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1、精选优质文档-倾情为你奉上课程习题第一章 函数与极限1填空题（1）设 ，则 。（2）设，则的一个可去间断点为 。 （3）若时，与是等价无穷小，则 。 2单项选择题：（1）在（）内为（ ） （A）周期函数。 (B) 偶函数。 (C ) 有界函数。 (D) 单调函数。（2）当时,函数的极限 ( ) (A) 等于2。 (B) 等于0。 (C) 为无穷大。 (D) 不存在但也不为无穷大。（3）设是定义在上的单调增加函数，则（ ） （A）存在但不一定存在。 （B）存在但不一定存在。 （C）与都存在但不一定存在。 (D) 一定存在。（4）当时，6（）是的（ ） （A）高阶无穷小。 （B）同阶但非等价无穷小
2、。 （C）低阶无穷小。 （D）等价无穷小。3设 ，试确定之值，使为奇函数。4利用数列极限的定义。5求下列极限：（1）（2） （3）（4） （5） （6）（7） 6设 ，求常数，使存在7讨论函数极限：。8求的间断点，并判定其类型。9设 （），试确定常数使在处连续。10设函数对于闭区间上任意两点，恒有（为正的常数），且。证明：存在，使。参考答案：1（1） （2）1 （3）12（1）B （2）D （3）C （4）C35（1）3.5 （2）2 （3） （4）（5） （6）0 （7）6 7不存在8 ，的第一类跳跃间断点。9第二章 导数与微分1 1 求下列函数的导数和微分或高阶导数：（1）； （2）；（3
3、）； （4）；（5）； （6）。2设中的三阶导数存在，求。3设。4设，其中均二阶可导，求。5由方程，试求（其中）。6设曲线的参数方程为，求曲线在处的切线方程和法线方程。7设所确定，作自变量代换后，试证明函数满足方程。8设有一个正圆锥体，其底半径以1.5的速度增加，其高以3的速度在减少，当半径为40，高为30时，求其体积及表面积的变化率。9单摆的周期（以秒为单位）由确定，其中重力加速度，摆长应是多少？10设都是实数，为自然数，且。参考答案：1（1） （2） （3） （4） （5） （6）28802， 34 56切线方程：；法线方程：。8 9第三章 微分中值定理与导数的应用1求下列极限： （1）
4、（2）（3） （4） （5） （6） （7）。2设具有连续的二阶导数，且，试求。3求的极值。4确定曲线的凹向与拐点。5求曲线在处的曲率。6设椭圆的切线分别与轴、轴交于、两点，求 （1）线段的最小值； （2）线段与坐标轴所围三角形的最小面积。7证明下列不等式： （1）设，则； （2）当时，。8设函数与在闭区间上连续，在（）内可导，且，试证：至少存在一点，使。9求证方程在内必有唯一实根，并求。参考答案：1（1） （2）1 （3）0 （4） （5） （6） （7）23 3为极小值，为极大值。4拐点，在内上凸，在内上凹（）。5 6（1） （2）9第四章 不定积分1 1 求下列不定积分：（1） （2）
5、（3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） （11） （12）2 2 设函数 ，试求的原函数，使。3 3 ，其中为自然数，求关于下标的递推公式。4 4 设的原函数，且，当时有，求。参考答案：1（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）2 3 4第五、六章 定积分及其应用1 1 计算下列定积分或反常积分：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）2设，求。3设，求。4求的极小值。5设 ，讨论在处的连续性与可导性。6设，求抛物线与它在点()处的法线所围成平面图形的面积。7已知抛物线过三点,欲使图中阴影部分绕轴旋转一周所得
6、的旋转体的体积最大，求与之值。 8设内连续，试证：。9设函数在区间上都连续，求证。10设在上可导，且，试证：对图形中所示的两块面积和来说，存在唯一的，使得。 参考答案：1（1） （2） （3）（4） （5） （6） （7） （8）2或 3 4极小值为 5在处连续但不可导。 6 7第七章 空间解析几何与向量代数1.设，其中，且，问（1）为何值时，？（2）为何值时，以与为邻边的平行四边形面积为6？2设，求同时垂直于，且在向量上的投影是14的向量。3求过三平面的交点，且平行于平面的平面方程。4决定，使直线和直线相交。5求曲线关于面的投影柱面和在面上的投影曲线方程，并求曲线C所在的平面方程。6求球面与
7、过其中心且同直线垂直的平面的交线在面上的投影曲线的方程。7试在平面与三坐标面所围成的四面体内求一点，使它与四面体各侧面间距离相等，并求内切于四面体的球面方程。1 1 将曲线 （）分别绕轴旋转一周，写出所得旋转面的方程。2 2 求通过直线且切于球面的平面方程。3 3 在直线上求一点，使之与点（3，2，5）的距离最近。参考答案：1（1） （2）2 3 45； 6789 10（1，1，2）第八章 第八章 多元函数微分法及其应用1已知,求。2设，求。3设是由方程所确定的隐函数，求4设，其中二阶可导，有二阶连续偏导数。求。5求曲线上点处的切线和法平面方程。6在曲面求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线
8、，并写出切平面方程。7求在点处沿着向量方向的方向导数。又在该点的梯度是什么？8求函数的极值。9求曲面与的交线的最高点与最低点的坐标。10证明。11试证：函数 在原点处连续，偏导数存在，但不可微。参考答案:1， 2， 3 ， 45切线方程：法平面方程 6（）， 7， 8极小值为 9最高点，最低点 第九章 重积分1计算下列重积分： （1），其中；（2），其中是由所围成的闭区域；（3），其中；（4）,其中是由曲面所围成的立体；（5），其中是由曲面所围成的闭区域。2交换积分次序：，其中连续。3利用二重积分计算由所围成的平面图形的面积。4设有连续导数，求证。5求证：由及轴所围成的平面图形绕轴旋转一周而成
9、的立体对轴的转动惯量（密度）为，其中为连续的正值函数。6设是上的正值连续函数，试证，其中积分区域为。7设连续，其中积分区域是由所确定的立体，求。8一个体积为，外表面积为的雪堆，融化的速度是，其中是一个正的常数，假设在融化期间雪堆的形状保持为，其中。问一个高度为的雪堆全部融化需要多长时间？参考答案：1（1） （2） （3） （4） （5）23 7， 8第十章 曲线积分与曲面积分1求曲线积分，其中为双纽线的右面的一瓣。2计算下列对坐标的曲线积分： （1），式中是上从到间的一段； （2），其中有连续导数，为联结两点的在下方的任意路径，且它与围成的面积为2；（3），其中为曲线及直线所围成的闭区域的周界
10、，取顺时针方向。（4），其中为圆周，从轴正向看去，取逆时针方向。3计算下列曲面积分： （1），为圆柱面的部分； （2），为上半球面的上侧；（3）其中为由抛物面，圆柱面和三个坐标面在第一卦限中所围立体的整个边界曲面的外侧； （4），其中为曲面的上侧。4确定常数，使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度，并求。5设平面力场，求一质点沿曲线从O（0，0）运动到时场力所做的功。6设是一光滑曲线，将此曲线绕轴旋转一周得旋转曲面，试用曲面积分求面积的方法证明的面积，其中是曲线的弧微分。7 7 试用曲线积分计算由平面上的曲线绕直线旋转所成的旋转面的面积。8 8 已知一刚体以常角速度绕定轴旋转，求某时刻刚体上点
11、处速度矢量的旋度。参考答案：12（1） （2） （3） （4）3（1） （2） （3） （4）4，5 7 8 第十一章 无穷级数1填空题： （1）已知级数的部分和，则 。 （2）级数的和为 。 （3）已知，则 。 （4）之和为 。 （5）的麦克劳林级数展开式为 ，收敛区间 。 （6）设 在上的傅里叶级数的和函数为，则 ， ， 。2判断下列级数的敛散性： （1）； （2） （3）（为正的常数） （4）（5） （6）3判断级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？4将函数展开为的幂级数。 5求的收敛域与和函数。6将展开成为以1为周期的傅里叶级数。7设幂级数在处发散，在处收敛，指出此幂级数的收敛
12、半径，并证明之。8设正项数列单调减少，且发散，试问级数是否收敛？并说明理由。参考答案：1（1） （2） （3）15 （4）1 （5） （6）0，0，12（1）发散。 （2）发散。 （3）当时，此级数收敛；当时，此级数发散。（4）收敛 （5）收敛 （6）收敛3条件收敛。 45， 6 7 8收敛。第十二章 常微分方程1判别下列微分方程的类型，并求其通解： （1） （2）（3） （4）（5） （6）2求下列微分方程的通解： （1） （2）（3） （4）3确定下列微分方程的特解形式：微分方程特征根特解形式4求满足的特解。5求下列初值问题的解： (1) ， ；(2) 。6设是某个二阶线性非齐次微分方程的三个解. （1）求此微分方程的通解； （2）求此微分方程。7设曲线位于第一象限，其上任一点的切线与坐标轴及过该点垂直于轴的直线所围梯形的面积为，常数），且曲线过点，求此曲线方程。8已知，有连续的二阶导数，且满足方程，试求。9设有级数 （1）求此幂级数的收敛域； （2）证明此级数满足微分方程； （3）求此级数的和函数。参考答案：1（1）可分离变量的微分方程， （2）齐次方程，（3）一阶线性微分方程，（4）一阶线性微分方程，（5）全微分方程， （6）贝努利方程，2（1） （2）（3）（4）若，则 若，则 若，则45（1） （2）6（1） （2）7 89（1） （3）专心-专注-专业