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1、-导数在实际生活中的应用题-第 13 页 导数应用题 1. 如图，在半径为1，圆心角为2的扇形OAB内作一内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q（1）求圆Q的半径（用表示）；（2）当变化时，求的最大值；（3）如果按照本题的作法，再作下去，猜想第n个圆的半径用表示的式子（不要证明，只要写出其关系式，设圆P是第一个圆）2. 如图, 有一块半径为R的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施,附属设施占地形状是等腰CDE,其中O为圆心, A, B在圆的直径上，C,D, E在圆周上. （1）设,征地面积记为,求的表达式;（2）当为何值时,征地面积最大?解：（
2、1）连接,可得；.4分.8分（2）.10分令 （舍）或者 ,12分当,14分 时,取得最大. 15分 答:时,征地面积最大. 16分3. 交管部门遵循公交优先的原则,在某路段开设了一条仅供车身长为10m的公共汽车行驶的专用车道. 据交管部门收集的大量数据分析发现,该车道上行驶着的前、后两辆公共汽车间的安全距离d(m)与车速v(km/h)之间满足二次函数关系d=f(v). 现已知车速为15 km/h时,安全距离为8 m;车速为45 km/h时,安全距离为38 m;出现堵车状况时,两车安全距离为2 m.(1)试确定d关于v的函数关系d=f(v);(2)车速v(km/h)为多少时,单位时段内通过这条
3、车道的公共汽车数量最多,最多是多少辆?解(1)由题设可令所求函数关系f (v)=av2+bv+c. 由题意得v=0时,d=2; v=15时,d=8; v=45时,d=38 则 解得:a=,b= ,c=2 所以d关于v的函数关系为d=v2+v+2(v0) (2)两车间的距离为d (m),则一辆车占去的道路长为d+10 (m) . 设1小时内通过该车道的公共汽车数量为y辆, 则y= 由= =0,解得v=30 当0v0;当v30时,y15%, 当时,有最大值0.1665=16.65%22%, 能采用函数模型y=作为生态环境改造投资方案 (2)由(1)知, 依题意,当,、时,恒成立; 下面求的正整数解
4、. 令, 由(1)知,在上是减函数,在上是增函数, 又由(1)知,在时,且=16%15%,22%, 合条件,经枚举,15%,22%, 而15%,22%,可得或或, 由单调性知或或均合题意 6. 有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距（）正比与车速（）的平方与自身长（）的积，且车距不得小于半个车身长而当车速为（）时，车距为.个车身长在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道的车流量最大？【解析】（1）依题意，设，其中是待定系数，因为当时，所以，所以因为，所以，所以最低车速为(2)因为两车间距为，则两辆车头间的距离为一小时内通过汽车的数量为，因为所以所以
5、当即时，单位时段内通过的汽车数量最多.7. 据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为现已知相距18的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和设（）（1）试将表示为的函数； （2）若，且时，取得最小值，试求的值解：（1）设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且 4分从而点C处受污染程度 6分（2）因为，所以， 8分，令，得， 12分又此时，解得，经验证符合题意所以，污染源B的污染强度的值为8 14分8. 因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体
6、泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放,且个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中.若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.（）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? （）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4).18解：（）因为,所以1分则当时,由,解得,所
7、以此时 3分当时,由,解得,所以此时5分综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天 6分（）当时,9分=,因为,而,所以,故当且仅当时,y有最小值为 12分令,解得,所以的最小值为 14分【2012高考冲刺样本】12试题精粹217、（宿迁市高三12月联考）（本题满分14分）某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元（1）设派x
8、名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式；（2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？（总损失灭火材料、劳务津贴等费用车辆、器械和装备费用森林损失费）17、解：（1） 5分（2）总损失为y，则y灭火劳务津贴车辆、器械和装备费森林损失费y125tx100x60（500100t） 9分 10分 11分 12分当且仅当，即x27时，y有最小值36450 13分答：略 14分17（无锡市1月期末调研）（本小题满分14分）已知 A、B两地相距，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形
9、AMC、三角形BNC上种花，其余是空地设花坛的面积为，草坪的面积为，取用及R表示和；求的最小值17（1）因为，则，则3分设AB的中点为O，连MO、NO，则易得三角形AMC的面积为， 5分三角形BNC的面积为， 7分 8分（2），10分令，则 12分的最小值为14分18（徐州市12月高三调研）(本小题满分16分)某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示. 其上部分是以为直径的半圆，点为圆心，下部分是以为斜边的等腰直角三角形，是两根支杆，其中米，. 现在弧、线段与线段上装彩灯，在弧、弧、线段与线段上装节能灯. 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且
10、彩灯的比例系数为，节能灯的比例系数为，假定该霓虹灯整体的“心悦效果”是所有灯“心悦效果”的和.（）试将表示为的函数；（）试确定当取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？DOABEF第18题2x18解：（）因为,所以弧EF、AE、BF的长分别为3分 连接OD，则由OD=OE=OF=1，所以 6分 所以9分（）因为由11分解得，即 13分又当时，所以此时y在上单调递增；当时，所以此时y在上单调递减.故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳 16分18（盐城市第一次调研）(本小题满分14分),且个单位的药剂,它在水中释放的浓度(克/升)随着时间(天)变化的函数关系式近似为,其中.若多次投放,则某一时
11、刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.（）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天? （）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求的最小值(精确到0.1,参考数据:取1.4).18解：（）因为,所以1分则当时,由,解得,所以此时 3分当时,由,解得,所以此时5分综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天 6分（）当时,9分=,因为,而,所以,故当且仅当时,y有最小值为 12分令,解得,所以的最小值为 14分17. （苏北四
12、市2011届高三第二次调研）（本小题满分14分）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为现已知相距18的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为，它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和设（）（1）试将表示为的函数； （2）若，且时，取得最小值，试求的值17解：（1）设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且 4分从而点C处受污染程度 6分（2）因为，所以， 8分，令，得， 12分又此时，解得，经验证符合题意所以，污染源B的污染强度的值为8 14分17. （苏州市2011届高三调研测试
13、）（本小题满分14分）有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段.为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距正比于车速的平方与车身长的积，且车距不得小于一个车身长（假设所有车身长均为）.而当车速为时，车距为1.44个车身长.求通过隧道的最低车速；在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量最多？17.【解析】（1）依题意，设，其中是待定系数，因为当时，所以，所以因为，所以，所以最低车速为(2)因为两车间距为，则两辆车头间的距离为一小时内通过汽车的数量为，因为所以所以当即时，单位时段内通过的汽车数量最多.试题精粹江苏省2010年高考数学联考试题19(江苏通州市2010年3月
14、高三素质检测)（本小题满分16分）某连锁分店销售某种商品，每件商品的成本为4元，并且每件商品需向总店交a元（1a3）的管理费，预计当每件商品的售价为元（8x9）时，一年的销售量为(10x)2万件（1）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；来源:Z&xx&k.Com（2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最来源:Z,xx,k.Com大值M(a)18（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分16分) 来源:学.科.网N M PF E DCBA （第18题图）如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P
15、处，点P到边AD，AB距离分别为m，m某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕，线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)来源:学科网(1) 用x的代数式表示AM；（2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义 域；（3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？19（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （）试写出关于的函数关系式； （）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？（16分）19解 （）设需要新建个桥墩，来源:Zxxk.Com所以 （） 由（）知， 令，得，所以=64来源:学+科+网 当064时0. 在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。来源:学_科