实际气体状态方程综述课件.ppt

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1、中南大学能源科学与工程学院使用教材 高等工程热力学，苏长荪，西安交通大学出版社 能量系统的热力学分析方法，傅秦生，西安交通大学出版社参考教材 高等工程热力学，陈则韶，中国科技大学出版社 高等工程热力学，曹建明，北京大学出版社 高等工程热力学，王永珍，清华大学出版社 高等工程热力学，童钧耕，科学出版社中南大学能源科学与工程学院教学内容 实际气体状态方程 （8课时） 实际气体的热力学性质与过程 （6课时） 溶液的热力学性质 （4课时） 汽液相平衡 （6课时） 有限时间热力学 （4课时） 火用分析 （4课时）第一章 实际气体状态方程中南大学能源科学与工程学院123456气体分子间的相互作用力和实际气

2、体的区分实际气体与理想气体的偏差维里状态方程二常数半经验方程多常数半经验方程实际气体混合物主要内容中南大学能源科学与工程学院第一节气体分子间的相互作用力和实际气体的区分中南大学能源科学与工程学院理想气体状态方程：仅反映 或 时，即气体分子相距很远时的 关系。v0pTvpRTpv 理想气体实际气体理想气体理想气体1 气体分子不占有容积；2气体分子间没有相互作用力。实际气体实际气体1 气体分子占有容积；2 气体分子间有相互作用力（范德瓦尔斯引力）。中南大学能源科学与工程学院一 气体分子间的相互作用力 -e+e电子云 -e+e电子云核分子结构中南大学能源科学与工程学院一 气体分子间的相互作用力分子内

3、部正电荷中心和负电荷中心存在偏差形成电偶。电偶间相互作用形成引力。氢原子可以同时和两个电负性很大而原子半径较小的原子相结合。分子距离很小时产生相斥作用。中南大学能源科学与工程学院1. 范德瓦尔斯引力12诱导力：指被诱导的偶极矩与永久偶极矩间的相互作用。3色散力：指诱导偶极矩间的相互作用。中南大学能源科学与工程学院 -e+e电子云 -e+e电子云核中南大学能源科学与工程学院 -e+e -e+e电子云电子云核中南大学能源科学与工程学院 -e+e电子云核 -e+e电子云核中南大学能源科学与工程学院 静电力（葛生力）分子由带正电荷的原子核和带负电荷的电子组成，形成正电荷中心和负电荷中心。l非极性分子：

4、正负电荷中心重合l极性分子：正负电荷中心不重合el（1）分子极性大小：两个带电荷 和 的质点相距 时，偶极矩 为：ele中南大学能源科学与工程学院 -e+e电子云 -e+e电子云核中南大学能源科学与工程学院 当两个偶极矩方向相同时，相互作用势能为负，并达到最小值；当两个偶极矩方向相反时，相互作用势能为正，并达到最大值。如果 ， 在各种相对方向出现的几率相同，则相互作用平均势能 。然而，按玻尔兹曼分布定律，温度越低， 和 在低势能的相对方向出现的可能性越大，因此对各方向加和后，平均静电相互作用势能 ，而是120KE0KE12rk式中，为两偶极矩中心距离， 为玻尔兹曼常数。6222132kTrEk

5、（2）中南大学能源科学与工程学院诱导力（德拜力） 分子的电荷分布受到其他分子电场的影响，产生诱导偶极矩，诱导偶极矩 的平均值与分子所在位置的有效电场 成正比FF（3）式中 为极化率，其值与温度无关。不同分子间的诱导相互作用势能 为：DE6212221)(rED（4）中南大学能源科学与工程学院 -e+e -e+e电子云电子云核 -e+e -e+e电子云电子云核中南大学能源科学与工程学院色散力（伦敦力） 非极性分子在瞬间产生瞬间偶极矩，它产生的电场会使邻近分子极化，两个诱导偶极矩之间的相互作用表现为相互吸引，即为色散作用。20624143hrEL，分子中心距离。，极化轨道频率；，普朗克常数；，介电

6、常数；极化率；rh,0中南大学能源科学与工程学院 -e+e电子云核 -e+e电子云核 -e+e电子云核 -e+e电子云核中南大学能源科学与工程学院IkTrEEEELDK2226432321分子分子偶极矩偶极矩D极化率极化率 相互作用势能，相互作用势能，kJ1022Ar01.630.0000.00069.569.5CO0.101.990.0003 0.05767.567.56HCl1.032.6318.65.4111135.0NH31.502.24841070164.0H2O1.841.481901047247.0KEDELEE范德瓦尔斯力的分配表中南大学能源科学与工程学院2. 氢键XH Y 氢

7、原子可以同时和两个电负性很大而原子半径较小的原子相结合。 对 的分子，与 的氢键强弱，与 及 的电负性有关，电负性大，氢键越强，还与 的半径有关，半径越小越能接近，氢键越强。YXY工程中常遇到的介质中，水、氨、醇类就是氢键流体。中南大学能源科学与工程学院3. 相斥力 分子距离很小时产生相斥作用，当电子云相互渗透时，电子负电荷间有相斥作用，核荷间也有相斥作用。此外，根据泡利不相容原理，当分子间外层轨道中的电子发生交换时，自旋同向电子相互回避，产生相斥力。中南大学能源科学与工程学院 -e+e电子云核 -e+e电子云 -e+e电子云核 -e+e电子云核中南大学能源科学与工程学院二二 实际气体的区分实

8、际气体的区分极性分子组成的气体，如水蒸气、氨、部分氟里昂气体等，静电力较大。非极性分子组成的气体，如重的惰性气体等，主要是色散力。分子量很小的轻气体，如氢、轻的惰性气体等，由于气体分子占据的能级数很少，能量变化是离散型而不是连续型。中南大学能源科学与工程学院流体极性判别式（pitzer提出):式中， 为临界压力， 为偶极矩， 为临界温度。cpcT非极性流体：微极性流体：强极性流体：0r6105 . 0r6105 . 0r8483624,HCHCHCCH11413121122,RRRRNCONONO14225232,RSOOHHCNHOH如：如：如：424ccrTp（5）中南大学能源科学与工程学

9、院第二节实际气体与理想气体偏差的宏观特性中南大学能源科学与工程学院一 P-V-T关系图显示的实际气体与理想气体的偏差RTpvidZRTpvidvvZ RTpvZ 理想气体状态方程实际气体状态方程 其中压缩因子 若两个状态方程描写同一状态，则可得压缩因子实质上表示实际气体比容与相同温度、相同压力下理想气体比容之比。中南大学能源科学与工程学院图1 流体压缩因子和对比温度、对比压力的关系中南大学能源科学与工程学院 1rT穿过两相区1rT过临界点1rT实际气体比容较临界气体比容减少得少些5 . 2rT0p0lim0BTppZ当 时，等温线斜率为0，称为波义耳温度 ，此时BTBTT cTT5等温线斜率恒

10、为正，斜率最大的等温线 线，称折回线。 不同温度等温线可能相交；但恒压下,增加温度并不一定使流体更接近理想气体。中南大学能源科学与工程学院二、实际气体状态方程的一般热力学特性二、实际气体状态方程的一般热力学特性0Tlim, 0limC5TT200pZpZPTPB1lim0RTpvp时， ， ；0p1Z1limRTpvT时， ， ；T1ZlvlvlvlvlvffppT,T相平衡条件：中南大学能源科学与工程学院图2 图上的等温线vppvcTT cT临界点在p-v图上是驻点及拐点0)( , 0)(22ccTTvpvp中南大学能源科学与工程学院图2 图上的等容线Tp理想气体等容线为直线，实际气体等容线

11、不为直线vTvTpTp)(lim0)(lim22220p中南大学能源科学与工程学院第三节 维里状态方程中南大学能源科学与工程学院理论分析 方程模型 数据拟合 经验常数 特别注意： 使用范围中南大学能源科学与工程学院ZRTpv idvvZ 实际气体状态方程:RTpvid压缩因子：实际气体比容与相同温度、相同压力下理想气体的比容之比。理想气体状态方程：中南大学能源科学与工程学院卡莫凌-昂尼斯(1901年)。常用的展开式为： 式中系数 分别称为第二、第三、第四维里系数。对纯质来说，维里系数是温度的函数；对混合物来说，维里系数是温度和成分的函数。 DCB,.1432vDvCvBvRTp（6）一 维里方

12、程的形式 维里方程主要应用于计算气体在低压及中等压力下的状态。 中南大学能源科学与工程学院RTBB 22)(RTBCC33)(32RTBCBDD其他形式：或其中：.132vDvCvBZ（6a）.CB1Z32pDpp（6b）中南大学能源科学与工程学院或当 很小时p为 曲线的斜率。pZ 二、截断型维里方程v )1Z(Blim0p（7）Bv )1Z(Clim0p（8）p1ZRTBlim0p（9）B的正负与波义耳温度相关中南大学能源科学与工程学院图1 流体压缩因子和对比温度、对比压力的关系中南大学能源科学与工程学院B的表达式采用倒幂次形式：342321TbTbTbbB 常数b1， b2， b3， b4

13、 根据实验数据拟合得到。针对Z-p图中T=1.2Tc的等温线： 低压时，直线，只需二阶维里系数； 压力升高，弯曲向下，需三阶维里系数； 压力再升高，弯曲向上，需高次维里项。中南大学能源科学与工程学院当p0.5pC时，二阶维里方程已足够准确。 当ppC时，应用高次维里方程。中南大学能源科学与工程学院三 维里系数的微观解释p低时，单独分子独立 理想气体p较低时，二分子作用 二阶维里系数Bp较高时，三分子作用 三阶维里系数C 四分子作用 四阶维里系数D维里系数求解：刚球模型（理论） 数据拟合 中南大学能源科学与工程学院四 第二维里系数rrCCTpRTBpRTBpZ11) 1 ()0(BBRTBpcc

14、832)0(000607. 00121. 01385. 0330. 01445. 0rrrrTTTTB8r3r2r)1(T008. 0T423. 0T331. 000637. 0B（12）非极性或微极性流体（森那波罗斯公式）：为对比第二维里系数。ccRTBp中南大学能源科学与工程学院 极性气体（滑蒂勒方法）： )2() 1 ()0(gggRTBppcc5)0(0121. 01385. 0330. 01445. 0rrrTTTg832) 1 (0073. 0097. 050. 046. 0073. 0rrrrTTTTg8432)2(10502. 10716. 02388. 02717. 0104

15、2. 0rrrrTTTTg26372.0bMTp（13）中南大学能源科学与工程学院第四节二常数半经验方程中南大学能源科学与工程学院理想气体状态方程 vRTp理想气体理想气体1 气体分子不占有容积；2气体分子间没有相互作用力。实际气体实际气体1 气体分子占有容积；2 气体分子间有相互作用力（范德瓦尔斯引力）。中南大学能源科学与工程学院一 范德瓦尔斯方程 bv2vaa2vabvRTp（14） ab ， ：常数。b：反映分子相互吸引力强度的常数。 ：分子能自由活动的空间；：分子相互吸引使实际气体的压力减小，内压力。 ：分子不能自由活动的空间，和分子容积有关；中南大学能源科学与工程学院用这种方法求 和

16、 的值，仅需要知道气体的临界参数 和 。 abcTcpccpRTa26427ccpRTb8（15）这种方程的适用范围为：较低压力区域。 中南大学能源科学与工程学院 表明所有纯质临界压缩因子相同，且均为0.375，实际多数物质临界压缩因子再0.230.3之间。ccccZRTvp375. 083在临界点，这种方法不准确。中南大学能源科学与工程学院 RK方程由范德瓦尔斯方程衍生出来的，其原型为： 和范德瓦尔斯方程不同的是内压力项，RK方程考虑到温度对分子相互作用力的影响做出的新的假定。 bvvTabvRTp5 . 0（16）二 RK方程中南大学能源科学与工程学院RTbpTpBTRapTpABAZBB

17、AZZrrbrrrb*5 . 225 . 2*230)(2或者： 适用： 非极性流体或轻微极性流体的气相区的物性计算。 在临界点误差较大，计算气液相平衡误差较大。 c5 . 0中南大学能源科学与工程学院其中： 4274802327. 0129131a086640350.031231cb式中， 和 也是两个与气体种类有关的常数。其中： abccapTRa5 . 22ccbpTRb2（17）中南大学能源科学与工程学院三 RKS方程 为了提高计算气液相平衡的精度，人们对RK方程进行了改进，其中比较成功的是1972年索阿夫提出的修正式，常称为RKS方程： bvvTabvRTp)(（18） 和RK方程不

18、同的是用更一般化的 代替了中的 项，以更能准确反映温度的影响。 Ta5 . 0Ta中南大学能源科学与工程学院式中， 和 也是两个与气体种类有关的常数。其中： ab式中 为偏心因子，可以从表格中查出来。ccacpTRaTa22)(ccbpTRb25 . 05 . 011rTm 2176. 0574. 1480. 0)( fm（19） 适用范围：非极性流体或轻微极性流体的气相区物性的计算，可以气液相平衡计算。中南大学能源科学与工程学院RKS的其他形式： 25 . 021176. 0574. 1480. 011)()(rrbabaTTFFbvbbvvZFbvvRTbbvRTp（20）中南大学能源科学

19、与工程学院四 PR方程 （1976年）PR方程也是RK方程的一种修正形式： ,)()(rcTTaTa)()(cTbTbcccpTRTa2245724. 0)(ccpRTb07780. 0式中， 和 也是两个与气体种类有关的常数。其中： abbvbbvvTabvRTp)(（21）中南大学能源科学与工程学院5 . 05 . 011rT226992. 054226. 137464. 0 PR方程和RK方程不同之处在于：PR方程考虑分子吸引力相的关系式较RK方程复杂。RK方程为 ，PR方程右侧第二项的分母又引入一项 。 5 . 0Tabvb（22） 适用范围：非极性流体、轻微极性流体和部分极性流体的液

20、相和气相的物性计算，气相区计算精度与RKS方程相当，液相区和临界区的计算精度高于RKS方程，还可以用于气液相平衡计算。中南大学能源科学与工程学院以上方程都不适用于量子气体及强极性气体中南大学能源科学与工程学院第五节多常数半经验方程中南大学能源科学与工程学院一 贝蒂-布里奇曼方程pkppp 1928年提出的Beattie-Bridgeman方程，具有5个经验常数pkpp 和 分别是分子动能和分子位能引起的内压力其中分子动能的内压力BvvRTvBvRTpk21vb-BB10B反应分子的反弹能力受其他分子的干扰，是密度的函数，即中南大学能源科学与工程学院 考虑到运动较慢的分子相互碰撞时分子运动彼此影

21、响，反应为分子量的变化，对R进行修正：其中分子位能的内压力vbBvvRTp0k12方程最后形式为31vTcRvavApp120vavAvbBvvvTc-1RTp0311202中南大学能源科学与工程学院cbaBA,00常数 见表7-4适用范围： 的场合，临界点处不准。 cvv2中南大学能源科学与工程学院二 BWR方程适用范围：烃类气体，非极性和轻微极性气体。 且 , 液相区及气液相平衡。c8 . 1 1940年提出的BWR方程是最好的方程之一。具有8个经验常数232263220001)/1 (1)(1)(vevTvcvavabRTvTCARTBvRTp（23）,000cbaCBA常数：中南大学能

22、源科学与工程学院三、马丁候方程（1955）5c555443c3332c222)bv()TKTexp(CTBA)bv(A)bv()TKTexp(CTBA)bv()TKTexp(CTBAbvRTp（28）bCCCBBBAAAA,.,.,5325325,4, 32，32NHOH式中：K=5.475，共 11个常数。适用范围： 烃类，氟里昂气体。后来，侯虞均等又修正该方程，适用范围扩大到液相及相平衡，包括混合物的计算c3 . 2中南大学能源科学与工程学院第六节对比态原理和气体对比态状态方程中南大学能源科学与工程学院一 对比态原理 所有参数采用对比参数，如果能用同一个三维p-v-T热力学面来显示不同物质

23、的p-v-T关系，则认为满足对比态原理。中南大学能源科学与工程学院 对比参数满足对比态原理，遵循相同的对比态方程的所有物质称为彼此热相似的物质。 一般采用对比温度和对比压力，为参数对比态原理。 二参数对比态原理仅考虑了分子中心的相互作用，而没有考虑不规则形状分子的分子之间的相互作用力。 引入偏心因子，考虑非中心部分相互作用的影响。从而形成三参数对比态原理。中南大学能源科学与工程学院L-K方法：埃特密斯脱方法：1lg173cbrbrpTT（27）6brbrbr6brbrbrbrT43577. 0Tln4721.13T/6875.152518.15T169347. 0T28862. 1T/0964

24、8. 692714. 5pln（26）二 偏心因子的计算方法中南大学能源科学与工程学院三 L-K（李-凯斯勒）方程 把BWR方程化为通用对比态方程 以正辛烷为参考流体。因为在宽广的范围内它有准确的 关系及焓数据的最重的烃。Tvp)ZZ(ZZZZ)0()R()R()0()1()0( r0rr)0(TvpZrRrrRTvpZ)()(（24）中南大学能源科学与工程学院L-K方程表达式为 上式中的十二个常数的对于简单流体和参考流体可查表1。2r2r2r3r45r2rrrrrvexpvvTcvDvCvB1TvpcccirRTvpvvv3r3r21T/cT/ccC3r42r3r21T/bT/bT/bbBr

25、21T/ddD 式中（25）中南大学能源科学与工程学院表表1 LK方程的常数方程的常数常数简单流体参考流体常数简单流体 参考流体0.11811930.20265790.00.0169010.2657280.3315110.0427240.0415770.1547900.0276550.1554880.487360.0303230.2034880.6236890.07403360.02367440.03133850.653921.2260.01869840.05036180.0601670.037541b2b3b4b1c2c3c4c4110d4210d简单流体：氩； 参考流体：正辛烷中南大学能源

26、科学与工程学院 计算过程：)0(rv将简单流体的常数代入式（25),求得)(Rrv将参考流体的常数代入式（25),求得p已知： 、 及该物质的 、 ，求得 、 。 cprpTcTrT）（0Z然后求 和 ，再由式（24）求得 ）（RZZ中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院中南大学能源科学与工程学院L-K方程的优点使用范围： 烷烃、乙烯、丙烯、氮、二氧化碳、苯 气相和液相100, 43 . 0rrpT,ccpT只需要知道物质的中南大学能源科学与工程学院其它方程 徐忠方程（1989）严家騄对比态方程（1978）。中南大学能源科学与工程学院总结 L-K方程和BWR方程用于非极性和轻微极

27、性气体容积计算，对于烃类，误差在12%以内，对于非烃气体，误差在23%以内。L-K方程和BWR方程用于在临界区附近及强极性流体、氢键流体气体容积计算，偏差增大。L-K方程和BWR方程还可用于液相性质及汽液相平衡性质。RKS, PR方程也可用于汽相、液相及相平衡，对极性气体，可用马丁侯方程。中南大学能源科学与工程学院第六节实际气体混合物中南大学能源科学与工程学院一 道尔顿、亚麦加特定律道尔顿定律（分压力相加定律）kivTipp1,)(iiimiimxnnppVTRnpVTnRp,其中（29）对于理想气体：中南大学能源科学与工程学院A+BA+BA A气体气体B B气体气体中南大学能源科学与工程学院

28、亚麦加特定律（分容积相加定律）：kipTiVV1,)(iiimiimxnnVVpTRnVpTnRV,其中（30）对于理想气体:中南大学能源科学与工程学院A+BA+BA A气体气体B B气体气体中南大学能源科学与工程学院kivTipp1,)(iiiimiiimxZnnZppVTRnZpVTZnRp, 道尔顿定律：其中 ip并非分压力。对实际气体，是否可以采用道尔顿定律和亚麦特加定律？中南大学能源科学与工程学院kipTiVV1,)(,iiiimiiimxZnnZVVpTRnZVpTZnRV 亚麦加特定律： 其中 中南大学能源科学与工程学院二 道尔顿、亚麦加特定律应用于实际气体及存在的问题道尔顿相加

29、定律：假定每种成分气体都占有全部容积，组成气体的密度远远小于混合气体密度，完全没考虑不同类分子间的相互作用的影响，同类分子的相互作用也有变化。亚麦加特容积相加定律：假定每种成分处于混合气体的压力下，组成气体的密度大于或小于混合气体的密度。由于假定组成气体压力与混合气体相同，考虑了分子间的相互作用，精度比道尔顿定律高很多。中南大学能源科学与工程学院图3 为用几种混合法则计算混合气体Z值的误差比较。（a）压力相加定律）压力相加定律中南大学能源科学与工程学院特点：压力低时，Z值随压力增加而降低。压力较高时， Z值随压力增加而增加。中南大学能源科学与工程学院对实际气体混合物，若气体间不起化学反应，可以

30、把混合物当作假想的纯质来处理。并确定其状态方程。 处理方法：利用各组成气体的纯质数据、合适的混合法则和状态方程来计算混合物的p、v、T 性质或其他的热力性质。中南大学能源科学与工程学院1 维里方程的混合法则 对于 种组成气体的混合气体： mmimjijjiBxxB11mimjmkijkkjiCxxxC111仅为温度的函数。等称为相互作用系数，ijkijCB ,三 混合法则中南大学能源科学与工程学院rrCCTpRTBpRTBpZ11)1 ()0(BBRTBpcc832)0(000607. 00121. 01385. 0330. 01445. 0rrrrTTTTB8r3r2r)1(T008. 0T

31、423. 0T331. 000637. 0B（12）非极性或微极性流体（森那波罗斯公式）：二阶维里方程：二阶维里方程：为对比第二维里系数。ccRTBp中南大学能源科学与工程学院称二元交互作用参数。数分子相互作用有关的常为和, jikij)1()0(BBpTRBijcijcijmijcijmcijmcijcijVTRZp,211cjciijcijTTkT331,31,2cjmcimcijmVVV2ZcjcicijZZ 2jiij中南大学能源科学与工程学院2 范德瓦尔斯方程及RK方程ccpRTa26427ccpRTb82vabvRTpbvvTabvRTp5 . 0ccapTRa5 . 22ccbp

32、TRb2中南大学能源科学与工程学院混合物常数 和 采用以下混合法则： ab 上述混合法则在各组成物质化学性质相似时才比较可靠。不然的话，计算结果和混合物实验数据会很不一致。 用RK方程计算气液相平衡时，柏拉斯尼茨-崔提供了其他形式的混合法则。mimjijjiaxxa11imiibxb1jiijaaa （31）中南大学能源科学与工程学院也可用柏拉斯尼茨-崔法则:ijijjiaxxaijibxbcij5 . 2cij2majaiijp2TR)(a21)(1 (cjciijcijTTkTcij,mcijmcijcijVTRZp 331cj,m31ci,mcij,m)2VV(VijcijZ08. 02

33、91. 02jiij（32）中南大学能源科学与工程学院mmmmbammmmFbVbbVVZcjcjmbjpTRbjjmbbjcjcjji21jicjcicjcijijjimp/TxFF)pp/(TT )K1(xxF（33）3 RKS方程的混合法则中南大学能源科学与工程学院4 PR方程的混合法则 为二元交互作用参数，其值一般需由二元相平衡实验数据确定。用该法则计算气液相平衡一般能得到较好的结果。 ijkmimjijjiaxxa11miiibxb1jiijijaaka)1 ( （34）中南大学能源科学与工程学院3、其它状态方程的混合法则 几种常用的经验组合21jjiiijYYY）（jjiiijYY

34、Y）（233131)2(3jjiiijYYY）（线性组合平方根组合洛伦兹组合中南大学能源科学与工程学院得出3,2YjiijijYjjiiYY ,ijY适用：线性组合： 主要和分子间吸引能有关，或 相差很小。 平方根组合：结构相似或化学性质相似的气 体。 洛仑兹组合： 与组成气体i，j的体积有 关。 这里，相互作用分子直径中南大学能源科学与工程学院)ZZ(ZZZZ)0()R()R()0()1()0( r0rr)0(TvpZrRrrRTvpZ)()(四 混合气体的假临界常数 在应用对比态方程计算混合气体时，需要用到混合气体的临界压力和临界温度。如 L-K方程中南大学能源科学与工程学院L-K方程表达

35、式为2r2r2r3r45r2rrrrrvexpvvTcvDvCvB1TvpcccirRTvpvvv3r3r21T/cT/ccC3r42r3r21T/bT/bT/bbBr21T/ddD 式中中南大学能源科学与工程学院（1）凯法则应用条件： 25.0cjciTT25 . 0cjcippciicmTxTciicmpxp（35）混合气体假临界压力和假临界温度： 中南大学能源科学与工程学院ciicmTxT 适用于混合气体中二组元的临界压力相差较大的场合。 ciiciiciimciicmciimcmvxTxTxRvxTZxRp)()(（36）（2）MPG法则中南大学能源科学与工程学院（3）李-凯斯勒混合法则（应用于L-K方程） cicicicipRTZv/（36）iciZ085. 02905. 0jkckcjkicmvvxxv33/13/181jkckcjckcjkjccmTTvvxxvT33/13/1m81jjjmxcmcmcmcmcmcmvRTvRTZp/)085. 02905. 0(