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1、精选优质文档-倾情为你奉上四：导数的应用题【例1】 将边长为的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值是 【关键词】2010，江苏，高考，题14【解析】 记剪下的三角形边长为，则，梯形的周长为；梯形的面积为，故，从而，故在上单调递减，在上单调递增，当时取到极小值，也即最小值【答案】【例2】 设球的半径为时间的函数若球的体积以均匀速度增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）A成正比，比例系数为 B成正比，比例系数为C成反比，比例系数为 D成反比，比例系数为【关键词】2009，湖北，高考【解析】 由题意可知球的体积为，则，由此可得，而球的表面积为，所以球的表面
2、积的增长速度，即，故选D【答案】D【例3】 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经测算，一个桥墩的工程费用为万元；距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素记余下工程的费用为万元 试写出关于的函数关系式； 当米时，需新建多少个桥墩才能使最小？【关键词】2009，湖南，高考【解析】 设需新建个桥墩，则，即，所以由知，令，得，所以当时，在区间内为减函数；当时，在区间内为增函数；所以在处取得最小值，此时故需新建9个桥墩才能使最小【答案】；需新建9个桥墩才能使最小【例4】 两县城和相距，现计划在两
3、县城外以为直径的半圆弧上选择一点建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城和城的总影响度为对城与城的影响度之和，记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为 ，当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为 将表示成的函数； 讨论中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由【关键词】2009，山东，高考【解析】 根据题意，且建在处的
4、垃圾处理厂对城的影响度为，对城的影响度为，因此，总影响度为又因为垃圾处理厂建在弧的中点时，对城和城的总影响度为，所以解得，所以 因为由解得或（舍去），易知，随的变化情况如下表：0极小值由表可知，函数在内单调递减，在内单调递增，此时，故在上存在点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小该点与城的距离【答案】；存在，该点与城的距离【例5】 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点、及的中点处，已知，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与、等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道、设排污管道的总长度为设，将表示为的函数；请根据中的函数关系，确定污水处理厂
5、的位置，使铺设的排污管道的总长度最短【关键词】2008，江苏，高考，题17【解析】 因为，所以在的垂直平分线上，取的中点，又是的中点，所以点在上因为，在中，故法一：因为，所以只要求函数的最小值那么，解得，取等号时，有最小值，此时，即污水处理厂的位置在的垂直平分线上距离边处法二：由得，则当，所以函数在上是减函数当时，所以函数在上是增函数那么当时，函数取得最小值此时，（下略）设，将表示为的函数并且此关系式确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短 因为，所以在中，故若选择，则得，两边平方，化简得由得，化得，解得 （舍去），或当时，（下略）【答案】；污水处理厂的位置在的垂直平分线上距离边处【
6、例6】 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为 求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域； 求面积的最大值【关键词】2007，北京，高考，题19【解析】 依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为 记，则令，得因为当时，；当时，所以是的最大值因此，当时，也取得最大值，最大值为即梯形面积的最大值为【答案】，其定义域为的最大值为【例7】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每
7、厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和求的值及的表达式；隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值【关键词】2010，湖北，高考，题17【解析】 设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为，再由，得，因此，而建造费用为，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为，令，即解得，（舍去）当时，当时，故是的最小值点，对应的最小值为当隔热层修建厚时，总费用达到最小值70万元【答案】，；隔热层修建厚时，总费用达到最小值70万元【例8】 统计表明，某种
8、型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距千米当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【关键词】2006，福建，高考【解析】 当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没（升）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得，令得当时，是减函数；当时，是增函数当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值答：当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油升当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最
9、少，最少为升【答案】升；当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升【例9】 请您设计一个帐篷它下部的形状是高为m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为m的正六棱锥（如右图所示）试问当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？OO1【关键词】2006，江苏，高考【解析】 设为m，则由题设可得正六棱锥底面边长为：，（单位：m）故底面正六边形的面积为：（单位：）帐篷的体积为：（单位：）求导得令，解得（不合题意，舍去），当时，为增函数；当时，为减函数当时，最大答：当为m时，帐篷的体积最大，最大体积为【答案】当为m时，帐篷的体积最大，最大体积为【例10】 某制造商制造并出售球
10、型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是分，其中是瓶子的半径，单位是厘米已知每出售ml的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【解析】 当瓶子的半径为时，每瓶饮料的利润是令 解得（舍去）当时，；当时，当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，它表示单调递减，即半径越大，利润越低当瓶子半径为时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值当瓶子半径为时，利润最大换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图象上观察，会有什么发现？由图象知：当时，即瓶子的半径为时，饮料
11、的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值当时，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为时，利润最小【答案】当瓶子半径为时，利润最大当瓶子半径为时，利润最小有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸的处，乙厂到河岸的垂足与相距，两厂要在此岸边合建一个供水站，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米元和元，问供水站建在岸边何处才能使水管费用最省？分析：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点的位置设，则，设总的水管费用为，依题意，有，令，得根据问题的实际意义，当时，函数取得最小值，此时，（km），即供水站建在、之间距甲厂处，可使水管费用最省【答案】供水站建在、之间距甲厂处，可使水管费用最省专心-专注-专业