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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章 计数原理1.1 分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n种不同的方法。分类要做到“不重不漏”。分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=mn种不同的方法。分步要做到“步骤完整”。n元集合A=a1，a2，an的不同子集有2n个。1.2 排列与组合1.2.1 排列一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一
2、个排列(arrangement)。从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示。排列数公式：Anm=n!n-m!=nn-1n-2(n-m+1)n个元素的全排列数Ann=n!规定：0!=11.2.2 组合一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm或nm表示。组合数公式： Anm=CnmAmmCnm=AnmAmm=n!m!n-m!=nn-
3、1n-2(n-m+1)m! 规定：Cn0=1组合数的性质：Cnm=Cnn-m (“构建组合意义”“殊途同归”)Cn+1m=Cnm+Cnm-1 （杨辉三角）kCnk=nCn-1k-1*CnkCn-km-k=CnmCmk1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理(binomial theorem)(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn (nN*)其中各项的系数Cnk (k0，1，2，n)叫做二项式系数(binomial coefficient)；式中的Cnkan-kbk叫做二项展开式的通项，用Tk+1表示通项展开式的第k+1项：Tk+1=Cnkan-kbk*注意二
4、项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1) 对称性(2) 当n是偶数时，共有奇数项，中间的一项Cnn2+1取得最大值；当n是奇数时，共有偶数项，中间的两项Cnn-12，Cnn+12同时取得最大值。(3) 各二项式系数的和为 2n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnk+Cnn(4) 二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+(5) 一般地，Crr+Cr+1r+Cr+2r+Cn-1r=Cnr+1 (nr)第二章 随机变量及其分布
5、2.1 离散型随机变量及其分布2.1.1 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量(discrete random variable)。概率分布列(probability distribution series)，简称为分布列(distribution series)。Xx1x2xixnPp1p2pipn也可用等式表示：PX=xi=pi ，i=1
6、，2，n根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：(1) pi0，i=1，2，n；(2) i=1npi=1随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation)：EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn它反映了离散型随机变量取值的平均水平。随机变量X的方差(variance)刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度DX=i=1n(xi-E(X)2pi其算术平方根D(X)为随机变量X的标准差(standard deviation)。EaX+b=aEX+bDaX+b=a2DX若随机变量X的分布具有下表的形式，则称X服从两点分布(two-poi
7、nt distribution)，并称p=P(X=1)为成功概率。(两点分布又称0-1分布。由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验，所以两点分布又叫伯努利分布)X01P1-pp若X服从两点分布，则E(X)=p ，D(X)=p(1-p)一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则PX=k=CMkCN-Mn-kCNn ，k=0，1，2，mX01mPCM0CN-Mn-0CNnCM1CN-Mn-1CNnCMmCN-Mn-mCNn其中m=minM，n，且nN，MN，n，M，NN*如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布(hypergeometric d
8、istribution)。2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称PBA=P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(conditional probability)。如果B和C是两个互斥事件，则PBCA=PBA+P(C|A)2.2.2 事件的相互独立性设A，B为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)。可以证明，如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立。2.2.3 独立重复试验与二项分布一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立
9、重复试验(independent and repeated trials)。PA1A2An=PA1P(A2)P(An)其中Ai (i=1，2，n)是第i次试验的结果。一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则PX=k=Cnkpk(1-p)n-k ， k=0，1，2，n此时称随机变量X服从二项分布(binomial distribution)，记作XB(n，p)，并称p为成功概率。若XB(n，p) ，则EX=k=0nkCnkpkqn-k=k=1nnpCn-1k-1pk-1qn-1-(k-1)=npk=0n-1Cn-1kpkqn-1-k=np(p+
10、q)n-1=npD(X)=np(1-p)*随机变量的均值是常数，而样本的平均值是随着样本的不同而变化的，因此样本的平均值是随机变量。随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量。2.4 正态分布一般地，如果对于任何实数a，b (ab)，随机变量X满足，x=12e-(x-)222 ，x（-，+）Pa0，P-aX+a=-a+a，(x)dx该面积随着的减少而变大。这说明越小，X落在区间(-a，+a的概率越大，即X集中在周围概率越大。特别有P-X+=0.6826P-2X+2=0.9544P-3X+3=0.9974在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取-3R22 ，则模型1比模型2拟合效果更好；若R12w0时，就判断“X和Y有关系” ；否则，判断“X和Y没有关系”。这里w0为正实数，且满足在“X和Y没有关系”的前提下PW2w0=0.01专心-专注-专业