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1、每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 4854279921奥数题型与解题思路 60 讲 05奥数题型与解题思路 60 讲 05感谢天津站帖子奉献，由海边小升初资料组整理编辑。海边有你，分享有礼！如果您想加群：希望您可以入群时先分享一份小升初资料，通过后，您将优先获得我们的纯净版资料！我们资源来源于网络，由于优秀资源搜集难度较大，所以导致资料更新速度较慢，也希望更多的人加入我们工作小组参与搜集。41、简单方程的解法41、简单方程的解法【一元一次方程解法】求方程的解（或根）的过程，叫做解方程。解一元一次方程的一般步骤（或解法）是：去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知
2、数 x 的系数。解 去分母，两边同乘以 6，得3（x-9）-2（11-x）=12去括号，得 3x-27-22+2x=12移项，得 3x+2x=12+27+22合并同类项，得 5x=61【分式方程解法】分母中含未知数的方程是“分式方程”。解分式方程的一般步骤（或方法）是：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 4854279922（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根，是原方程的增根，必须舍去。解 方程两边都乘以 x（x-2），约去分母，得5（x-2）=7x解这个整式
3、方程，得 x=-5，检验：当 x=-5 时，x（x-2）=（-5）（-5-2）=350，所以，-5 是原方程的根。解方程两边都乘以（x+2）（x-2），即都乘以（x2-4），约去分母，得（x2）2-16（x+2）2解这个整式方程，得 x=-2。检验：当 x=-2 时，（x+2）（x-2）=0，所以，-2 是增根，原方程无解。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992342、加法运算定律42、加法运算定律【加法交换律】 两个数相加， 交换加数的位置， 它们的和不变。 这叫做 “加法的交换定律” ，简称“加法交换律”。加法交换律用字母表达，可以是a+b=b+a。例
4、如：864+1，236=1，236+864=2，100【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变。这叫做“加法的结合定律”，简称“加法结合律”。加法结合律用字母表达，可以是（a+b）+c=a+（b+c）。例如：（48928+2735）+7265=48928+（2735+7265）=48928+10000= 58928每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992443、几何图形旋转43、几何图形旋转【长方形（或正方形）旋转】【长方形（或正方形）旋转】将一个长方形（或正方形）绕其一边旋转一周，得到
5、的几何体是“圆柱”。如图 1.37， 将矩形 ABCD 绕 AB 旋转一周， 得圆柱 AB。 其中 AB 为圆柱的轴， 也是圆柱的高。BC 或 AC 是圆柱底面圆的半径，CD 叫做圆柱的母线。【直角三角形旋转】【直角三角形旋转】将一个直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周，所形成的几何体是“圆锥”。例如图 1.38，将直角三角形 ABC，绕直角边 AC 旋转一周，便形成了圆锥 AC。其中 AC 是圆锥的轴，也是圆锥的高；CB 是圆锥底面的半径；AB 叫做圆锥的母线。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 4854279925【直角梯形旋转】【直角梯形旋转】将一个直角梯形绕着它的
6、直角腰旋转一周所形成的几何体，叫做“圆台”。例如图 1.39，将直角梯形 ABCD 绕着它的直角腰 AB 旋转一周。便形成了圆台 AB。其中，AB 是圆台的轴，也是圆台的高，上下底 AD、BC，分别是圆台上、下底面圆的半径，斜腰 DC，是圆台的母线。【半圆旋转】【半圆旋转】将一个半圆绕着它的直径旋转一周所形成的几何体，叫做“球”。例如图 1.40，半圆绕着它的直径 AB 旋转一周，便形成了球 O。原来的半圆圆心 O 是球心；原来半圆的半径和直径，分别叫做球的半径和直径；原来半圆的直径也是球的轴和直径。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 485427992644、几何图形的
7、计数44、几何图形的计数【点与线的计数】【点与线的计数】例 1 如图 5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 4854279927（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。第一排三角形有 1 个，其下行线有 2点；第二排三角形有 3 个，其下行线有 3 点；第三排三角形有 5 个，其下行线有 4 点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。所以是小三角形个数多。例 2 直线 m 上有 4 个点，直线 n 上有 5 个点
8、。以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图 5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。直线 n 上有 5 个点，这 5 点共可以组成 43+21=10（条）线段。以这些线段分别为底边，m 上的点为顶点，共可以组成 410=40（个）三角形。同理， m 上 4 个点可以组成 6 条线段。 以它们为底边， 以 n 上的点为顶点可以组成 65=30（个）三角形。所以，一共可以组成 70 个三角形。【长方形与三角形的计数】【长方形与三角形的计数】例 1 图 5.47 中的正方形被分成 9 个相同的小正方形， 它们一共有 16 个顶点， 以其
9、中不在一条直线上的 3 点为顶点，可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 4854279928（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为 3 的三角形，或者高为 2，底为 3 的三角形，都符合要求。底边长为 2，高为 3 的三角形有 244=32（个）；高为 2，底边长为 3 的三角形有 82=16（个）。所以，包括图中阴影部分三角形共有 48 个。例 2 图 5.48 中共有_个三角形。（现代小学数学）邀请赛试题）讲析：以 AB 边上的线段为底边，以 C 为顶点共有三角形 6 个；以 AB 边上的线段为底边，分别
10、以 G、H、F 为顶点共有三角形 3 个；以 BD 边上的线段为底边，以 C 为顶点的三角形共有 6 个。所以，一共有 15 个三角形。例 3 图 5.49 中共有_个正方形。（现代小学数学邀请赛试题）讲析：可先来看看图 5.50 的两个图中，各含有多少个正方形。图 5.50（1）中，正方形个数是 635241=32（个）；图 5.50（2）中，正方形个数是 44+33+2211=30（个）每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 4854279929如果把图 5.49 中的图形，分成 56 和 411 两个长方形，则：56 的长方形中共有正方形56+45342312=70（个
11、）；411 的长方形中共有正方形411+310+2918=100（个）。两个长方形相交部分 45 的长方形中含有正方形45+342312=40（个）。所以，原图中共有正方形 70100-40=130（个）。例 4 平面上有 16 个点， 排成一个正方形。 每行、 每列上相邻两点的距离都相等如图 5.51（1），每个点上钉上钉子。以这些点为顶点，用线将它们围起来，一共可围成_个正方形。（小学生科普报奥林匹克通讯赛试题）讲析：能围成图 5.51（2）的正方形共 14（个）；能围成图 5.51（3）的正方形共 2（个）；能围成图 5.51（4）的正方形共 4（个）。所以，一共可围成正方形 20 个。
12、每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799210【立体图形的计数】【立体图形的计数】例 1 用 125 块体积相等的黑、 白两种正方体， 黑白相间地拼成一个大正方体 （如图 5.52） 。那么，露在表面上的黑色正方体的个数是_。（1991 年全国小学数学奥林匹克决赛试题）讲析：本题要注意不能重复计数。八个顶点上各有一个黑色正方体，共 8 个；每条棱的中间有一个黑色正方体，共 12 个；除上面两种情况之外，每个面有 5 个黑色正方体，共 56=30（个）。所以，总共有 50 个黑色正方体露在表面上。例 2 把 1 个棱长为 3 厘米的正方体分割成若干个小正方体，这
13、些小正方体的棱长必须是整数。如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么，最少可以分割成_个小正方体。（北京市第九届“迎春杯小学数学竞赛试题）讲析：若分成的小正方体，则共可分成 27 个。但是分割时，要求正方体尽可能地少，也就是说能分成大正方体的，尽可能地分。则在开始的时候，可分出一个 222 的正方体（如图 5.53），余下的都只能分成 111 的正方体了。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799211所以，最少可分成 20 个小正方体。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 4854279921245、几何体侧面展开45、几何体侧面展开【正棱
14、柱、圆柱侧面展开】【正棱柱、圆柱侧面展开】正棱柱（底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱）和圆柱的侧面展开，摊在同一个平面上，是一个矩形。矩形的上、下对边，是柱体上、下底面的周长；矩形左右两对边，是柱体的侧棱或母线。例如图 1.41，将正六棱柱 ABCDEFA 払扖扗扙扚捈霸仓鵒 O 挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希愠闪司匦蜛1A 抇 1A 抇2A2。图中画出的是棱柱侧面展开图。圆柱侧面展开后，也是一矩形，只是中间没有那些虚线。%【正棱锥侧面展开】【正棱锥侧面展开】正 n 棱锥（底面为正 n 边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥）侧面展开，摊在同一平面上，是顶点公共、腰与腰相连的 n 个全等的等腰三角
15、形。例如图 1.42，将正三棱锥 SABC 的侧面展开，摊在同一个平面上，便形成了三个全等的等腰三角形 SAB、SBC 和 SCA 捪嗔耐夹巍【圆锥侧面展开】【圆锥侧面展开】圆锥侧面展开，摊在同一个平面上，变成的是一个扇形。扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的两条半径，是圆锥的母线。例如图 1.43，将圆锥 SO 的侧面展开，摊在同一个平面上，便成了扇形径 SA、SA 挼募薪铅瓤砂聪旅娴氖阶蛹扑悖篲每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799213式中 r 是圆锥底面圆半径，l 是圆锥母线的长。【正棱台侧面展开】【正棱台侧面展开】正 n 棱台（用一平行于正 n 棱
16、锥底面的平面去截棱锥，截面和底面间的几何体）侧面展开，摊在同一个平面上，得到的是 n 个全等的等腰梯形，并且腰腰相连。例如图 1.44， 将正三棱台 ABCA 払扖挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希阈纬闪烁猛加冶叩耐夹瘟恕【圆台侧面展开】【圆台侧面展开】圆台侧面展开，摊在同一个平面上的图形，是圆环的一部分，叫做“扇环”。这个扇环像梯形，它的两“腰”是圆台的母线，它的上、下“底”是两条弧，其弧长分别是圆台上、下底面圆的周长。例如图 1.45，将圆台 O1O2的侧面展开，摊在同一个平面上，就形成了每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 4854279921446、几何公式46、几何公式【平面图
17、形计算公式】一般的平面图形计算公式，如下表。【立体图形计算公式】(1)柱体公式。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799215（2）锥体公式。正 n 棱锥（如图 113）的公式：圆锥的公式（圆锥如图 114 所示）：每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799216（3）棱台、圆台公式。正 n 棱台（如图 115）的公式：圆台（如图 116）的公式：（4）球的计算公式。球的图形如图 117 所示。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799217S表=4r2；附录：其他常用公式【整数约数个数公式】一个
18、大于 1 的整数，约数的个数等于它的质因数分解式中，每个质因数的个数（指数）加 1 的连乘积。例如，求 4500 的约数个数。解 4500=2232534500 的约数个数是（2+1）（2+1）（3+1）=36（个）。【约数之和的公式】一个大于 1 的自然数 N，将它分解质因数为为自然数，则 N 的所有约数的和为 S（N），可用下列公式计算：例如 求 1992 的所有约数的和。解 S（1992）=S（2331831）=5040【分数拆项公式】在奥赛中，为使计算简便，经常用到下面四个分数拆项公式：（1）连续两个自然数积的倒数，可拆成较小的自然数的倒数，减去较大的自然数的倒数。即每天更新，搜集百部
19、资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799218（2）连续三个自然数的积的倒数，可拆成前两个自然数的积的倒数，减去后两个自然数的积的倒数的差的一半。即（3）连续四个自然数的积的倒数，可拆成前三个自然数的积的倒数，（4）一般分数拆项公式。当 n、d 都是自然数时，有【堆垛计算公式】每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799219（1）三角形堆垛。计算每堆三角形物体总个数 S 时，可将底边个数”乘以（n+1）再乘以（n+2），然后除以 6。用式子表示就是例如，“一些桔子堆成三角形堆垛，底边每边 4 个，顶尖 1 个（如图 118）。桔子总数是多少个？”
20、解 依据三角形堆垛公式，得=20（个）。（2）正方形堆垛。计算底层为正方形的堆垛物体总个数 S 时，可将底边个数 n 乘以底边数加 05 的和，再乘以底边个数加 1 的和，最后将乘积除以 3。用式子表示，就是例如，“一些苹果堆成正方形堆垛（如图 119），底层每边放 4 个，顶尖放一个。苹果总数是多少个？”解 依据公式，得每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799220（3）长方形堆垛。计算底层为长方形（近似于横放的三棱柱形，图 120。）的堆垛物体的总个数 S 时，可将底层宽边的个数 n1，长边的个数 n2，按照下面的公式计算：例如，“有一盘馒头，底边宽 5
21、个，长边上放 8 个，如图 120 所示，这盘馒头共有多少个？”解 此题中，n1=5，n2=8。依据长方形堆垛公式，得=45+55=100（个）或者是（4）梯形堆垛。计算梯形的堆垛（近似于棱台形堆垛）物体总个数 S 时，可将最上层总数 S1，加上最下层总数 S2 后，乘以层数 n，再除以 2。（梯形堆垛如图 121 所示。）用式子表示就是例如，“一些酒坛，堆成梯形的堆垛（图 121），最上层为 32 只，最下层为 45 只，共堆有 14 层（每层差 1 只）。酒坛的总数是多少只？”每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799221解 依计算公式，得【数线段条数的公
22、式】若线段 AB 上共有 n 个分点（不包括 A、B 端点），则 AB 线段上共有的线段条数 S，计算的公式是：S=（n+1）+n+（n-1）+3+2+1例如，求下图（图 122）中所有线段的条数。解 在线段 AB 上，共有五个分点。根据数线条数的公式，得S=（5+1）+5+4+3+2+1注意：这一公式，还可以用来数形如图 123 的三角形个数。在这个图形中，因为底边 BC 上有 4 个分点，可依据数线段条数的计算公式，得三角形的个数为每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799222【数长方形个数的公式】若长方形的一边有 m 个小格，另一边有 n 个小格，那么这
23、个图形中长方形的总个数 S 为S=（m+m-1+m-2+3+2+1）（n+n-1+n-2+3+2+1）例如，请数出下图 124 中共有多少个不同的长方形。解 长方形 ABCD 长边上有 6 个小格，宽边上有 4 个小格。根据数长方形总数的公式，可得=2110=210（个）。（答略）注意：这一公式，还可以用来数形如图 125 中的梯形的个数。显然，这个图形中除了ADE 以外，其余均为大大小小的梯形。最大的梯形下底上有五个小格，腰边上有 4 个小格。利用数长方形个数的计算公式，可得梯形的总个数 S 为每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799223=1510=150
24、（个）。（答略）【数正方形个数的公式】若一个长方形的长被分成了 m 等份，宽被分成了 n（nm）等份（长和宽上的每一份长度是相等的），那么这个长方形中的正方形总数 S 为：S=mn+（m-1）(n-1)+（m-2）(n-2）+（m-n+1）1特殊的，当一个正方形的边长被分成 n 等分时，则这个图形中正方形的总个数 S 为：例 1 求下图中正方形的总个数（如图 126）。解 图中 AB 边上有 7 个等分，AD 边上有 3 个等份。根据在长方形中数正方形个数的公式，可得：S73+62+51=21+12+5=38（个）。（答略）例 2 求下图（图 127）中的正方形有多少个。解 图形中正方形每边上
25、有 4 等分。根据数正方形个数的计算公式，得每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799224（答略）【平面内 n 条直线最多分平面部分数的公式】平面内有 n 条直线，其中注意两条直线都不平行，每条直线都与其他直线相交，且不交同一点。那么，这几条直线将平面划分的部分数 S 为例 平面内有 8 条直线，它们彼此都相交，但不交于同一点，求这 8 条直线能把平面划分出多少个部分？解 根据平面内 n 条直线，最多分平面部分数的计算公式，得S=2+2+3+4+5+6+7+8【n 个圆将平面分成最多的部分数公式】若平面上有 n 个圆，每个圆都与其他圆相交，且不交于同一点，那么
26、这个圆将平面划分的最多的部分数 S 为S=2+12+22+（n-1）2=n2-n+2例 在一个平面上有 20 个圆，这 20 个圆最多可将平面划分为多少个部分？解 根据平面内 n 个圆将平面划分成最多的部分数的计算公式，可得S=2+12+22+192=202-20+2=400-20+2=382（块）（答略）【格点面积公式】每个小方格的面积都是 1 个面积单位的方格纸上，纵横两组平行线的交点，叫做“格点”，这样的方格纸，叫做“格点平面”。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799225在格点平面上求图形的面积，可以按照上面的公式去计算：图形面积=图形内部格点数+图
27、形周界上的格点数2-1。例 如图 128，求格点平面内 A、B 两个图形的面积。解 A 图内部无格点，B 图内部有 9 个格点；A 图周界上有 9 个格点，B 图周界上有 7 个格点。根据格点面积公式，得：A 图面积=92-1=3.5（面积单位）B 图面积=（9+7）2-1=115（面积单位）（答略）如果格点是由形如“”或“”构成（如图 129），且每相邻的三点所形成的三角形面积为 1 的等边三角形，则计算多边形面积公式为多边形面积=2图形内部格点数+图形周界上格点数-2。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 4854279922647、几何公理、定理或性质47、几何公理、
28、定理或性质【直线公理】经过两点有一条直线，并且只有一条直线。【直线性质】根据直线的公理，可以推出下面的性质：两条直线相交，只有一个交点。【线段公理】在所有连结两点的线中，线段最短。（或者说：两点之间线段最短。）【垂线性质】（1）经过一点，有一条而且只有一条直线垂直于已知直线。（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。（也可以简单地说成：垂线段最短。）【平行公理】经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也相互平行。【有关平行线的定理】（1）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。（2）如果一
29、条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直。【三角形的特性】三角形有不变形的特性，一般称其为三角形的稳定性。由于三角形有这一特性，所以在实践中它有广泛的应用。【三角形的性质】三角形的性质（或定理及定理的推论），一般有：（1）三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。（2）三角形三内角之和等于 180。由三角形上述第（2）条性质，还可以推出下面的两条性质：三角形的一个外角，等于它不相邻的两个内角之和。如图 1.1，4=1+2。三角形的一个外角，大于任何一个同它不相邻的内角。如图 1.1，41，42。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48
30、542799227【勾股定理】在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方。用字母表达就是 a2+b2=c2。（a、b 表直角边长，c 表斜边长。）我国古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一条直角边叫做“股”，另一条直角边叫做“勾”，斜边叫做“弦”。所以我国将这一定理称为“勾股定理”。勾股定理是我国最先发现的一条数学定理。而古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）较早地证明了这个定理。因此，国外常称它为“毕达哥拉斯定理”。【平行四边形的性质】（1）平行四边形的对边相等。（2）平行四边形的对角相等。（3） 平行四边形邻角的和是 180。 如图 1.2， A+B=B+C=C+D=D+
31、A=180。（4）平行四边形的对角线互相平分。如图 1.2，AO=CO，BO=DO。平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心。【长方形的性质】长方形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：（1）长方形四个角都是直角。（2）长方形对角线相等。长方形是中心对称图形，也是轴对称图形。它每一组对边中点的连线，都是它的对称轴。【菱形的性质】菱形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：（1）菱形的四条边都相等。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799228（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。例如图 1.3，ACBD，AO=CO，B
32、O=DO，AC 平分A 和C，BD 平分B 和D。菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，它每一条对角线都是它的对称轴。【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。【多边形内角和定理】n 边形的内角的和，等于（n-2）180。（又称“求多边形内角和”的公式。）例如三角形（三边形）的内角和是（3-2）180=180；四边形的内角和是（4-2）180=360。【多边形内角和定理的推论】（1）任意多边形的外角和等于 360。这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角（多边形外角）的和为 180，所以，n 边形 n 个外角的和等于 n180-（n-2）180=360。（2）如果一个角的两边分
33、别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。例如图 1.4，1 的两边分别垂直于A 的两边，则1+A=180，即1 与A 互补。又2、3、4 的两边也分别垂直于A 的两边，则3 和A 也互补，而2=A，4=A。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799229【圆的一些性质或定理】（1）半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等。（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆。（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。（5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。【轴对
34、称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质：（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分。例如图 1.5， 图中的 AA对称点连结线段， 被对称轴 L 垂直且平分， 即 LAA， AP=PA。（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么，交点在对称轴上。例如图 1.5 中，BA 与 BA的延长线相交，交点 M 在对称轴 L 上。（3）两个关于某直线对称的图形，一定是全等形。例如，图 1.5 中ABC 与ABC全等。【中心对称图形的性质】 如果把一个图形绕着一个点旋转 180后， 它和另一个图形重合，那么，这两个图形就是关于这个点的“中心对称图形”。
35、中心对称图形具有以下性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。例如，图 1.6 中对称点 A 与 A，B 与 B，C 与 C，它们的连线都经过 O（对称中心），并且 OA=OA，OB=OB，OC=OC。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799230（2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。48、和差积商的变化规律48、和差积商的变化规律【和的变化规律】【和的变化规律】（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是如果 a+b=c，那么
36、（a+d）+b=c+d；（a-d）+b=c-d。（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是如果 a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。【差的变化规律】【差的变化规律】（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，就是如果 a-b=c，那么（a+d）-b=c+d，（a-d）-b=c-d。（ad+b）每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799231（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是如果 a-b=
37、c，那么 a-（b+d）=c-d（ab+d），a-（b-d）=c+d。（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是如果 a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c，（a-d）-（b-d）=c。【积的变化规律】【积的变化规律】（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果 ab=c，那么（an）b=cn，（an）b=cn。（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是如果 ab=c，那么（an）（bn）=c，或（an）（bn）=c。【商或余
38、数的变化规律】【商或余数的变化规律】（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果 ab=q，那么（an）b=qn，（an）b=qn。（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是如果 ab=q，那么 a（bn）=qn，a（bn）=qn。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799232（3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是如果 ab=q，那么（an）（bn）=q，（an）（bn）=q。（4）在有余数
39、的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。这一变化规律用字母表示，就是如果 ab=q（余 r），那么（an）（bn）=q（余 rn），（an）（bn）=q（余 rn）。例如，849=93，而（842）（92）=96（32），（843）（93）=91（33）。49、估值计算49、估值计算【精确度计算】【精确度计算】例 1 计算 123456789101112133l21l10l98765432l，它小数点后面的前三位数字是_。（1991 年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：讲析：被除数和除数都有 17 位数，直接去除是极麻
40、烦的。我们不妨将被除数和除数作适当的放缩，再去进行解答：原式的值12343121=0.3953原式的值12353122=0.3955所以，答案是 3、9、5。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799233例 2 以下四个数中有一个是 30418.73 的近似值，请你估算一下，找出这个数。（1）570，（2）5697，（3）56967，（4）569673。（1989 年日本小学数学总体评价测验题）讲析：讲析：在做近似数的乘除法时，先要估算结果的粗略值。18.73 接近 20，304 接近 300，30020=6000，可知，乘积在 6000 左右。所以，答案是5
41、697。【整数部分的估算】【整数部分的估算】（1990 年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：讲析：所以，整数部分是 517。（全国第三届“华杯赛”复赛试题）讲析：讲析：将分母运用扩缩法进行估算，可得每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799234X，那么，与 X 最接近的整数是_。（1992 年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：讲析：可将整数部分与分数部分分开计算，得答案是 25。例 4 已知问 a 的整数部分是多少？（全国第二届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：讲析：本题计算较繁。可先将分子变成两大部分，其中一部分与分母相同，另一部分不同。所以，a 的整数部
42、分是 101。果取每个数的整数部分，并将这些整数相加，那么， 这些整数之和是_。（1990 年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：讲析：解题的关键是要找出从哪一个数开始，整数部分是 2。每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799235本身），整数部分都是 1。在此以后的数，整数部分都是 2。故答案是 49。大于 3，至少要选_个数。（1989 年全国小学数学奥林匹克复赛试题）讲析：讲析：要使选的个数尽量少，所选的数必须尽量大。由此可得50、根据和、差、积、商变化规律速算50、根据和、差、积、商变化规律速算【根据和的变化规律速算】【根据和的变化规律速算】和的变化规
43、律有以下两条。（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。利用这一规律，可以使计算简便、快速。例如每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799236645+203=645+200+3=8453=848397468=400468-3=868-3（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。利用这一规律，也可以使计算简便、快速。例如657309=（657+9）（309-9）=666+300=966154286=（1544）+（2864）=150290=（150-10）（29010）=14030
44、0=440【根据差的变化规律速算】【根据差的变化规律速算】差的变化规律有如下三条。（1）如果被减数增加（或减少）一个数，那么它们的差也增加（或减少）同一个数。运用这一规律的速算，如804355=8003554=4454449593264=6002647=3367=329每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799237（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。运用这一规律的速算，如675298=6753002=3752=377458209=4582009=2589=249（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数
45、，那么它们的差不变。运用这一规律的速算，如3520984=（352016）-（98416）=35361000=2526803345=（8033）-（3453）=800342=458【根据积的变化规律速算】【根据积的变化规律速算】积的变化规律有如下两条。（1）如果一个因数扩大（或者缩小）若干倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或者缩小）同样的倍数。运用这一规律的速算，如1754=（257）4=（257）25425=7425=7（425）每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799238=7006825681004=68004=1700（2）如果一个因数扩大若干倍
46、，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。运用这一规律速算，如24025=（2404）（2504）=601000=600004514=（452）（142）=902=180【根据商的变化规律速算】【根据商的变化规律速算】商的变化规律，有如下三条：（1）如果被除数扩大（或者缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或者缩小）同样的倍数。运用这一规律速算，如54009=（5400100）9100=549100=6100=600（2）如果除数扩大（或者缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而会缩小，（或者扩大）同样的倍数。运用这一规律速算，如3600253600（254）4=36001004每天更新，搜集百部资料，一次打包下载海边小升初资料搜集群 48542799239=364=144（3）被除数和除数都扩大（或者都缩小）同样的倍数，它们的商不变。运用这一规律速算，如69000023000=（6900001000）（230001000）=69023=301200025=（120004）（254）=48000100=480注意：在有余数的除法里，如果被除数和除数都扩大（或者都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不会变化，但余数会跟着扩大（或者缩小）同样的倍数。要使余数不变，所得的余数必须缩小（或者扩大）同样的倍数。