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1、精选优质文档-倾情为你奉上第三讲点、直线与圆的位置关系中考要求内容基本要求略高要求较高要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题知识点睛一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆
2、外；点在圆上；点在圆内.如下表所示：位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部点在的外部.点在圆上点在圆周上点在的外部.点在圆内点在圆的内部点在的外部.确定圆的条件1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：圆心(定点)，确定圆的位置；半径(定长)，确定圆的大小只有当圆心和半径都确定时，远才能确定2. 过已知点作圆经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是
3、唯一存在的，这样的圆有唯一一个过个点的圆：只可以作个或个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆注意：”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”4. 三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形外心的性质：三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心
4、是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.二、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离与
5、半径的关系公共点名称交点切点无直线名称割线切线无三、切线的性质及判定 1 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3 切线长和切线长定理： 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角4弦切角等于同弧所
6、对的圆周角切线的判定定理设OA为O的半径，过半径外端A作OA，则O到的距离d=r，与O相切因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线注：定理的题设“经过半径外端”，“垂直于半径”，两个条件缺一不可结论是“直线是圆的切线”举例说明：只满足题设的一个条件不是O的切线 证明一直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂直；(2)作垂直，证垂直在圆上切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足：(1)垂直于切线 (2) 过切点 (3)过圆心 定理：过圆心，过切点 垂直于切线 OA过圆心，OA过
7、切点A，则OAAT经过圆心，垂直于切线过切点 经过切点，垂直于切线过圆心重、难点重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目难点与关键：由点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价例题精讲一、点与圆的位置关系【例1】 一个已知点到圆周上的点的最大距离为，最小距离为，则此圆的半径为_【例2】 已知：四边形中，以为圆心，长为半径作圆求证：在上，在内，外都有线段上的点.【例3】 在平面直角坐标系内，以原点为圆心，为半径作，已知，三点的坐标分别为，试判断，三点与的位置关系.【例4】 在 中，以点为圆心，以为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由. 当取何值时
8、，点在上，且点在内部？ 当在什么范围内取值时，点在外部，且点在的内部？ 是否存在这样的实数，使得点在上，且点在内部？ 【例5】 已知中，的中点为， 以为圆心，为半径作，则点，与的位置关系如何？ 若以为圆心作，使，三点至少有一点在内，且至少有一点在外，求半径的取值范围 【例6】 中，求其外接圆的半径 二、直线与圆的位置关系【例7】 (08浙江省丽水) 如图，已知是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点， 设，则的取值范围是AO BC11 D PAOB【例8】 已知ABC=60，点O在ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心3cm为半径作圆，则O与BC的
9、位置关系是_【例9】 在中，以点为圆心，为半径的圆和有怎样的位置关系？为什么？ ； ； 三、切线的判定【例10】 如图，为等腰三角形，是底边的中点，与腰相切于点，求证与相切 【例11】 (据06北京中考题第19题改编)已知：如图，内接于，是过的一条射线，且求证：是的切线 【例12】 已知：如图，是的直径，为上一点，过点，于，平分求证：为的切线 【例13】 如图，已知是的半径，是中点，是延长线上一点，且求证：是的切线【例14】 (08海淀一模)已知：如图，是的直径，是弦，是过点的直线，等于半径长 若，求证：是的切线； 在成立的条件下，当点是的中点时，在上截取，连接、，求证：是等边三角形【例15】
10、 (09湖北孝感)如图，是的外接圆，点是圆外一点，切于点，且 求证：是的切线； 已知，求的半径 【例16】 (09浙江义乌)如图，是的的直径，于点，连接交于点，弦，弦于点 求证：点是的中点； 求证：是的切线； 若，的半径为，求的长 【例17】 如图，已知是正方形对角线上一点，以为圆心、长为半径的与相切于，与、分别相交于、 求证：与相切； 若正方形的边长为，求的半径 【例18】 (2007年武汉)如图，等腰三角形中，以为直径作交于点，交于点，垂足为，交的延长线于点 求证：直线是的切线； 求的值 四、切线长定理【例19】 如图，分别切于，若，周长为，求的半径【例20】 如图，已知是的直径，是和相切
11、于点的切线，的弦平行于，若，且，求的长【例21】 如右图所示，的内切圆与三边、分别切于、，.，求、的长 在中，求内切圆的半径家庭作业【习题1】 设的两条直角边长分别为，则此直角三角形的内切圆半径为 ，外接圆半径为 【习题2】 等边三角形的外接圆的半径等于边长的( )倍ABCD【习题3】 (2009年莆田)已知和的半径分别是一元二次方程的两根，且则和的位置关系是 【习题4】 (首师大附中2008-2009初三月考)定义：定点与上的任意一点之间的距离的最小值称为点与之间的距离现有一矩形如图，与矩形的边分别相切于点，则点与的距离为_【习题5】 (2004潍坊)RtABC中，C=90，AC=3cm，B
12、C4cm，给出下列三个结论： 以点C为圆心，3 cm长为半径的圆与AB相离；以点C为圆心，4cm长为半径的圆与AB相切；以点C为圆心，5cm长为半径的圆与AB相交上述结论中正确的个数是( )A0个 Bl个 C2个 D3个【习题6】 的两条直角边，斜边上的高为，若以为圆心，分别以，为半径作圆，试判断点与这三个圆的位置关系.【习题7】 如下图所示，以的直角边为直径作半圆，交斜边于，交于，求证：是的切线； 【习题8】 (08甘肃兰州)如图，四边形内接于，是的直径，垂足为，平分(1)求证：是的切线；(2)若，求的长DECBOA【习题9】 (09贵州安顺)如图，以为直径的交于点，过作，垂足为 求证：是的切线； 作交于，垂足为，若，求弦的长专心-专注-专业