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1、精选优质文档-倾情为你奉上3.3垂径定理第1课时垂径定理知识点一圆的对称性圆是_图形，每一条_都是它的对称轴1圆有_条对称轴，它的对称轴是_知识点二垂径定理垂直于弦的直径_，并且平分_圆心到圆的一条弦的距离叫做_2如图331，CD是O的直径，弦ABCD于点E，连结BC，BD，则下列结论中不一定正确的是()图331AAEBE B.C. DOEDE3如图332，在O中，半径OB5 cm，OCAB，OC3 cm，则弦AB的长为_ cm.图332类型一运用垂径定理探索圆中的计算问题例1 教材补充例题 如图333，在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD于点M，CD15 cm，OMOC35，求弦AB的长图
2、333【归纳总结】垂径定理的基本模型如图334，在O中，OCABr2h2.图334类型二运用垂径定理探索圆中的证明问题例2 教材补充例题 如图335，AB，CD是O的弦，AC.求证：ABCD.图335【归纳总结】利用垂径定理证明的常见辅助线作圆心到弦的垂线段，它在沟通半径与弦中起着桥梁的作用类型三运用垂径定理解决实际问题例3 教材例2变式 要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法如果用一个直径为10 mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h8 mm(如图336)，求此小孔的直径d.图336【归纳总结】弓形问题的基本模型如图337，弓形的半径为r，弦长为a，弓高为h，
3、则：r2(hr)2；r2(rh)2.图337半径为5 cm的圆中有两条弦，弦长分别为3 cm，4 cm，求两弦之间的距离解：如图338，过点O作OFAB，垂足为F，交CD于点E，连结OD，OB.在RtOED中，OE3(cm)，OF4(cm)，EF431(cm)，两弦之间的距离为1 cm.以上解法正确吗？若不正确，请改正图338课时作业(十七)3.3第1课时垂径定理 一、选择题1如图K171，已知O的直径ABCD于点E，则下列结论一定错误的是()图K171ACEDE BAEOEC. DOCEODE2如图K172所示，O的半径为13，弦AB的长度是24，ONAB，垂足为N，则ON的长为()图K17
4、2A5 B7 C9 D1132017金华如图K173，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形的弦AB的长为()图K173A10 cm B16 cm C24 cm D26 cm4已知O的面积为2，则其内接正三角形的面积为()A3 B3 C. D. 5如图K174，O是ABC的外接圆，B60，O的半径为4，则AC的长为()图K174A4 B6 C2 D86圆的半径为13 cm，两弦ABCD，AB24 cm，CD10 cm，则两弦AB，CD之间的距离是()A7 cm B17 cmC12 cm D7 cm或17 cm二、填空题72017大连如图K175，在O中，弦AB8
5、cm，OCAB，垂足为C，OC3 cm，则O的半径为_cm.图K1758“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图K176所示，CD为O的直径，弦ABCD于点E，CE1，AB10，求CD的长”. 同学们根据题意可得CD的长为_.图K1769在半径为2的圆中，弦AC的长为1，M为AC的中点，过点M的最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为_102016绍兴如图K177，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB40 cm，脸盆
6、的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为_cm.图K177112017雅安O的直径为10，弦AB的长为6，P是弦AB上一点，则OP长的取值范围是_122017遵义如图K178，AB是O的直径，AB4，M是OA的中点，过点M的直线与O交于C，D两点若CMA45，则弦CD的长为_.图K178三、解答题13如图K179，O是ABC的外接圆，过点O作OEAC于点E，ODAB于点D，连结DE，你认为DE与BC有什么关系？写出你的结论和理由.图K17914已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K1710)(1)求证：ACBD；(2)若大圆的半径R10，小圆的半径r
7、8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长图K171015如图K1711所示，在RtABC中，C90，AC4，BC3，以点C为圆心，BC长为半径作圆交AB于点D，求AD的长图K1711探究应用如图K1712所示，已知半径为2的O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，求AB2CD2的值图K1712详解详析【学知识】知识点一轴对称过圆心的直线1无数过圆心的直线知识点二平分这条弦弦所对的弧弦心距2答案 D3答案 8【筑方法】例1解析 这是应用垂径定理进行计算的一个基础题先求出OM的长，再根据勾股定理求得AM的长，再由垂径定理得AB2AM.解：连结OA.由垂径定理，得AMBM.C
8、D15 cm，OC7.5 cm.又OMOC35，OM4.5 cm.在RtAOM中，由勾股定理，得AM6(cm)，即AB12 cm.例2解析 首先作出两弦AB，CD的弦心距OE，OF，由垂径定理得AEAB，CFCD，然后利用全等三角形证明AECF.证明：如图，过点O分别作OEAB于点E，作OFCD于点F，则AEAB，CFCD.AC，AEOCFO90，OAOC，AOECOF，AECF，ABCD.例3解：如图，过点O作ODAB于点D，DO的延长线交O于点C，连结OB.由垂径定理得CD垂直平分AB.CDh8 mm，ODCDCO3 mm.在RtODB中，BD4(mm)，AB2BD8 mm.答：此小孔的直
9、径d为8 mm.【勤反思】小结 平分弧圆心反思 不正确还有一种情况，即EFOEOF7 cm.如图所示故两弦之间的距离为1 cm或7 cm.【课时作业】课堂达标1答案 B2答案 A3答案 C4答案 C5解析 A连结OA，OC，过点O作ODAC于点D，AOC2B，且AODCODAOC，CODB60，OCD30.在RtCOD中，OC4，OCD30，ODOC2，CD2 ，AC2CD4 .6全品导学号：解析 D分弦AB和CD在圆心O的同侧和异侧两种情况进行讨论7答案 58答案 26解析 连结OA，由垂径定理可知AEAB5.若设O的半径为r，则OErCEr1，于是由勾股定理可得r2(r1)252，解得r1
10、3，所以O的直径CD的长为26.9全品导学号：答案 210全品导学号：答案 25解析 如图，设圆的圆心为O，连结OA，OC，OC与AB交于点D，设O的半径为R，OCAB，ADDBAB20 cm，ADO90.在RtAOD中，OA2OD2AD2，R2(R10)2202，解得R25.故答案为25.11答案 4OP5解析 当点P与点A或点B重合时，OP为半径，故OP最大为5，当OPAB时，根据“垂线段最短”可得此时OP最小根据垂径定理可知APBP3，结合勾股定理可得OP4.12答案 解析 如图，过点O作ONCD于点N，连结OC，CMA45，ONC90，MON是等腰直角三角形AB4，M是OA的中点，OM
11、1，根据勾股定理解得ON，在RtCON中，CN，CD2CN.13解：结论：DE綊BC.理由：ODAB，OEAC，ADBD，AEEC，DE綊BC.14解：(1)证明：如图，过点O作OEAB于点E.易知AEBE，CEDE，AECEBEDE，即ACBD.(2)由(1)可知OEAB且OECD，连结OC，OA，OE6，CE2 ，AE8，ACAECE82 .15解：过点C作CMAB，交AB于点M，由垂径定理可得M为BD的中点AC4，BC3，AB5.SABCACBCABCM，CM2.4.在RtBCM中，根据勾股定理，得BC2BM2CM2，即9BM22.42，解得BM1.8，BD2BM3.6，ADABBD53
12、.61.4.素养提升全品导学号：解析 连结AO，DO，OE，过点O作OMCD于点M，作ONAB于点N，构造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂径定理，推知OM2DO2DM24()2，ON2OA2AN24()2，所以OM2ON24()24()21，由此解得AB2CD228.解：如图，连结AO，DO，OE，过点O作OMCD于点M，作ONAB于点N.DCAB，OMDC，ONAB，四边形OMEN为矩形OM2ME2OE2(勾股定理)，且ME2ON2，OM2ON2OE2.OM2DO2DM24()2，ON2OA2AN24()2，OM2ON24()24()21，AB2CD228.点评 本题考查的是垂径定理和勾股定理解决本题的关键是通过作辅助线构建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理将AB2CD2联系在同一个等式中，然后根据代数知识求解专心-专注-专业