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1、精选优质文档-倾情为你奉上2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1设集合，集合，则 （ ）A. B. C. D.【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】通过解不等式再考查集合间的运算.【难易程度】容易.【参考答案】A【试题解析】故选A.2如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是 （ ） 第2题图 A.A B.B C.C D.D 【测量目标】复平面.【考查方式】利用共轭复数考查点在复平面上的位置.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】设，且，则z的共轭复
2、数为,其中，故选B.3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 （ ）第3题图 A B C D 第3题图 【测量目标】平图形的直观图和三视图.【考查方式】给出三视图判断其直观图.【难易程度】容易.【参考答案】D【试题解析】由俯视图的圆环可排除A,B,进一步将已知三视图还原为几何体，故选D.4设，集合是奇数集，集合是偶数集若命题，则（ ）A. B.C. D.【测量目标】全称量词与存在量词.【考查方式】给出全称命题求存在命题.【难易程度】容易.【参考答案】D【试题解析】命题p是全称命题：，则是特称命题：.故选D.5函数的部分图象如图所示，则的值分别是 （ ）第5题图 A. B. C.
3、D.【测量目标】函数的图象及其变化.【考查方式】给出三角函数图象求解析式中的未知参数.【难易程度】中等.【参考答案】A【试题解析】,.由图象知当时，,即.故选A.6抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是 （ ）A. B. C. D.【测量目标】双曲线和抛物线的基本性质.【考查方式】给出抛物线和双曲线的方程，求距离.【难易程度】中等.【参考答案】B【试题解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为（1,0），则焦点到渐近线的距离或.7函数的图象大致是 （ ） A B C D 第7题图【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】给出函数解析式判断函数图象.【难易程度】中等.【参考答案】C【试题解析】由函数的定义域
4、可排除A，当时，y=1，当x=4时，但从选项D的函数图象可以看出函数在上是单调增函数，两者矛盾，故选C.8从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是 （ ）A. B. C. D.【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】通过数字组合的对数差不同来考查排列组合.【难易程度】中等.【参考答案】C【试题解析】从1，3,5，7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数但，所以不同值的个数为202=18，故选C.9节日里某家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第
5、一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ）A. B. C. D.【测量目标】几何概型.【考查方式】给出实际案例求现实生活中的几何概型.【难易程度】较难.【参考答案】A【试题解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为,则，而事件发生的概率为，可行域如图阴影部分所示，有几何概型得.第9题图 10设函数（，为自然对数的底数）若曲线上存在使得，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D.【测量目标】函数零点的应用.【考查方式】给出函数解析式以及等式方程判断参数范围.【难易程度】较难.【参考答案】A【试题解析】由已知点在曲线即存在则点都在的图象上，又，所以，令在0,1上单调递增，又.二、填空题
6、：本大题共5小题，每小题5分，共25分11二项式的展开式中，含的项的系数是_（用数字作答）【测量目标】二项式展开式.【考查方式】求二项式展开式中的某一项.【难易程度】简单.【参考答案】10【试题解析】故填10.12在平行四边形中，对角线与交于点，则_【测量目标】平面向量的四则运算.【考查方式】给出平面向量的等式求未知参数.【难易程度】简单.【参考答案】2【试题解析】由向量加法的平行四边形法则，得又O是AC的中点，13设，则的值是_【测量目标】二倍角公式.【考查方式】给出关系式求特殊角的正切值.【难易程度】中等.【参考答案】【试题解析】由题意得而，14已知是定义域为的偶函数，当时，那么，不等式的
7、解集是_ 【测量目标】解不等式.【考查方式】给出函数的部分区间的解析式，求函数在整个区间的不等式的解集.【难易程度】较难.【参考答案】【试题解析】故为在定义域上的偶函数由，所以所以不等式的解集为.15设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”例如，线段上的任意点都是端点的中位点则有下列命题：若三个点共线，在线上，则是的中位点；直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_（写出所有真命题的序号）【测量目标】考查新定义.【考查方式】给出新定义的含义
8、，根据新定义解题.【难易程度】较难.【参考答案】【试题解析】当且仅当点C在线段AB上等号成立，所以点C是中位点，故为真命题. 为假命题，若P为点A，C,则点P在线段AC上，若点P是B,D 的中位点，则点P在线段BD上，所以若点P是A,B,C,D的中位点，则p是AC，BD的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点故是真命题.三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16(本小题满分12分) 在等差数列中，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出等差数列的项与项之间的关系，求通项和前n项和.【难易程度】中
9、等.【试题解析】设该数列公差为,前项和为.由已知,可得.所以,（步骤1）解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前项和或（步骤2）. 17(本小题满分12分) 在中，角的对边分别为，且（）求的值；（）若，求向量在方向上的投影【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】给出三角形中角的关系通过投影考查余弦定理. 【难易程度】中等.【试题解析】由,得,即,则,即. (步骤1)由,得,由正弦定理,有,所以,.由题知,则,故.根据余弦定理,有,解得或(舍去).（步骤2）故向量在方向上的投影为. （步骤3）18(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这
10、个整数中等可能随机产生（）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；（）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出的值为2的次数的分布列及数学期望第18题图 【测量目标
11、】选择结构的程序框图.【考查方式】通过实际案列来考查对框图的识别。【难易程度】较难【试题解析】.变量x是在1,2,3，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故;当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故. （步骤1）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下：输出的值为的频率输出的值为的频率输出的值为的频率甲乙比较频率趋势与概率，可得乙同学所
12、编程序符合算法要求的可能性较大. （步骤2）（3）随机变量可能饿取值为0,1,2,3. 故的分布列为所以即的数学期望为1. （步骤3）19(本小题满分12分) 如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段的中点（）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；（）设（）中的直线交于点，交于点，求二面角的余弦值第19题图 【测量目标】二面角平面角的基本知识.【考查方式】给出几何体的相关性质求相关知识.【难易程度】较难.【试题解析】如图,在平面内,过点做直线/,因为在平面外,第19题图 在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知, /平面.由已知,是的中点,所以,则直线.因
13、为平面,所以直线.又因为在平面内,且与相交,所以直线平面. （步骤1）解法一:连接,过作于,过作于,连接.由知,平面,所以平面平面.所以平面,则.所以平面,则.故为二面角的平面角(设为). （步骤2）设,则由,有,.又为的中点,所以为的中点,且,在中, ;在中, .从而,所以.所以.故二面角的余弦值为. （步骤3）解法二: 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合).第19题图 则,.因为为的中点,所以分别为的中点, 故,所以,. （步骤1）设平面的一个法向量为,则即故有从而取,则,所以. （步骤2）设平面的一个法向量为,则即故有从
14、而取,则,所以.（步骤3）设二面角的平面角为,又为锐角,则.故二面角的余弦值为. （步骤4）20(本小题满分13分) 已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点（）求椭圆的离心率；（）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程【测量目标】圆锥曲线中的轨迹问题.【考查方式】给出椭圆方程求动点的轨迹方程.【难易程度】较难.【试题解析】， 所以，.又由已知，,所以椭圆C的离心率 (步骤1)由知椭圆C的方程为.设点Q的坐标为(x,y).(1)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于两点，此时Q点坐标为 （步骤2）(2) 当直线l与x轴不垂直时，设直线的方程为.因为M,N在直线l上，
15、可设点M,N的坐标分别为，则. 又由，得，即 将代入中，得 （步骤3）由得.由可知代入中并化简，得 因为点在直线上，所以，代入中并化简，得.由及，可知,即.又满足，故.由题意，在椭圆C内部，所以y1 （步骤4）又由有且y1，则.所以点Q的轨迹方程是，其中（步骤5）21(本小题满分14分)已知函数，其中是实数设，为该函数图象上的两点，且（）指出函数的单调区间；（）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；（）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围【测量目标】不等式的综合应用.【考查方式】给出函数解析式回答在各种条件下的问题.【难易程度】较难.【试题解析】函数的单调递减区间为，单调递增区间为（步骤1）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，故当点A处的切线与点B处的切垂直时，有.（步骤2）当时，对函数求导，得.因为，所以，所以.因此（步骤3）当且仅当，即时等号成立.所以函数的图象在点A,B处的切线互相垂直时，的最小值为1（步骤4）当或时，故.当时，函数的图象在点处的切线方程为，即当时，函数的图象在点处的切线方程为，即. （步骤5）两切线重合的充要条件是由及知，.由得，.设，（步骤6） 则.所以是减函数. 则，所以. 又当且趋近于时，无限增大，所以a的取值范围是.故当函数的图像在点A,B处的切线重合时，a的取值范围是.（步骤7）专心-专注-专业