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1、分类号学号M201070033学校代码10487密级硕士学位论文小车动力系统与控制平行停车学位申请人：熊山山学科专业：应用数学指导教师：杨晓松教授答辩日期：2012年5月10日A Thesis Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements forthe Degree of Master of ScienceDynamic System and Control System of Car ParallelParkingCandidate : Xiong ShanshanMajor : Applied MathematicsSupervi
2、sor : Prof. Yang XiaosongHuazhong University of Science & TechnologyWuhan 430074, P. R. ChinaMay, 2012独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已标明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学
3、校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本论文属于保密 ，在年解密后适用本授权书。不保密 。（请在以上方框内打“p”）学位论文作者签名：日期：年月日指导教师签名：日期：年月日摘要汽车的产生给人类生活带来了极大的便利,但是驾驶汽车的难度尤其是泊车时的难度也让许多人头疼不已.一个有效解决人为泊车困难的方法就是采用自动泊车系统.作为自动泊车系统中最为困难的部分,自动泊车转向控制策略是一个值得研究的问题.本文通过建立平面上无侧滑的四
4、轮车辆模型,就基于非线性路径反馈控制的平行泊车转向控制策略进行研究.主要做了以下三个方面的工作:首先,根据车辆Akcermann转向角原理与车轮侧向运动限制,建立平面上的车辆非完整约束动力学方程.利用微分几何曲线论知识得到车辆转弯半径与速度和转向角之间的关系,进而通过相切圆弧运动轨迹得到平行泊车最小停车位长度约束和最小道路宽度约束.其次,利用车辆参数及道路参数,通过车辆碰撞约束建立车辆泊车碰撞安全区域.在碰撞安全区域内,利用车辆起始泊车纵坐标与车辆最大转向角速度约束,构建平行泊车轨迹的曲率函数,通过曲线论基本定理得到泊车轨迹.最后,通过对车辆非完整约束动力学方程的非线性变换,得到曲线坐标下的车
5、辆动力学方程.利用非线性变换,将该动力学方程转换为一个与线性控制方程拓扑同胚的非线性控制方程.构建路径反馈控制函数,利用Lyapunov函数证明反馈控制函数的镇定性.为了展示非线性路径反馈控制的效果,利用Matlab仿真实验,得到车辆平行泊车模拟示意图.关键词：平行泊车,路径反馈,非线性控制,碰撞安全区域,泊车位长度,数值模拟IAbstractCar brings a great convenience to mankind. However, the difficulty of driving a car,especially in parking makes many people fee
6、ling not so good. An effective solution is to usethe automatic parking system replacing man-made parking. As the most difficult part of theautomatic parking system, automatic parking control strategy is a worthy problem.In this article, we solve the parallel parking problem by a non-linear path-base
7、d feed-back control, through the no-skidding vehicle model established on the plane. And we makethree mainly studies.Firstly, we achieve the nonholonomic constraint system of car in plane, using Acker-mann turning principle and wheel sliding restrictions. And we get the relation of the vehicleturnin
8、g radius and the speed and steering angle of vehicle. On this basis, we get the mini-mum parking space length and the minimum road width required, by two tangent circle.Secondly, we establish the crash safety region in parking by vehicle collision con-straints and using the vehicle parameters and ro
9、ad parameters. In the area of crash safety,we build the function of the curvature of the parallel parking trajectory using the vehiclestarting vertical axis and the maximum steering angular speed constraints. After this, we getthe parallel parking trajectory by the curve fundamental theorem.Finally,
10、 we get the vehicle dynamic system in curvilinear coordinates by vehiclenonholonomic constraints kinetic equation using nonlinear transformation. By nonlineartransformation, the kinetic equation can be converted to a nonlinear control system whichis topological homeomorphism with linear control syst
11、em. Above all, we get a stabilizednonlinear feedback control and use the Lyapunov function to prove it. To demonstratethe effect of feedback control of nonlinear path control, we use Matlab to get the vehicleparallel parking simulation.Key words: Parallel parking, trajectory feedback, nonlinear cont
12、rol, safety parking re-gion, parking plot length, numerate simulation.II目录摘要. IAbstract . II目录. III1绪论1.1引言. (1)1.2自动泊车研究现状. (1)1.3基于路径规划的平行泊车步骤. (2)1.4文章结构与主要内容. (2)2泊车过程中的约束2.1基于Ackermann转向几何学的最大转角限制. (4)2.2车辆动力学约束. (5)2.3车辆碰撞约束决定的最小停车条件. (7)3平行泊车的路径规划3.1安全泊车区域的确定. (13)3.2转角角加速度受限下的运动轨迹. (15)3.3转向
13、角速度受限下的泊车轨迹. (16)4路径反馈控制与仿真4.1路径反馈控制函数求解与仿真. (21)4.2基于非线性路径反馈控制的平行停车仿真. (26)5总结与展望致谢. (30)参考文献. (31)III1绪论1.1引言1.1.1研究自动泊车的意义随着国家的发展和人民生活水平的提高,我国城市居民汽车拥有量不断增加,使得城市街道和停车场所都出现拥挤不堪的状况.截止2011年8月,中国汽车保有量突破1亿辆,这意味着平均每14个人就有一辆汽车,但是中国的停车位数量相较于汽车保有量远远不够,有资料显示,中国停车位相较于汽车量仅有20%.而且,这种矛盾在短时间内会更加突出,路边到处可见的停放车辆就是最
14、好的证明.在拥挤空间停车是一件非常困难的事情它需要驾驶员精确的驾驶和距离估计,对于“菜鸟”来说这几乎是无法完成的任务,即使驾龄很长的驾驶员也会对此感到头疼.在倒车过程中,由于视线原因,驾驶员在驾驶座上无法全面了解车辆尾部情况,只能依赖汽车后视镜以及侧方视镜观察汽车周边以及后方的情况,但是汽车视镜受到它的安装位置以及形状大小的限制,视野狭窄清晰度差.倒车时,驾驶者必须时不时的转动身体回过头观察汽车后面的情况,同时还要顾及到汽车前方以及两侧的情况,这种状况容易产生不安全因素.美国密歇根大学交通研究所Paul Green的研究1表明,泊车所导致的事故占各种交通事故总数的44%.可见倒车过程是一个复杂
15、而危险的过程,它不仅依赖于驾驶者的驾驶经验和驾驶技巧,反应灵敏度对泊车成功也有很大的影响,任何一个环节出现问题都会导致驾驶员不仅无法快速准确的完成任务,甚至还会发生交通事故.相对于人来说,计算机更加符合从事精确性和重复性的问题.利用嵌入式计算机发展自动泊车系统是解决泊车困难的最佳选择.1.2自动泊车研究现状鉴于自动泊车系统所具有的应用价值,停车控制策略研究吸引了来自业界和学术界的大量关注29.由于国外汽车普及较早,自动泊车技术在国外的研究起步较早.早在1991年日本TOYOTA公司就做了基于轨迹控制的垂直泊车研究10.紧接着各种关于泊车系统的研究文章纷纷出炉, 1993年, Murry R.和
16、Sastry S.提出了基于正弦波转向控制的非完整运动规划11. 1994年, Laumond Jean. Paul等发表了非完整约束机器人的运动规划2. 1997年, Cheng Ching-Wen等利用5次多项式构建导航轨迹,实现平行停车12. 2001年, Gomez-Bravo F.等做了非线性自动车辆的平行停车和斜向停车的研究13. 2003年, Lo Y.等在2003年的IEEE智能交通系统会议上做了自动平行泊车的报告12. 2004年, Gomez-Bravo F.等在世界汽车会议上做了基于软件计算的自动1停车和导航的报告9. 2006年的37届国际机器人研讨会上, Floren
17、cio M.等发表了车辆机器人的平行停车控制研究6.相较于国外的汽车发展,国内汽车工业发展相对落后,自动泊车系统的研究起步也较晚,只有最近几年才陆续有理论方面的研究. 2007年, Zang Joung等在26届中国控制会议上发表了四轮驱动移动机器人的自动停车3. 2009年,宋金泽等在国家自然科学基金重点项目的资助下,发表自主平行泊车避碰约束空间生成方法14. 2010年,张勤等发表了自动泊车轨迹生成方法的研究15.在国内外的泊车控制系统研究中,转向控制策略主要有两大类模糊控制和确定性控制,其余还有采用类似驾驶者停车的生物仿生学等控制7.已有40多年历史的模糊控制1619,是基于专家经验或者
18、是应用数据集的逻辑控制方法,已经成功用于移动机器人的自动控制研究中12,2024.在局部范围内的模糊控制简单有效,但是要实现大范围和高精度的控制,模糊控制集需要几何级的增长.确定性控制策略是以现代控制论2526和几何控制理论27为基础构建起来的2,10,11,2834.其控制方法主要包括点到点控制,轨迹反馈控制和路径追踪控制.轨迹反馈控制结合了开环控制和闭环控制的所有优点,通过开环轨迹规划我们可以实现大范围的泊车,利用反馈控制,控制精度也可以得到保证.1.3基于路径规划的平行泊车步骤在泊车过程中,我们首先要知道我们在哪,也就是说我们需要利用各种传感器等确定我们的位置和周围环境信息建立泊车地图3
19、536.建立起的地图分为两种拓扑图和度量图37.这两种图有着本质上的区别,拓扑图展示的周围环境信息的拓扑信息,主要用于超大尺度的路径规划中,例如两点之间的连通性,最短路等.度量图是以平面坐标系的方式提供周围环境坐标信息.由于平行泊车过程中都是小尺度范围内的运动,注意力主要集中在车辆和障碍物的度量信息,度量图是我们的最好选择.建立地图信息后,我们就获得了车辆、停车位等相关信息.紧接着,我们需要对地图信息进行检测,判断停车位是否满足停车要求38.然后根据车辆和环境信息建立泊车反馈轨迹,利用反馈控制实现平行泊车.1.4文章结构与主要内容本文共有五章,其中第一章为绪论部分,第五章为结论与总结,主要内容
20、集中在第二、三、四章.第二章是基础准备部分.该部分着重介绍小车模型的约束:动力学约束,车辆性能约束以及运动碰撞边界约束中的动力学约束和碰撞边界约束.动力学约束的推导是基于采用Ackermann转向角原理平面上前后轮均无侧滑的非完整约束;车辆驱动为前轮驱动,低速下的车辆运动学模型.碰撞边界约束是基于泊车过程的理想化,没2有过多考虑车辆运动同时转向的碰撞,仅仅考虑车辆固定转向角的运动.在此基础上车辆只可能出现四种碰撞情况,分别是车辆后角与下边界的碰撞,车辆前角与上边界的碰撞,车辆前角以及后轮与停车障碍物的碰撞.基于上面的碰撞约束,推导出前后停车方式的最小停车位要求,和最小道路宽度要求,进而解释为什
21、么人们喜欢倒向停车.第三章是停车可行区域求解与路径规划部分.在该部分中,给出了基于四段相切圆弧的可行泊车区域,以及该四段圆弧方程的显示表达式.在给定可行泊车区域的基础上,结合车辆转向角速度的约束,对一条直线同时与两段圆弧相切构成的泊车轨迹进行优化.基于微分几何知识平面曲线知识,利用贪心搜索建立符合车辆转向角速度约束的泊车轨迹数值解.第四章是文章的核心章节.在该章中,分析了三种确定性控制方案:点到点控制,路径反馈控制和路径追踪控制的优缺点后,选取路径反馈控制方案作为我们平行停车的控制方案.然后利用Frenet坐标,通过坐标变换得到车辆基于给定曲线的运动学描述.然后利用该运动学方程,通过一定的变量
22、替换得到一个线性控制系统,利用线性控制理论知识,构建反馈控制.最后利用得到的反馈控制方案和规划的路径,利用计算机进行反馈控制模拟,验证反馈控制误差.32泊车过程中的约束汽车作为一种特殊的轮式机器人,在泊车的过程中受到以下几种约束:动力学约束:作为一种特殊的轮式机器人,汽车受到非完整动力学约束,也就是说汽车运动轨迹的几何形状受到一定的约束.这种约束实际上就是汽车后轮坐标与汽车方位角所要满足的一定方程.性能约束:作为特定的轮式移动机器人,汽车本身所具备的性能是一定的,包括车辆的尺寸,加速度,最大速度和转角加速度,最大转角速度,最大转角等.碰撞约束:在汽车的运动过程中,我们要避免其碰触到任何物体,包
23、括停放的车辆,停车位边界,移动的行人和车辆等.在进行轨迹反馈泊车过程中,我们不可能顾全所有的约束,或多或少的会忽略某些次要约束,其中最常见的是忽略性能中的加速度和转角加速度.下面我们分别考虑汽车的非完整动力学约束,最大转角约束和碰撞约束的数学模型.2.1基于Ackermann转向几何学的最大转角限制在车辆转向过程中,为了避免轮胎的侧向磨损,必须保证所有车轮的转弯轴线相交于一点,如图2-1.图中车辆前轮的左右转角分别为l和r,抽象中间转角即所谓的Ackermann转角39.他们之间的关系为tanl = LRr W/2,tan = LRr,tanr = LRr + W/2,其中L为车的轴距, W为
24、车的轮距,也可以当做车宽.从上面的公式可以看出,我们知道了Ackermann转向角就可以算出其左右轮的转角分别为l = arctan LL/tan W/2,r = arctan LL/tan + W/2.从而小车模型可以简化为三轮车模型,对应的可以把Ackermann转角的限制当做车辆转角限制.4图2-1 Ackermann转向几何2.2车辆动力学约束在平面上确定车辆位置和姿态的变量只需要三个,车辆后轮中点的坐标(xr,yr)和车辆方向与X轴的夹角.如图2-2所示.根据小车的尺寸结构我们有图2-2小车模型5xf xr = Lcos,yf yr = Lsin.(2.1)由前轮无侧滑,即前轮轴向速
25、度为零得到xf sin( + ) yf cos( + ) = 0. (2.2)由后轮无侧滑,即后轮轴向速度为零得到xr sin yr cos = 0. (2.3)取前轮驱动速度为v,我们有xf = vcos( + ),yf = vsin( + ).(2.4)化简以上四式可以得到小车动力学约束方程xr = vcoscos,yr = vcossin, = vL sin.(2.5)在车辆转向过程中,车辆转向半径是我们非常关心的,我们可以通过计算一下后轮中点轨迹的曲率来得到车辆转向半径.由曲率公式k = j yr xr xr yrj( xr2+ yr2)3=2可得:k = 1L tan, (2.6)从
26、而得到车辆转向半径R = 1k = Ltan.这说明车辆转弯时的转弯半径与车辆速度无关,仅与车辆的转向角有关.在车辆转向角保持不变时,车辆的转弯半径也保持不变,其后轮轨迹为一段圆弧.这与车辆的几何约束(车轮无侧滑)和人的常识是吻合的.同样也可以证明图2-3中的转弯半径Rri,Rro,Rfi,Rfo都在转弯角不变时保持不变.而且他们之间有如下关系:Rfo =(R + W/2)2 + (L + Lf)2, (2.7)Rfi =(R W/2)2 + (L + Lf)2, (2.8)Rro =(R + W/2)2 + L2r, (2.9)Rri =(R W/2)2 + L2r. (2.10)6图2-3
27、车辆转弯时的几个重要转弯半径另外还有两个非常重要的车辆转弯是车辆转弯时所有转弯半径的边界值Rmin,RmaxRmin = R W/2, (2.11)Rmax = Rfo. (2.12)2.3车辆碰撞约束决定的最小停车条件在平行泊车的过程中,存在着道路宽度限制(泊车允许宽度)和泊车位长度限制.Prince的研究40表明,车辆运行过程中前轮的轨迹变化决定了后轮的轨迹,但是这种影响的关系式是难以表述的, Prince也仅仅是考虑了前轮直线运动和圆周运动的情形.故而我们要从另外一个角度考虑如何避免车辆碰撞的问题,从而规划出一条反馈轨迹.由节2.2可知,车辆转向角不变时,车辆的运行轨迹是一段圆弧,而且转
28、向角越大,对应的转弯半径越小.这样我们有图2-4中的4种可能碰撞,依据这些碰撞约束,我们就可以得到停车位的约束要求.2.3.1停车位最小长度要求如果想一次就把车停在车位里面,而不是来来回回的倒车,那么车位长度有一个对应的最小要求,而且这个最小长度与我们的倒车方式是密切相关的.一次倒向泊车入位的车位要求示意图见图2-5a,从而可以得到最小车位长7(a)尾部碰撞底边(b)后轮碰撞拐角(c)前轮碰撞道路(d)前轮碰撞拐角图2-4平行泊车可能出现的碰撞点示意图.(a)倒向泊车入位(b)正向泊车入位图2-5两种不同的泊车方式示意图8度Lr + L + Lf + L满足的边界关系式3814为(L + Lf
29、 + L)2 + (R1 + W/2 d)2 = (R1 + W/2)2 + (L + Lf)2. (2.13)简单计算可以得到L =(L + Lf)2 d2 + (2R1 + W)d (L + Lf). (2.14)一次正向泊车入位的车位车位要求示意图见图2-5b,从而可以得到最小车位长度Lr + L + Lf + L满足的边界关系式为L2 + (R1 + W/2 d)2 = (R1 + W/2)2 + (L + Lr)2. (2.15)简单化简得到L =(L + Lr)2 d2 + (2R1 + W)d. (2.16)比较式2.14和式2.16可以发现,倒向泊车入位对车位长度的要求比正向倒
30、车入位的车位长度要求小许多,二者几乎相差一个车长(Lr,Lf相对与L都比较小).为了更加直观的说明该问题,我们取一组数据来简单的计算一下.取L = 2.85, W = 1.81,Lf = 1.54, Lr = 1.57, = 6, d = 2.4.计算得到倒向停车的长度额外要求L = 2.056,顺向停车的长度额外要求为L = 6.466,可见二者的差距之大.2.3.2道路宽度的最小条件图2-6最小停车道路宽度示意图在泊车时,不仅要考虑停车位的长度,同时还要考虑泊车时需要的道路宽度,如图2-6所示.道路宽度的最小值是由图2-4b和图2-4c导致碰撞时的极限边界所决9定的.两段相切圆弧构成的泊车
31、轨迹来计算所需要的最小道路宽度.设第一段圆弧的半径为R1,第二段圆弧的半径为R2,切点的坐标为(x,y),第一个圆弧的圆心为(Lr,Rro),第二个圆弧的圆心为(x, y).由第二段圆弧对应极小半径圆弧经过碰点(Lr + L + Lf + L,d)有(Lr + L + Lf + L x)2 + (d y)2 = (R2 W/2)2. (2.17)由第一段圆弧与第二段圆弧相切有(Lr x)2 + (Rro y)2 = (R1 + R2)2. (2.18)对公式(2.17)拆分化简得到(Lr x)2 + 2(L + Lf + L)(Lr x) + (L + Lf + L)2+ (d Rro)2 +
32、 2(d Rro)(Rro y) + (Rro y)2= (R2 W/2)2. (2.19)公式(2.19)减去公式(2.18)有2(L + Lf + L)(Lr x) + (L + Lf + L)2 + (d Rro)2 + 2(d Rro)(Rro y)= (R2 W/2)2 (R1 + R2)2. (2.20)由上式可以得到Lr x的表达式Lr x = (R2 W/2)2 (R1 + R2)2 (L + Lf + L)2 (d Rro)22(L + Lf + L)d RroL + Lf + L(Rro y). (2.21)令C1 = (R2 W/2)2 (R1 + R2)2 (L + L
33、f + L)2 (d Rro)22(L + Lf + L) ,C2 = d RroL + Lf + L.将公式(2.21)代入公式(2.18)中并化简得到(1 + C22)y2 + 2C2(C1 C2Rro) Rroy + (C1 C2Rro)2 + R2ro (R1 + R2)2 = 0.令C3 = C2(C1 C2Rro) Rro,10C4 = (C1 C2Rro)2 + R2ro (R1 + R2)2,则y = C3 C23 (1 + C22)C41 + C22 .根据实际情况y的取值应该为y = C3 C23 (1 + C22)C41 + C22 .从而为了避免车前角与道路相撞,见图2
34、-4c,道路宽度H必须满足H Rfo + y.以上是给出一种判断道路宽度条件的公式,但是如何选取公式中的R1, R2来确定具体的道路宽度要求一个困难的问题,我们暂且在此不去详细求解,而是利用两组极限半径来展示道路宽度的最小要求.取L = 2.85, W = 1.81, Lf = 1.54, Lr = 1.57, = 6, d = 2.4, L = 2.4,首先我们取R1, R2均为最小转弯半径,也就是车辆最大转向角对应的半径,得到此时的最小道路宽度要求为3.483.我们再取R1, R2均为最大转弯半径,也就是车辆前角与碰撞点刚刚发生碰撞时的转向半径,得到此时的最小道路宽度要求为3.285.由此
35、可见,道路宽度约束和停车位长度约束是两个矛盾约束:停车位长度越大,对道路宽度的要求就越小;停车位长度越小,对道路宽度的要求就越大.总结以上的讨论,我们可以得到下面的最小道路宽度约束命题.命题2.1：条件为前轴长Lf,轴距L,后轴长Lr,车宽W的车辆在长度为Lp,宽度为d的停车位中,实现一次平行停车所需的最小道路宽度为Rfo + y.其中,Rfo =(R + W/2)2 + (L + Lf)2,y = C3 C23 (1 + C22)C41 + C22 ,C1 = (R W/2)2 (2R)2 (L + Lf + L)2 (d Rro)22(L + Lf + L) ,C2 = d RroL +
36、Lf + L,C3 = C2(C1 C2Rro) Rro,C4 = (C1 C2Rro)2 + R2ro (2R)2,Rro =(R + W/2)2 + L2r,11R = (L + Lf + L)2 (L + Lf)2 + d22d W2 .123平行泊车的路径规划在完成地图建立和停车条件判断过后,我们就要正式开始准备泊车了.前面提到过,基于确定性控制方法的泊车控制有点到点反馈控制,路径反馈控制和轨迹追踪控制.由于选取的控制方法是基于路径反馈的控制(具体原因见节4),从而在正式泊车之前需要构建一条合理的反馈路径.而且反馈路径的质量直接决定了控制效果的好坏,所以规划出一条合适的路径是非常必须且
37、重要的.在4轮移动机器人的路径反馈控制中,有许多生成反馈路径的方法9,29,41,但是由于车辆模型的特殊限制,轮式机器人的路径反馈在此处就不太适用.虽然也有采用多项式拟合,曲线拟合等近似车辆反馈路径方案8,12.但是为了得到更加精确的车辆路径反馈方案,下面我们从基本的平面几何学出发,利用车辆约束限制,构建适用于车辆泊车的反馈路径.3.1安全泊车区域的确定在进行路径规划之前,我们首先需要构建一个车辆碰撞安全区域.宋金泽等在自主平行泊车避碰约束空间生成方法14中给出了基于四段相切圆弧形成的封闭碰撞安全区域.但是其规划方法是基于确定的初始泊车点和泊车终点规划出来的,借鉴其方法,考虑仅需初始泊车纵坐标
38、和泊车终点的安全泊车区域.在2.3节中,我们讨论了停车位最小长度和道路最小宽度约束,再此基础上,我们根据给定的停车位和道路来确定可行的停车轨迹区域,见图3-1.我们首先假定道路图3-1泊车避碰空间约束示意图宽度H大于采用极限转弯半径时的最小道路宽度,也就是最大要求道路宽度.为了避13免车辆转弯时同上下边界的碰撞,需要预留的道路宽度H1,H2分别满足H1 maxRfW/2 + Rfo Rg= maxRW/2 + (L + Lf)2(R + W/2)2 + (L + Lf)2 + R,H2 maxRfW/2 + Rro Rg= maxRW/2 + L2r(R + W/2)2 + L2r + R.注
39、意到我们倒车泊入的时候,车辆的运动轨迹与车辆顺向从车位泊出时的轨迹是一样的,从而我们从车辆顺向泊车来判断车辆的运动轨迹.我们取车辆最后泊出水平线同上边界的距离为H1,也就是初始泊入位置水平线同上边界的距离为H1.左端的两条碰撞边界OM1,M1P1是采用极限转弯半径,也就是最大转向角对应半径R1min = R/tanmax得到两段相切圆弧,刚好可以从O点到达P1点.这样OM1段圆弧的方程为：y = R1min R21min x2, (3.1)M1P1段圆弧的方程为：y = H R1min H1+R21min (x (H H1 + d H2)2 + 4R1min(H H1 + d H2)2.(3.
40、2)右端的两条碰撞边界OM2,M2P2是采用最大转弯半径,也就是由停车位长度对应的半径R1max = (L+Lf+L)2 (L+Lf)2+d2 dW2d得到两段相切圆弧.同上面左端圆弧计算公式一样,我们可以得到圆弧OM2,M2P2的方程为：y = R1max R21max x2, (3.3)y = H R1max H1+R21max (x (H H1 + d H2)2 + 4R1max(H H1 + d H2)2.(3.4)这样,我们就得到了四条相切圆弧构成的两条连续曲线形成的区域.当车辆在这两条曲线中运动而且不超过泊出直线,那么车辆就是相对安全的.在安全区域里面一条合理的反馈轨迹就是接下来的
41、任务了.143.2转角角加速度受限下的运动轨迹在3.1节中,我们采用的是相切圆弧构成泊车区域.但是在实际泊车过程中,这显然是不现实的,这是因为在两段圆弧相切时,曲线曲率发生了突变,这样就导致转向角变化率无穷大.从图3-2中的前轮轨迹也可以看出,要想实现两段相切圆弧的泊车轨迹必须在改变方向角时停下车辆,我们显然不希望出现这种情况.故而,要实现我们图3-2转向前轮轨迹示意图平稳流畅的泊车要求,需要在两段相切圆弧之间加上一定的平滑过渡.假定我们在过渡时,转向角的变化率为一定常值,也就是说 = c.其中c为定常值的转向角加速度.由空间曲线论基本定理42可以简化得到如下的平面上曲线基本定理.定理3.1
42、(平面曲线论基本定理)：给定闭区间s0,s1上的一个连续函数(s) = 0,则除了空间的位置差别外,惟一地存在一个平面曲线,使得参数s是曲线的自然参数,并且(s)为曲线的曲率,即曲线的自然方程为k = (s).由平面曲线基本定理,我们知道,一旦得到一个连续曲率函数就可以确定一条平面曲线.下面我们来看看如何利用具体的曲率函数得到具体的曲线公式.由微分几何基本知识与Frenet公式我们有drds = ,d ds = (s),d ds = (s),(3.5)其中, r为曲线的向径,可以表示为r = xi + yj, 为曲线的单位切向量,可以表示为 = ii + jj, 为曲线的单位法向量,可以表示为
43、 = ii + jj, i,j分别为直角坐标系水平单位向量和垂直单位向量.由车辆模型可知,后轮中心点速度为vcos.利用一阶导数的链式法则dds =ddtdsdt15= vcos ddt,可得dxdt = vcosi,dydt = vcosj,d idt = vcos(s)i,d jdt = vcos(s)j,d idt = vcos(s)i,d jdt = vcos(s)j,(3.6)其中d dt = c, (s) = Ltan .由微分方程组解的存在性定理,方程组(3.6)对初始条件t = t0, = 0, i = i0,j = j0, i = i0, j = j0, x = x0, y
44、= y0有惟一一组解.注意到这组方程的求解时没有显示表达式的,我们只能利用计算机进行数值计算.下面我们就对其进行简单的数值计算,看看取不同的转向角加速度c,和不同的车辆速度v得到的仿真结果.仿真中取最大转向角max = 4,初始点状态0 = max, i0 = 1, j0 = 0, i0 = 0, j0 = 1,x0 = 0, y0 = 0.最终状态是 = max,得到结果见图3-3.通过图3-3可以看出, v固定时, c越大,曲线越短,意味着转角过渡也越快. c固定, v越大,曲线越长,以为这转角过渡越慢.3.3转向角速度受限下的泊车轨迹在上面两节的讨论中,我们得到了安全泊车区域的界定和泊车
45、过渡曲线的求解.在本节中,我们就利用前面的准备,构建一条合理且精确的反馈路径.在文献10中Akira Ohata提出利用两个最短转弯半径和一条相切直线来构建一个最短的运动轨迹,如图3-4.同上面的讨论一样,在切点M1,M2处,曲线曲率都出现了突然变化,故而我们需要采取一定的光滑控制策略,来实现反馈路径的建立.在3.1节中,我们得到左右两条相切的圆弧曲线,在左边相切的圆弧曲线曲率半径为R1min,右边相切的圆弧曲线曲率半径为R1max.其中R1min是车辆极限转弯半径, R1max是车辆从车位泊出时车辆外前角不与碰撞物发生碰撞的最大转弯半径.为了给车辆控制预留一定的转向冗余量,我们对泊车第一部分,也就是图3-4中OM1段,取泊车半径为R1 = 34R1min + 14R1max.这样选取的目的是即给控制留有一定的余地,也可以为路径规划过程中其他量的选取留有一定的余地.也就是说,泊车曲线第一部分对应的曲线曲率为k1(s) = 1R1= 43R1min + R1max.16(a) c = 0:5;v = 1时的运动轨迹(b) c = 1;v = 1时的运动轨迹(c) c = 1;v = 2时的运动轨迹(d) c = 2;v = 2时的运动轨迹图3-3不同转向加速度和不同速度下的运动轨迹.图3-4采用两段圆弧和一段直线相切的反馈路径17此段曲线对应的车辆转向角为