的逻辑推理。 4、根据概念的抽象特点，控制应用情景的变式广度、根据概念的抽象特点，控制应用情景的变式广度 概念应用时概念理解的主要目的，也是监测概念是否理解的重要标志。典型应用不仅是简单的套用，而且还包括变式应用和反例分析等方面。抓变式是指几何概念要画出它的变式图形；代数概念要会列出“等价”的各种表现形式。例如，几何中有关同位角、内错角、同旁内角的概念，学生容易在图(1)、图（2）中找出。也可以稍作变式，如图（3），将所截的两条直线变为不平行的直线，学生经过认真的观察和思考也能找出
13、来。但如果变为图（4）、图（5）那样，两条直线不平行且过交点的情况就有些过度了。 图（1）图（2）图（3）图（4）图（5）又如，代数式中“非负数”的概念，可以有以下几种表现方式。（1）a是一个非负数； （2）a是一个正数或0；（3）a是一个大于或等于0的数；（4）还可以用式子表示为a0。通过这几种“等价”的表达方式，使学生对“非负数”这个概念有更为深刻和全面的理解。可见，适当的变式使学生对同一问题进行多角度、多方位的思考，有利于培养思维的变通性和灵活性。但要因人而异灵活处理，否则便会适得其反。选择变式要注意把握变化的“度”，不要“变”得过于简单，也不能太难。（5）、根据概念的互相联系，把握思维
14、的训练强度）、根据概念的互相联系，把握思维的训练强度 任何知识都是相互联系的，只有将概念放到一个概念体系中，才能很好地发挥概念的价值，解决综合性问题。数学作为一门基础学科，具有系统性和连贯性，新旧知识联系密切，对旧知识的理解和记忆，为学好新内容提供很大的帮助。因此，在讲授新概念时，要密切联系与它有关的旧概念。例如，“一元一次方程”的概念是建立在“元”、“次”和“方程”这三个概念基础上的，只要抓住“一元一次方程”的本质，以后再讲授“一元一次方程”、“一元一次不等式”等概念时，教师只要引导学生回忆已学过的有关知识，学生就会触类旁通，达到事半功倍的效果。 对于容易混淆或难以理解的概念，可以通过分析、
15、比较的方法，对某一类概念的相关联系及区别进行分析。例如，矩形和菱形，它们既有联系，又有区别。联系是：都是平行四边形，因而都具有平行四边形的性质。区别是：矩形四个角都是直角，而菱形四条边都相等。这样有利于学生加深理解各概念的实质，并且有利于记忆。 可见，数学概念具有很强的系统性，先前的概念往往是后续概念的基础，为弄清概念之间的关系，一般采用概念分类和概念比较的方法，找出共同点和不同点，这样可以加深对概念的理解。 总之，适当把握数学概念的理解程度、讲解深度、分析深度、变式广度和训练强度，对珍格格数学的教学起着至关重要的作用。根据课程标准的要求、学生的能力发展状况，严格控制概念教学的“度”，才能真正实现初中数学概念教学承上启下的教学特点。