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1、定理：垂直于弦的直径平分弦定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧.OABCDMCDAB,CDAB,如图如图 CDCD是直径是直径, ,AM=BM,AM=BM,AC =BC,AC =BC, AD =BD. AD =BD.条件条件CD为直径为直径CDABCD平分弧平分弧ADBCD平分弦平分弦ABCD平分弧平分弧AB结论结论第1页/共18页垂径定理的逆命题是什么？垂径定理的逆命题是什么？想一想想一想垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的两两 条弧条弧.条件条件结论结论1结论结论2逆命题逆命题1 1：平分弦的直径垂直于弦。：平分弦
2、的直径垂直于弦。逆命题逆命题2 2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。第2页/共18页CDAB,探索规律探索规律ABAB是是O O的的一条弦一条弦, ,且且AM=BM.AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系? ?与同伴说说你的想法和理由与同伴说说你的想法和理由. .过点过点M M作直径作直径CD.CD.On上图是轴对称图形吗上图是轴对称图形吗? ?如果是如果是, ,其对称轴是什么其对称轴是什么? ?C CD Dn由由 CDCD是直径是直径 AM=BM AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD. M MA AB B第3页/共18页只要具
3、备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD CD是直径是直径, , AM=BM, AM=BM, CDAB, CDAB, AC=BC,AD=BD.第4页/共18页规律规律（3）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2） CD CD是直径是直径, , AM=BM, AM=BM, CDAB, CDAB, AC=BC,AD=BD.第5页/共18页 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧对的弧逆定理逆定理定理定理1 1：平分弦（平分弦（
4、不是直径不是直径）的直径垂直于）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧弦，并且平分弦所对的弧定理定理2 2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦垂径定理垂径定理第6页/共18页.OAEBDC已知：已知： O O的的直径直径CDCD交弦交弦ABAB（不是直径）于点（不是直径）于点E E，且，且AE=BE.AE=BE.求证：求证：CDAB，ADBD，ACBC.定理定理1 1：平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦，并且）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧平分弦所对的弧. .证明：连结证明：连结OAOA，OBOB，则，则OA=OBOA=OBAOBAOB是等腰三角形是等腰
5、三角形AE=BE,AE=BE,CDABCDAB （等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）（垂径定理）（垂径定理）AD=BDAD=BD，AC=BCAC=BC请同学们独立证明定理请同学们独立证明定理2 2第7页/共18页辨一辨辨一辨第8页/共18页ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)第9页/共18页ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E第10页/共18页例例1 1、13001300多年前多年前, ,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥( (如图如图) )的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对是弦的长弧所对是弦的长) )为为 37.2 3
6、7.2 m,m,拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离, ,也叫弓形高也叫弓形高) )为为7.23m,7.23m,求求桥拱的半径桥拱的半径( (精确到精确到0.01m).0.01m).第11页/共18页A AO OC CD D AB AB表示桥拱，设表示桥拱，设ABAB所在的圆的圆心为所在的圆的圆心为O O，半径为半径为R R，C C为为ABAB的中点，连结的中点，连结OCOC，交，交ABAB于点于点D.D.R R解：解：OCAB.OCAB.OCOC就是拱高就是拱高. .AD=1/2AB=0.5AD=1/2AB=0.537.02=18.51,37.02=18.51,OD=OC-DC
7、=OD=OC-DC=（R-7.23R-7.23）. .在在RtRtOADOAD中，中，OAOA2 2=OD=OD2 2+AD+AD2 2 RR2 2=18.51=18.512 2+(R-7.23)+(R-7.23)2,2,解得解得R27.31.R27.31.答答: :赵州桥的桥拱半径约为赵州桥的桥拱半径约为27.31m.27.31m.CC是是ABAB的中点的中点, ,第12页/共18页练一练练一练1 1、已知：如图、已知：如图,O ,O 中中, ,弦弦ABCD,ABABCD,ABCD,CD,直径直径MNAB,MNAB,垂足为垂足为E,E,交弦交弦CDCD于点于点F.F.图中相等的线段有图中相等
8、的线段有 : : . .图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有: : . .A AO ON NM MF FE ED DC CB B第13页/共18页ABCD0EFGH2 2、如图、如图, ,圆圆O O与矩形与矩形ABCDABCD交于交于E E、F F、G G、H, H, EF=10,HG=6,AH=4.EF=10,HG=6,AH=4.求求BEBE的长的长. .M M3 3、在直径为、在直径为130mm130mm的圆铁片上切下一块高为的圆铁片上切下一块高为32mm32mm的弓形的弓形铁片，求弓形的弦的长度。铁片，求弓形的弦的长度。 （弓形是圆弧和它所对的（弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形）弦围成的图形
9、）第14页/共18页 .AOBECDF4 4、已知：、已知：ABAB是是O O直径，直径，CDCD是弦，是弦，AECDAECD，BFCDBFCD，求证：，求证：ECECDF.DF.G G第15页/共18页提示提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OA AB BC CD D（1）两条弦在圆心的同侧）两条弦在圆心的同侧OA AB BC CD D（2）两条弦在圆心的异侧）两条弦在圆心的异侧垂径定理的推论：垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.5 5、求证、求证: :如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行, ,那么这两条弦那么这两条弦所夹的弧相等所夹的弧相等E EF FE E第16页/共18页课堂小结课堂小结: :.CDAOMNE.ACDBO.ABO第17页/共18页1 1、 如图如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥, ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米, ,拱顶高出水面拱顶高出水面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、船米、船舱顶部为长方形并高出水面舱顶部为长方形并高出水面2 2米的货船要经过这米的货船要经过这里里, ,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？第18页/共18页