高数知识问答(共15页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章 函数与极限问答题1本章的基本概念是函数、极限和连续，简要概括这些概念在整个微积分中的地位与作用。答：这几个概念是微积分学的基础。连续函数是微积分学的主要研究对象，极限方法是微积分学的基本研究方法。2无界函数与无穷大的区别是什么？答：无穷大一定是无界函数，但是无界函数不一定是无穷大。无穷大是在某个极限过程中整体趋势都是很大，而无界函数的很大不是整体趋势。例如x与sinx的乘积当x趋于无穷大时是无界的，但不是无穷大(因为该函数在这个极限过程中始终有等于0的点存在，即并不是整体趋于的)。3复合函数的极限的计算中，为什么要注意验证，如果该条件不成立，原来的计算结论会不

2、成立吗？答：对于由与构成的复合函数，如果函数在处连续，那么时结论仍成立，否则可能不成立。例如，当时极限为1；但是如果为常函数0，则当时,当然趋于0,但复合函数的极限为0，而不是1。4数列极限存在准则中的条件是否可以改为：，当时， 。为什么？答：可以。因为数列极限研究的是时的趋势，与前面有限项的大小无关。换句话说，去掉前面不符合的有限项之后形成的新的三个数列的极限其实和以前的三个数列的极限相等。5无穷小之和一定是无穷小吗？举例说明。答：不一定。正确的说法是有限个无穷小之和仍然是无穷小。例如这里是无限个无穷小的和等于6利用等价无穷小替换的方法可使极限运算更加方便，常用的等价无穷小替换公式有哪些？答

3、：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）7如何理解研究是否间断点必须以在点的某去心邻域内有定义为前提？答：如果在的附近没有定义，那么研究函数在处是否间断或连续就失去了意义。比如在及附近无定义，我们不能说是函数的间断点，当然也不能说是函数的连续点，本来在这一点就没必要研究这个问题。8函数的定义域与定义区间是什么关系？答：定义区间与定义域有所不同，定义区间是含于定义域内的，是一个区间，定义域不一定是区间。9试列举一些计算极限的方法。(1)利用极限定义，验证某常数为已知变量的极限(2)利用函数的连续性求极限；(3)利用极限的四则运算求极限；(4)利用无穷小的性质求极限；(5)

4、利用两个重要极限求极限；(6)利用夹逼准则和单调有界准则求极限。10什么叫渐近线？一般来说函数有几种渐近线，如何求？答：是一条直线且与给定曲线在某个极限过程中足够靠近。曲线的渐近线有三种，（1）水平渐近线（2）铅直渐近线（3）斜渐近线求法：（1）设，则是水平渐进线。（2）设，则是铅直渐进线。（3）如果存在，说明曲线有斜渐近线，进一步求得，则是曲线的斜渐近线。第二章 导数与微分问答一、问题1 在点的导数定义是什么？ 2 的数学意义是什么？ 3 的几何意义是什么？ 4 设质点沿直线运动的位置函数为，则表示什么？ 5 求的方法有几种？各是什么？每种方法如何运用？ 6 设，因为，所以，上述做法对不对？

5、 若不正确请指出错误的原因。 7 函数在点可导与在连续是什么关系？ 8 若在点不可导，曲线在点处是否一定无切线？ 9 函数和的四则运算求导法则成立的前提是什么？ 10 如何求反函数的导数？ 11 复合函数的求导法则是什么？应用时需注意什么？ 12 初等函数的求导问题是否已经解决？初等函数在其定义域内每一点是否都可导？ 13 如何求？如何求？ 14 设，如何求的100阶导函数？ 15 方程确定隐函数如何求导？求导时注意什么？ 16 幂指函数如何求导？ 17 参数方程确定的函数如何求导？求二阶导时需注意什么？ 18 什么是函数在处的微分？如何求？ 19 函数在一点可微与可导的关系是什么？ 20 微

6、分的几何意义是什么？ 二、解答1 设在内有定义，当自变量在处取得增量时，相应地函数取得增量；若存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数。注意：1 是函数在处当自变量有微小的增量时，相应的函数增量与比，当时的极限。因而不仅与在的函数值有关，而且与在的函数状态有关。2 由于自变量增量表示呈多样性，定义的数学表达式呈多样性。如 当自变量增量为时， 当自变量增量为时， 当自变量增量为时，2 表示在区间或上的平均变化率，所以表示在处的变化率。即：在处当自变量有相同的微小改变时，导数越大的函数，函数值的改变越大。3 的几何意义：是曲线在点处的切线斜率。 4 表示质点在时刻的速度。5 两种方

7、法：（1）利用导数定义。 （2）利用 通常在下列3种情况下利用导数定义求函数在一点的导数： （1）求分段函数在分段点的导数 （2）只知抽象函数在一点的信息，求此抽象函数在该点的导数 （3）利用可求，但比较麻烦或比较困难，而用导数定义比较容易通常在下列情况下利用求函数在一点的导数：的导函数存在，且可以通过求导公式及求导法则可求出其导函。6 此做法是错误的。因为不仅与在的函数值有关，而且与在的函数值有关。正确做法为： 7 在处可导必有在处连续；反之，在处连续，却不一定有在处可导。 8 在点不可导，曲线在点处不一定无切线。 例：函数在处不可导，但曲线在点有垂直于轴的切线。 9 与的四则运算求导法则成

8、立的前提是： 、都存在。 10 当在区间内单调、可导且时，它的反函数在区间 内也可导，且。 11 设的外层函数为，里层函数为，则复合函数的求导法则是。使用该法则需注意：1。正确选择复合函数的外层函数及里层函数。 2。正确理解的含义。 12 由初等函数定义知：当我们研究出基本初等函数求导公式、函数的四则运算求导公式及复合函数求导公式后，初等函数的求导问题就已经解决了。但是初等函数在其定义域内并不是每一点都可导。例：函数，定义域为，但它在点处不可导。 13 一般来说，求的高阶导要视所求的阶数选定方法。 当求导的阶数不高时（如求2、3、4、5阶导），通常选用先求一阶、再求二阶，这种一阶一阶向上求，直

9、至求到所求阶导数的方法。 当求导的阶数较高时（超过5、6阶），通常选用从求一阶导数开始，依次求至5或6阶导数，从中寻找规律，从而得到函数的求高阶导公式（通常用数学归纳法证明其正确性）。 因而求时用如下方法： ，。所以 求时用如下方法：所以 14 求较高阶导数用莱布尼茨求高阶导数公式。在使用公式过程中，通常选求几阶导数后先成为零函数的函数为。就本题而言选比较好。15 方程确定的隐函数求导有两种方法：1 从方程中将隐函数求解出来（即隐函数显化），求。但隐函数不一定总能被显化或显化不容易，因而这种方法不是通用方法。2 将隐函数代入方程后，方程两端同时对求导。使用此种方法时需注意：虽然将代入了方程，但

10、我们仍然用来表示。因而方程两端同时对求导时，遇见含有的项要注意是的函数，即：。16 幂指函数求导通常有两种方法：（1）对数求导法：设，两端取对数得方程：方程对求导得 ，因而（2）指数求导法： 设，将化成指数函数，则。17 参数方程确定函数求一阶导公式 ， 求二阶导公式 。参数方程求二阶导时，由于的一阶导是用参数表示的，因而在求其二阶导时，要将视为以为外层函数，为里层函数的复合函数。18 设在某内有定义，如果自变量有微小的改变量变到时，相应的函数的增量可表示为 ，其中是不依赖于的常数，则称为函数在点处的微分。且 19 函数在处可微函数在处可导。20 在几何上表示：当自变量在处有微小增量时，曲线在

11、点处的切线上相应的纵坐标的增量。第三章 微分中值定理与导数的应用1中值定理的重要作用是什么？答：微分中值定理是微分学的理论基础，它是联系函数的局部性质与整体性质的“桥梁”。利用导数来研究函数，利用函数的局部性质去推断函数的整体性质，应用中值定理往往能使许多问题迎刃而解。由微分中值定理所得出的一系列重要结论，可以解决有关函数的单调性、极值、最大值与最小值、证明不等式、求极限、求曲线的凹凸区间与拐点，以及函数作图、方程求根等许多问题。2如何利用中值定理证明数学命题？ 答：利用中值定理证明相关的数学命题，这一部分是微分学中非常重要，又有一定难度的内容。利用中值定理证明相关命题，关键是根据题目的特点，

12、寻找合适的定理及相应的辅助函数（这是难点所在！）。一般来说，寻找辅助函数一是从几何直观入手引进辅助函数；另一方法便是从结论入手，进行逆推，寻找所需的辅助函数，这是初学者应重点掌握的方法。虽说辅助函数没有一个固定的寻找方法，但只要我们从所证结论的特点出发，仔细推敲，对于一些比较简单的问题，还是可以找出来的。3应用拉格朗日中值定理有什么规律吗？答：拉格朗日中值定理是微分学中最重要的基本定理，它有广泛的应用。拉格朗日中值定理应用的一种典型模式：函数的某种性质函数某种差值的性质函数的导数的某种性质。应该强调指出的是函数的许多性质都可以用某种差值的性质来表示，因此这种情形便给应用拉格朗日定理提供了一定的

13、条件。4怎样应用微分法证明函数恒等式？答：主要是利用拉格朗日定理的推论：如果函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上是一个常数。一般来说，欲证二函数之间的一般恒等式，可换成一函数与零之间的特殊恒等式. 第一步：证，根据推论得；第二步：取一适当的值，使求得；合并此两步即得，从而得.5应用洛比达法则求极限时，需注意什么问题？ 答：应用洛比达法则可以较简便的求出许多未定式的极限，要做到正确使用洛比达法则，需注意以下问题： 1）直接应用洛比达法则的情形是与型。如果运用洛比达法则后仍是或型未定式，可继续应用洛比达法则，直到不再出现未定式为止。 2）间接应用洛比达法则的情形是：、等类型。前两种类型是通过代数

14、变形化为或型，再应用洛比达法则；后三种类型可以通过取对数先化成型，再进一步化成或型。 3）要注意验证使用法则的条件，防止对非未定式使用法则。 4）单纯应用洛比达法则可能导致繁杂的计算，而注意把求极限的多种方法综合运用（如等价无穷小代换、两个重要极限、变量替换等），并利用极限运算法则及时化简非零因子，可使计算简捷。 5）数列极限不能直接应用该法则，可先求对应的函数极限，再根据函数极限与数列极限的关系，得到数列的极限。 6）当导数之比的极限不存在也不为时，或求导后发生循环时，须另寻它法。 最后指出，洛比达法则用于求未定式极限虽然有效，但也不是万能的。有时，尽管使用洛比达法则能求出极限，然而花费的代

15、价却是很大。因此，在选择求极限的方法时，应避免盲目性，增强灵活性。6如何判别函数的单调性？ 答：判别函数的单调性，主要利用下面的定理： 设函数在上连续，在内可导。 （1）如果在内，那么函数在上单调增加； （2）如果在内，那么函数在上单调减少。 若条件改为当时，且的点不构成区间，结论仍成立。 根据上面的结论，判别函数的单调性，主要考察导函数的符号即可。具体来说 确定函数的定义域； 求出使的点根及使不存在的点； 用中的点将函数的定义域分成若干个部分区间，由在这些部分区间内的符号判断在相应区间上的单调性。7如何求连续曲线的拐点？ 答：设在区间上连续。 求出函数的二阶导数； 令,解出这方程在区间内的实

16、根,并求出在区间内不存在的点. 对于中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点，检查在左、右两侧邻近的符号；当两侧的符号相反时，点是拐点；当两侧的符号相同时，点不是拐点。 用高阶导数判别拐点的命题：设在点有阶导数, 且, 而, 则 （1）当为奇数时，为曲线的拐点； （2）当为偶数时，不是曲线的拐点。8怎样应用微分法证明函数不等式？常用的方法有哪些？答：应用微分法可确定函数的单调性、极值、凹凸性以及函数差值的变化规律，这些都可能与函数不等式有密切关系。故利用这些特性可证明一系列不等式。而构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的特性是证明的主要步骤；从不等式出发，用倒推的方法探求所需的函数

17、，则是辅助函数的主要构造方法。常用的方法有： 利用微分中值定理证明不等式； 利用函数的单调性证明不等式； 利用函数的最值证明不等式； 利用函数的凹凸性证明不等式； 利用泰勒公式证明不等式。9函数的极值与最值有什么区别与联系？这种联系有什么意义？ 答：函数的极大值与极小值统称为极值，而使函数取极大值或极小值的自变量的值称为极大值点或极小值点。函数的极大值或极小值是函数在该极值点上的函数值与在此点足够小邻域内（该点左右两侧）的函数值相比而言的。函数的极值概念是一个局部性的概念。函数的最小值与最大值统称为最值，使函数取得最值的点称为最值点，函数的最大值或最小值是函数在该最值点上的值与函数在整个（所关

18、心的）定义区间上的一切函数值相比较而言的，函数的最值是一个整体性的概念。函数的最值点既可以是函数的定义区间的内点也可以是函数的定义区间的边界点。以上所述，就是函数极值与最值的区别。两者的联系是，当最值点是函数的定义区间内的点时，它同时也是极值点。由此我们得出利用极值点求最值点的如下结论：设函数在区间上存在最大值与最小值，且在内部一切极值点为，则最大值点与最小值点必在之中。10求函数极值的一般步骤是什么？答： 求函数的所有可能极值点驻点及导数不存在但函数有定义的点； 逐个判别。判别的方法一般有两种，一是利用第一充分条件，求出，并把它分解因式，按可能极值点邻近的符号判别（如果可能极值点较多可列表讨

19、论）；二是利用第二充分条件，即如果是驻点可用二阶导数在该点处的正负判别。 计算极值点处的函数值，即可求出函数的极值。11求函数最值的一般步骤是什么？ 答：如果函数在闭区间上连续，则它在上存在最大值和最小值。 求连续函数在上最大值和最小值的一般方法是：计算在其驻点、导数不存在的点及端点处的函数值，并加以比较选取最大者即为的最大值，选取最小者即为的最小值。 在特殊情况下求最大值和最小值有下列简便方法： 若在上单调增加，则为最大值，为最小值；若在上单调减少，则为最大值，为最小值。 若在上连续，在内有唯一的极值点，当为极大（小）值点时，也是的最大（小）值点。 如果由实际问题列出的函数在内可微，在内只有

20、一个驻点，又由实际问题判断出函数在内某一点处必定取得最大值（或最小值），则这个驻点处的函数值一定是所要求的最大值（或最小值）。12怎样应用极限方法确定方程的根？答：在高等数学中，我们限定在实数范围内研究问题，关于方程也不例外，所以这里提到的“根”都是指“实根”。在高等数学中确定方程根的方法，常用的有：利用连续函数的介值定理（常用零点定理）或罗尔（Rolle）定理、费尔马（Fermat）定理讨论方程实根的存在性；利用函数的（严格）单调性或反证法（通常利用罗尔定理或拉格朗日中值定理导出矛盾）证明方程最多只有一个实根；利用导数研究函数的特性（如单调性，极值和最值以及函数的变化趋势），借以分析函数的图

21、形与轴的相对位置，由此确定方程实根的个数与位置；这类问题从某种意义上讲，相当于一个函数作图问题。13利用导数描绘函数图形的一般步骤是什么？答： 确定函数的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数和二阶导数； 求出一阶导数和二阶导数在函数定义域内的全部零点，并求出函数的间断点及和不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间； 确定在这些部分区间内和的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸，极值点和拐点；（可列表讨论） 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势； 算出和的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点；为了把图形描绘的准确些，有时还

22、需要补充一些点（如与坐标轴的交点）；然后结合第、步中得到的结果，联结这些点画出函数的图形。参考文献1 同济大学应用数学系主编. 高等数学. 第五版. 北京: 高等教育出版社, 2002.2 向熙廷主编. 高等数学疑难精解. 湖南: 湖南科学技术出版社, 1992.12.第四章 不定积分问答1原函数是否必为连续函数？答：若上的一个原函数，则在区间必连续。因为：在区间上，即在上可导，故它在上必连续。2若在区间上不连续，问在上必无原函数吗？答：不一定。3的任何两个原函数相差一个常数，对吗？答：的任何两个原函数不一定相差一个常数。如果是定义在一个以上的分离的区间上，的两个原函数就不一定相差一个常数。4

23、积分为什么比微分难学？答：由于 我们依可认为积分是微分的逆运算。正如减法难于加法，除法难于乘法，开方难于乘方一样，逆运算难于正运算，因此积分比微分难学。求导对初等函数是封闭的，但积分对初等函数不封闭。因为，有些初等函数的原函数不再是初等函数，即这种函数不能用初等函数的有限次运算形式来表示。以下列举部分原函数不是初等函数的例子：（所谓积不出来的不定积分）5.常用凑微分公式有哪些？答：常用凑微分公式有：6在运用不定积分换元法时，应特别注意的几点是什么？答：（1）在使用不定积分换元法时，应注意被积函数的定义区间。如果被积函数的定义区间不止一个，应求出它在所有区间上的不定积分。如：被积函数的定义域为。

24、应求出它在所有区间上的不定积分。 设则 注意：如果只写出那是不正确的，因为时，并不是被积函数的原函数。 （2）在对被积函数进行变形或变量代换的过程中，应注意根式运算的定义。 （3）同一不定积分，往往存在着多种换元方法，所得结果形式上可能不一致，但实际上仅差一个常数。7分部积分法的分部原则是什么？答：在分部积分法公式中（1）是将“看成”，其原则是使； ；c（2）中第二部分积分较更简便，或者至少不比难于积分。为达此目的多数是使求导后的得以化简，或不比更繁。8在分部积分公式中的选取是关键。选取的一般原则是什么？答：（1）被积函数为等形式时，其中为的多项式。一般来说分别选取等。（2）被积函数为等形式时

25、，一般来说选取。（3）被积函数为等形式时，可以取其中两因子中的任意一个。在这里必须指出，经过一次分部积分之后，并没有把积分难易程度转化，只改变被积函数的类型，这时需再一次施以分部积分，将会出现“自身循环”，移项解出即可。但是必须注意：前后两次施以分部积分时，两次选取的为同一类型。9有理函数的积分法要点是什么？：答：（1）若是假分式，先作多项式除法，使之变为：多项式+真分式。当遇到简单情况时，可以通过加某数、减某数的方法作除法。例如：（2）对真分式进行分项，使之变为一次分式和二次分式的代数和。（3）积分可以通过分母配方的方法积出。10简单无理函数的积分法要点是什么？答：被积函数含时都可设它为，作换元计算。这一方法可以推广到其它函数上去。专心-专注-专业